Методика построения математического описания аналитическим способом

Процедура построения аналитической модели является итерационной и включает в себя следующие этапы: создание концептуальной модели; выделение и анализ элементарных процессов, протекающих в объекте и их математическое описание; формулировка системы упрощающих допущений; составление системы уравнений материального и энергетического балансов; качественный анализ полученной системы; проведение параметрической идентификации; определение адекватности модели. Если модель не адекватна объекту, то процедуру построения повторяют начиная с этапа создания концептуальной модели или с этапа параметрической идентификации модели.

Физико-химические процессы (технологические операции), протекающие в объектах химической технологии, обуславливают возникновение потоков вещества, энергии и импульса (субстанции) в объеме аппарата. Вследствие этого происходит изменение удельного количества субстанции в рассматриваемом объеме, т.е. изменение концентрации компонентов, температуры, уровня давления сред. Количественно эти изменения описываются с помощью законов сохранения вещества, энергии и импульса, выражением которых являются уравнения материального и энергетического (теплового) балансов для рассматриваемого объема аппарата. В целом в ХТП можно выделить четыре группы потоков субстанций.
Конвективный поток
В объектах химической технологии происходит перемещение сред под действием силы тяжести, центробежных сил, вращающейся мешалки, под действием насосов и компрессоров. Вместе с движущейся средой происходит перенос субстанции. Этот способ переноса субстанции называется конвективным. Конвективный поток субстанции определяется произведением объемного расхода на объемную плотность субстанции:

• 
  - конвективный поток j-го компонента, кмоль/с;
  
• 
  - конвективный поток энергии, кдж/с.
  

• 
  - поток количества движения, Н.
  

Диффузионный поток количества движения, возникающий за счет внутреннего трения в движущейся среде, пропорционален градиенту скорости.

В химико-технологических объектах возникают диффузионные потоки вещества, обусловленные градиентом температуры (термодиффузия) и давления (бародиффузии), а также потоки энергии, обусловленные градиентом концентрации и давления.
Поверхностные потоки
Среда, находящаяся в аппарате, всегда ограничена некоторой поверхностью, через которую может осуществляться передача субстанции. Во всех случаях поверхностный поток субстанции определяется произведением скорости ее передачи на поверхность.

– поток -го компонента через поверхность, разделяющую две взаимодействующие среды – массообменный поток, кмоль/с ( – удельная скорость массообмена, кмоль/м²  с; - поверхность фазового контакта, м²).

– поток энергии через ограничивающую поверхность – теплообменный поток, кдж/с ( – скорость теплообмена, кдж/м² с, – поверхность теплообмена, м²).
Объемные потоки
Физико-химические явления и процессы, протекающие в объеме среды, порождают объемные потоки. В химико-технологических процессах они, как правило, связаны с химическими реакциями. Величина объемного потока определяется произведением скорости процесса на объем.

- поток -го компонента, обусловленный химическим превращением с его участием, кмоль/с ( - скорость изменения концентрации компонента, кмоль/м³  с; - объем, м³).

Если в объекте реализуется гетерогенная химическая реакция, идущая на поверхности контакта фаз , то соответствующий ей поток , формально должен быть отнесен к группе поверхностных потоков.

Объемный поток энергии возникает также вследствие внутреннего трения в движущейся среде. Он определяет переход механической энергии вследствие трения в тепловую.

Практика показывает, что часто вполне приемлемую по точности аналитическую модель можно получить, если исключить из рассмотре­ния малозначимые явления и процессы, сформулировав систему упро­ченных допущений, облегчающих как процедуру построения модели, так и работу с ней. Принимаемые обычно допущения можно объединить в несколько групп.

1. Ранжирование процессов, протекающих в объект, по значимости, т.е. по степени их влияния на выходные переменные. На основании ранжирования из модели исключаются незначимые процессы. Так, до­вольно часто при построении аналитических моделей технологических объектов непрерывного действия принимается допущение об абсолютации конвективного или диффузионного потоков. В частности, если в объекте имеет место перемешивание среды, то обычно принимается допущение с бесконечно высокой интенсивности диффузионного потока. В объектах трубчатого типа, где перемешивание вдоль оси обычно затруднено, диффузионным потоком пренебрегают. Весьма часто пренебрегают изменением количества движения среды. Эго дает основа­ние считать, что давление в аппарате не зависит от пространственных координат. Такое допущение можно сделать, если линейная скорость движения среды невелика. По этой же причине обычно пренебрегают внутренним трением в низковязких средах.

2. Допущение о стационарности объекта.

В группе поверхностных и объемных потоков фигурируют скорости кинетических процессов ( ) – тепломассообмена и химических реакций. Скорости этих процессов содержат параметры, значения ко­торых могут изменяться от времени и условий эксплуатации объекта. Так, вследствие отложения осадков и накипи на теплообменных поверх­ностях происходит увеличение термического сопротивления стенки и, как следствие этого, уменьшение коэффициента теплопередачи. Нали­чие в растворах примесей может оказывать катализирующее или ингибирующее влияние, что в конечном счете оказывается на значении константы скорости химической реакции. Изменение кинетических па­раметров во времени является причиной нестационарности объектов. Вместе с тем скорость изменения параметров обычно бывает невысокой, что дает основание считать их постоянными и рассматривать объект как стационарный на ограниченном отрывке времени.

3. Допущение о постоянстве теплофизических свойств веществ. В состав аналитической модели входят теплофизические свойства веществ. Известно, что такие теплофизические свойства, как теплоемкость, плотность, вязкость и другие зависят от темпе­ратуры. Часто формулируется допущение о постоянстве этиx свойств в объеме объекта. Основанием для принятия такого допущения может быть узкий диапазон изменения температуры в объекте.

В большей части в объекте среда представляет собой смесь индивидуальных компонентов. Для определения физических свойств смесей и растворов используют всевозможные эмпирические соотношения, многие ив которых построены на применении правила аддитив­ности. В этой связи формулируется допущение о применимости той или иной зависимости для определения свойств многокомпонентных систем. Из независимости теплофизических свойств индивидуальных веществ от температуры, как правило, следует независимость этих свойств от температуры и для cмeсей.

4. Допущение о постоянстве параметров модели. Выражения, определяющие скорости кинетических процессов, содержат коэффици­енты тепло- и массопередачи, энергию активации химических реакций. Коэффициенты тепло- и массопередачи зависят от гидродинамической обстановки в объекте. Как правило, эти коэффициенты принимаются постоянными, что можно допустить только в том случае, если изме­нением гидродинамической обстановки в объеме объекта можно пренеб­речь.

Для констант скоростей химических реакций традиционно прини­мается их зависимость от температуры в соответствии с уравнением Аррениуса. При этом принято, что энергия активации и предэкспоненциальный множитель являются константами.

Выбор принимаемых допущений не должен бить произвольным. Необходимо стремиться к тому, чтобы каждое допущение било физи­чески обосновано. Если физических оснований для принятия конкретного допущения нет, то рассматриваемое явление следует описать математически и включить в состав модели. При этом сложность ма­тематической модели возрастает с уменьшением числа принимаемых допущений. В соответствии с этим увеличиваются и трудности работы с ней. С другой стороны, чем больше будет принято допущении, тем менее точной будет и построенная на их основе модель.

Обычно система допущений формулируется до составления уравнений модели. Иногда допущения добавляются после работы с математи­ческой моделью, когда выявляются ее неочевидные особенности.


Составление уравнений аналитической модели
Под действием процессов, протекающих в объекте, происходит изменение объемной плотности субстанции во времени и пространстве. Эти изменения описываются с помощью законов сохранения, символи­чески представляемых следующим образом:

В правой части этого уравнения стоит производная по времени от количества субстанции в рассматриваемом объеме. Так как она пред­ставляет собой разность приходного и расходного потоков, то ее можно назвать скоростью накопления субстанции. Скорость накопления субстанции не равна нулю всегда в динамических условиях.

Если рассматривается статическое состояние объекта, то правая часть уравнения закона сохранения субстанции всегда обращается в нуль. Уравнение статики объекта при этом принимает вид

Следует отметить, что форма аналитической модели зависит не только от того, какие процессы протекают в объекте (что описывается соответствующими потоками субстанции – приходными и расходными), но и от того, является ли элемент объема, для которого составляется уравнение закона сохранения, конечным или бесконечно малым.

Если удельное количество (плотность) субстанции некоторым образом распределено по объему, то уравнение закона сохранения составляется для бесконечно малого объема и представляет дифференциальное уравнение в частных производных как модели динамики, так и для модели статики.

Объекты, описываемые моделями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, называются объектами с распределенными координатами. В частном случае, когда в объекте рассматривается движение только вдоль одной пространственной координаты, модель статики объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если в объекте плотность субстанции по каким-либо причинам равномерно распределена по объему, то уравнение сохранения составляется для элемента объема конечных размеров. В этом случае модель динамики описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а модель статики – системой конечных уравнений. Объекты, динамика которых описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, называются объектами с сосредоточенными координатами.

При записи уравнений материального и энергетического баланса необходимо строго следить за тем, является ли рассматриваемый поток субстанции приходным или расходным.

Система уравнений модели дополняется краевыми условиями, обеспечивающими получение ее единственного решения. Выбор вида краевых условий (начальных и граничных) определяется условиями эксплуатации объекта, процессами, происходящими на его границах, и целями построения математической модели. Обычно при построении модели динамики в качестве начального условия принимается условие, соответствующее статическому режиму работы объекта. Если модель динамики записывается в отклонениях (от статического режима), то принимаются нулевые начальные условия.

Анализ уравнений модели
В процессе построения аналитической модели необходимо строго следить за выполнением следующих важных требований, которым должна удовлетворять ее система уравнений.

1. Совместимость уравнений. Система уравнений будет совместной, если в ней отсутствуют взаимно противоречащие уравнения и условия, исключающие возможность ее решения. Условие нарушения совместности возникает тогда, когда уравнения законов сохранения составляются с нарушением физических принципов.

2. Линейная независимость уравнений. Уравнения модели считаются линейно независимыми, если никакое из уравнений не может быть получено линейной комбинацией других, входящих в систему.

3. Замкнутость системы. Число неизвестных в системе должно быть равно числу ее уравнений . Это значит, что число степеней свободы должно быть равно нулю для системы, удовлетворяющей условиям совместности и независимости. Если (нарушено условие совместности), то в системе имеются «лишние» уравнения, которые подлежат исключению из модели. Если , то система считается незамкнутой. Она имеет бесчисленное множество решений. Для замыкания системы необходимо добавить недостающие уравнения либо исключить, если это возможно, лишние переменные. Система дифференциальных уравнений считается неопределенной / /, если не задано по крайней мере одно краевое условие. Все связи и ограничения, накладываемые на математическую модель, должны обязательно включаться в ее состав.

где - общее число экспериментов.

Определение параметров аналитической модели обычно сводится к непосредственному отысканию минимума функции . При этом существенное значение приобретает выбор метода поиска минимума. Так как определение одного значения переменной модели для заданного набора параметров требует обычно решения системы дифференциальных уравнений. Поэтому выбираются такие методы поиска минимума, которые требуют наименьшего числа обращений и вычислению функции .

Если в процессе эксперимента удается измерить не одну, а несколько (например ) выходных переменных объекта, то критерий близости может включать все эти переменные. Поскольку выходные переменные имеют различные размерности, то они включаются в состав критерия в нормализованном виде:

где - весовые коэффициенты, подбираемые экспериментально.

Величины устанавливают степень влияния -й выходной переменной на величину и фактически определяют ее значимость в процедуре идентификации.

Обычно . Значения принимают близкими к нулю, если -я переменная измеряется с большой ошибкой или ее изменение в эксперименте незначительно. В противоположных случаях принимаются близкими к единице.

Вторым способом идентификации аналитических моделей является проведение специальных экспериментов по определению их параметров, главным образом, коэффициентов тепло- и массообмена, энергии активации химических реакций и т.д. Эти эксперименты (если они возможны) проводятся в специальных лабораторных установках и в конечном счете сводятся к обработке экспериментальных данных по первому способу с учетом модели, описывающей исследуемый процесс.

Следует отметить, что большое число параметров, входящих в состав аналитической модели, такие, как коэффициенты, характеризующие теплофизические свойства индивидуальных веществ, обычно не идентифицируются, а берутся из справочников. Теплофизические свойства смесей индивидуальных веществ рассчитываются по различным формулам и соотношениям, широко представленным в различной справочной литературе.

В справочной литературе приводится обширный материал, позволяющий, используя обобщения экспериментальных данных, рассчитывать численные значения кинетических параметров химико-технологических процессов – коэффициентов тепло- и массообмена, констант скорости химических реакций. Однако точность параметров, получаемых таким способом, невелика и в лучшем случае их можно рассматривать как начальные приближения для параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным.
Оценивание адекватности модели
Оценить адекватность модели, это значит ответить на вопрос, соответствует ли она объекту или нет, иными словами, можно ли с помощью построенной модели предсказывать поведение объекта, т.е. определять значения выходных переменных по заданным значениям входных переменных.

Для оценивания адекватности аналитических моделей по критерию Фишера, можно использовать методику [I], базирующуюся на вычислении оценок дисперсии аппроксимации и воспроизводимости, используемых для расчета наблюдаемого значения критерия Фишера.

Оценку дисперсии аппроксимации вычисляют по формуле

,

где - число параметров модели; - число экспериментов.

Для определения оценки дисперсии воспроизводимости необходимы данные специальных параллельных опытов.

,

где - число параллельных опытов;

По оценкам дисперсий вычисляют наблюдаемое значение критерия Фишера, которое сравнивается с критическим для уровня значимости и степеней свободы , для дисперсий и .

Если это неравенство выполняется, то с вероятностью принимается гипотеза о равенстве значений дисперсий и , свидетельствующем об адекватности построенной модели. В противном случае или проводится новый эксперимент (вывод о неадекватности может оказаться ложным), или производится корректирование модели.