Не термодинамика

e ^kT  1

Көлем бірлігінің d жиілігіне сəйкес келетін энергияны сипаттайтын сəуле шығарудың

спектрлік тығыздығы g,T  ұғымын енгізейік:

dE    Vg,T  d

(55)

(54)-ші жəне (55)-ші өрнектерді салыстыру нəтижесінде мынадай қатынас аламыз.

g,T  

h  ³

_ 2 _с 3 h
(56)

e ^kT  1

(56)-шы қатынас Планк өрнегі деп аталады. Бұл 1900 жылы атомдық жүйелердің энергиялық деңгейлері дискретті жəне электромагниттік сəуле кванттар түрінде шығарылады деген болжамдар негізінде қорытылып шығарылған нəтиже. Осы жыл кванттық теорияның тағайындалуының басы болып есептледі.

_{x } h

kT

айнымалысын енгізсек

^{0 0} e ^kT  1


0
_{ } kT ^{4 } x³dx

g T 

_ 2 _c3_h3

_ 4

^ e^x 1

Соңғы интергалдың мəні

15

Больцман өрнегін аламыз.

мұнда тұрақты шама

. Сонда біз бұрыннан белгілі, тəжірибеде тағайындалған Стефан-

gT   T ⁴


(57)

_  _ 2 _K 4

15c ³h ³

Енді сəуле шығарудың термодинамикалық сипаттамаларын қарастырайық. Фотондық газдың ішкі энергиясы

U  gV  VT ⁴

Гиббс-Гельмгольц теңдеуін пайдаланып еркін энергияны анықтауға болады:

 
F  U  T ^{ F }

T

(58)

Əрі қарай

 _V

^{ }  ^F  _ ^{1 F} _ ^F




_  

T _ T _

T T T₂

түрлендіруін пайдалансақ (58)-ші өрнек мынадай түрде жазылады:

^  ^F  _{ } ^U

   ₂

Бұл теңдеуді шешу оңай.

T _ T _ T

T
T ^U  

T  0
жағдайында ^{ F }


 
T

F  T _{ 2} dT  q V T

0
 g  0, сонда кез келген функция qV   0 .Енді (59)-

(59)

 _V

шы T  0 интегралды есептесек

F   ¹ VT ⁴

3

Сонда термодинамикалық функциялар

S  ¹

3
VT ³ ,

P  ¹ T ⁴

3

(60)

Соңғы өрнек электромагниттік сəуле шығарудың термиялық күй теңдеуі болып табылады.

13 тарау. Кванттық статистикаларды қолдану

§ 1. Бозе-Эйнштейн статистикасын бөлшектер жүйесін сипаттауға қолдану

Спиндері бүтін санға немесе нольге тең бөлшектер жүйесіне Бозе-Эйнштейн статистикасын қалай қолдануға болатындығын қарастырайық. Мұндай бөлшектерге фотондарды, π – мезондарды, құрамындағы электрондар мен нуклондар саны жұп болатын атомдарды жатқызуға болады. Бұл бөлшектер Бозе-Эйнштейн статистикасымен сипатталатын болғандықтан оларды бозондар деп атайды. Ал мұндай бөлшектер жүйесін бозондық газ немесе Бозе-газ деп қарастырады.

1
Бозе-газдың бөлшектерінің энергия бойынша үлестіруінің функциясы Бозе-Эйнштейн үлестіруімен анықталады:

n  _{ } 


е ^kT  1

f  
(1)

Мұнда n  бір  энергиялық күйге сəйкес келетін бөлшектердің орта саны. 

тұрақтысымен   kT қатынасы арқылы байланысатын коэффициентінің мəні (1)-ші

қатынасты нормалау шартынан анықталады. Жалпы жағдайда нормалау шартын мынадай түрде жазалық:



_ q  f  d  N

0

g   энергиясы əртүрлі кванттық күйлердің статистикалық салмағы. (9) - ші өрнекті нормалау үшін бозе-газ бөлшектерінің статистикалық салмағын анықтау қажет. Ол үшін еркін бөлшектің энергиясын импульс арқылы сипаттайтын қатынасты пайдаланамыз:
(2)

р ²  р ²  p ² _p ²

_{ } х у z _

2m 2m

(3)

Егер бөлшектің

p_x , p_y , p_z

импульстерін Декарт жүйесінің координаттар осіне

орналастырса, импульс модулі p мен

p  dp аралығында болатын импульс кеңістігінің көлемі

4p ²dp  ға тең болады. Көлем элементін V деп белгілесек,  энергияға сəйкес келетін

бөлшектің фазалық кеңістігінің көлемі

4p ²dpV

деп жаза аламыз.

p  q  2h 

анықталмағандық қатынасын пайдаланып осы фазалық кеңістіктегі бөлшектің

dn p   күйлерінің

санын бағалауға болады. Ол үшін импульсі p мен

p  dp

аралығына сəйкес келетін фазалық

көлемді бір күйдің 2 h³ элементар көлеміне бөлу қажет:

dn p  

4p ²dpdV

2h³
(4)

Бұдан (3)-ші қатынасты пайдаланып энергиялары мен

  d

аралығындағы күйлердің

санын немесе g    күйлердің статистикалық салмағын табамыз:

dn   g  f  d 



_V 3 2
f   ^m d

₂1 2 _ 2 _h3

(5)

осы өрнек арқылы (2)-ші нормалау шарты мынадай түрде жазылады:

3

V  m ² 1


  
(6)

2²  ²  h ^{3 0} e ^kT  1
Осы қатынастан негізінен шамасын анықтауға болады. (6)-шы қатынастың  дің мəні тек теріс мəндерге ие болғанда ғана орындалатындығын көрсетуге болады. Шындығында да,

 жағдайында интегралдың астындағы өрнек теріс мəнге ие болады. Ал ол мүмкін емес

жағдай, себебі үлестіру функциясы өзінің мағынасы бойынша оң шама болуы қажет. Сондықтан

əр уақытта да

  0 . Сонымен қатар,



Ò

• 
  туындысының əруақытта да теріс болатындығын да
  

көрсетуге болады, яғни температура Т төмендеген сайын артады. Жалпы шамасы нольге

температураның T ₀

нольге тең емес мəнінде тең болады. T ₀

температурасында нольге айналған

температураның

T ₀ - ден де төмен мəндерінде нольге тең болып қала береді. Бұл тұжырым

шамасының оң мəнге ие болмайтындығы мен

^ туындысының таңбасын өзгертпейтіндігінің

Ò

салдары. Ал егер температура одан əрі де төмендей бергенде нольге тең болып қала берсе (6) қатынас орындалмауы мүмкін (егер бөлшектер саны N тұрақты болса). (6)-шы өрнек орындалуы үшін температура төмендегенде жүйедегі бөлшектердің саны да азаюы қажет. Ал бөлшектер

жүйеден шығып кете алмайды. Сондықтан (6)-шы теңдік орындалуы үшін бөлшектер энергиясы

нольге тең деңгейге ауысуы қажет. Демек температура

T ₀ -ден төмен болғанда бозе-газдың

бөлігі нольдік энергиялы күйде, ал қалғандары басқа деңгейлерде мынадай үлестіру заңымен орналасады:
1



å ^kT  1

Бөлшектердің бір бөлігінің нольдік деңгейге ауысуы мен екінші бөлігінің əртүрлі энергиялары бойынша үлестіруі құбылысы бозе-конденсация деп аталады. Абсолют ноль температурада бозондар түгелімен нольдік деңгейге орналасады.

Бозе-газдың басқа да қасиеттерін қарастырайық. Алдымен бозондардың энергиясын мынадай өрнек бойынша есептелік:



Е  _ dN   

3


V  m ²

3

^  ² d



 
(7)

^{0 0}  ^kT  1

_{p } 2E

3V

қатынасын пайдаланып қысымды анықтаймыз:

3

2  m ^{2 }

3

 ² d

p 
_3 2 _h3   

(8)

⁰  ^kT  1

Соңғы өрнекті бозе-газ күйін сипаттайтын (  параметріне тəуелді) теңдеу ретінде қабылдауға болады.



_ kT
 1
жəне  шарттары орындалғанда Бозе-Эйнштейн үлестіруі классикалық

Больцман үлестіруіне, ал (8)-шы теңдеудің Клапейрон-Менделеев теңдеуіне ауысатындығын

көрсетейік. Ол үшін

 

_ kT

шамасының өте аз шама екендігін ескеріп жəне ^  ны

kT

x  айнымалысымен ауыстырайық:

³ ₅ 3


³ ₅ 3 


 3 ₅

^{m 2 kT 2 } x ²

m ² kT ^{2 }

_x 2 _e kT _e ^{ x}

_e kT

m ² kT ^{2  3}

p  _ 

 ^

_ x ² e ^x dx

3 ²h ³

x  ^

3 ²h ³

 ^ 

3 ²h ³

⁰ e ^kT  1

^{0 }1  e ^kT e ^{ x 0}

 

 
Енді (6)-шы өрнекті ескерсек мынадай қатынас аламыз:



3
p 

4 ² h ³

_e kT _

kTN

V

(8)-ші өрнекті температураның мəні конденсация температурасынан төмен болатын жағдайда қарастырайық. Бұл жағдайда   0 , сонда қысым үшін

_ 3 3 ₅

_{p } x ² dx _ 1,18m ² kT ²

(9)

e

0
3 ²h^{3  x}  1

Сонымен өту нүктесінен төмен жағдайда бозе-газ тек температураға ғана тəуелді, көлемнен тəуелсіз болады.

Бозе-газ жайында осы алынған нəтижелерді тəжірибеде тексеру мүмкіндіктерін қарастырайық. Жоғары температураларда кез келген газдың Клапейрон-Менделеев теңдеуімен сипатталатындығы даусыз тұжырым. Ал төменгі температураларда бозе-газдың конденсация құбылысы Больцман газынан өзгеше қасиеттерге ие болады.

Ò ₀ 

конденсация температурасында барлық денелер не қатты, не сұйық күйде болады, газ

болып табылмайды. Сондықтан бұл температурада жоғарыда алынған нəтижелерде тексеру

Басқаша айтқанда

Íå ⁴

сұйық гелийдің аса аққыш бөлігінде ішкі үйкеліс (тұтқырлық)

3
болмайды. Демек, сұйық гелийдің аса аққыш күйге ауысуын, яғни екінші текті фазалық өтуін бозе-газдың конденсация теориясының дұрыстығын дəлелдейтін тəжірибе ретінде қарастыруға болады.

Ал гелийдің

Íå ₂

изотопы тақ санды нуклеондардан тұрады, оның спині  ге тең

болғандықтан бұл изотоп Ферми-Дирак статистикасына бағынады жəне мұнда аса аққыштық құбылыс байқалмайды.

жүктеу/скачать 0.83 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: