Объективное знание. Эволюционный подход

V

Я попытался скомбинировать некоторые из наиболее очевидных результатов работы Тарского об истине с результатами его работы по исчислению систем. Мы сразу же получаем следующие в высшей степени тривиальные теоремы, в которых предполагается, что упоминаемые в них языки не универсалистские (universalistic).

Как дедуктивная система, Т представляет собой класс (всех собственных) следствий (consequence class); это значит, что он совпадает с классом Сп(Т) своих собственных логических следствий (Т = Сп(Т)). Эта система полна в том смысле, что если к Т прибавить любое высказывание, не принадлежащее Т, получившийся класс будет противоречивым.

16)См. Popper K.R. Conjectures and Refutations, примечание 33 на р. 116 с выражением признательности Александру Койрё.

17>См. Тарский A, Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, Clarendon Press, 1956, pp. 342-383.

18) Я в основном следую символике Тарского (особенно в том, что касается употребления заглавных курсивных букв для обозначения дедуктивных систем), за исключением того, что для класса истинных высказываний, который Тарский обозначает Гг, я использую символ Т.

311

Обе эти теоремы совершенно тривиальны и в дальнейшем изложении будет предполагаться, что рассматриваемые языки достаточно богаты, чтобы удовлетворять второй из них.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний) а соответствует (финитно) аксиоматизируемая система А, такая что

и наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе А соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) а. Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы А систему А_Т — истинностное содержание А. Она совпадает с А, если и только если А состоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема А: очевидно, А_т есть произведение, или пересечение, множеств А и Т.

Можно задать вопрос: соответствует ли истинностному содержанию Ат высказывания а или дедуктивной системы А также нечто, что можно было бы назвать ложностным содержанием A_F высказывания а или дедуктивной системы AI Кажется естественным определить ложностное содержание дедуктивной системы А как класс всех ложных высказываний, принадлежащих А, но это будет не вполне удовлетворительно, если мы хотим использовать (как я предлагаю) термин «содержание» как третий синоним к терминам «дедуктивная система» и «класс следствий». Ведь этот класс, состоящий, по предположению, только из ложных высказываний, не является дедуктивной системой: всякая дедуктивная система А содержит истинные высказывания — собственно говоря, бесконечное число истинных высказываний, — так что класс, состоящий (312:) исключительно из ложных высказываний, принадлежащих А, не может быть содержанием.

Чтобы ввести понятие ложностного содержания Ар высказывания а или класса следствий А, можно обратиться к понятию относительного содержания А при данном Б, которое можно ввести как обобщение дедуктивной системы в смысле Тарского, или {абсолютного) содержания А = Сп(А). Я попытаюсь разъяснить это понятие, и ввиду возможной интуитивной критики я введу также понятие меры содержания. В конце этой главы я введу с помощью понятия мер истинностного содержания и ложностного содержания понятие степени приближения к истине, или правдоподобности (verisimilitude).

VI

Это наводит на мысль, что мы можем использовать вместо нулевой системы L какую-то другую систему «в качестве множества всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить, и т.д.». Обозначим, как и ранее, дедуктивную систему, содержанием которой мы интересуемся, переменной «А», а «множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала», переменной «Б». Тогда мы можем написать выражение

как релятивизацию (relativization) Cn(A) Тарского, которое является особым случаем при Б = L = Сп(0):

Мы можем писать сокращенно «Л, Б» вместо «Cn(i4, Б)», точно так же, как Тарский пишет «4» вместо «Сп(А)». Процитированный отрывок из Тарского подсказывает следующее определение:

313

Ограничиваясь относительным способом записи, мы получаем для истинностного содержания

VII

мы воспринимали слово «нулевая» слишком буквально: теперь мы видим, что L следует понимать как множество меры нуль, а не как множество, которое, с учетом нашего выражения «-Cn(L)», в буквальном смысле пусто или которого больше нет, согласно нашему определению, поскольку оно было вычтено (так что в А остались только нелогические высказывания, чего мы не имели в виду).

Относимся мы к этому возражению серьезно или нет, оно в любом случае исчезает, если мы решим оперировать с мерой содержания ct(A) или ct(A,B), а не с самим содержанием, или классом следствий Сп(А) или Сп(Л,В).

В 1934 году Тарский привлек внимание пражской конференции к аксиоматизации исчисления относительной вероятности дедуктивной системы А при данной дедуктивной системе В, предложенной Стефаном Мазуркевичем 20) и опирающейся на исчисление систем Тарского. Такую

20) Тарский ссылается на работу: Mazurkiewicz S. Die Grundlagen der Wahrscheiningskeits-rechnung I. Monatshefte fьr Mathematik & Physik, Band 41, 1934, SS. 343-352. Из сноски 2 на S. 344 этой работы видно, что исчисление систем Тарского было известно польским математикам еще в 1930 году. Система Мазуркевича имеет определенный финитистский характер в отличие от моей собственной системы (см. Popper К. R. The Logic of Scientific Discovery, pp. 326-358), которую можно интерпретировать различными способами, например как исчисление вероятностей дедуктивных систем.

Я могу, пожалуй, упомянуть, что в настоящей работе я использую в качестве символов для функций меры, таких как вероятность, содержание и правдоподобность, строчные курсивные буквы, например, р(А), ct(A), vs(A). (Добавлено в 1978 г.) Везде, где это необходимо, я принимаю «тонкую структуру» вероятности. См. Popper К. Я The Logic of Scientific Discovery, New Appendix *VIL

314

аксиоматизацию можно рассматривать как введение функции меры для дедуктивных систем или содержаний А, В, С,... , даже хотя данная конкретная функция — функция вероятности

Эта функция возрастает и убывает с возрастанием и убыванием относительного содержания. (Возможны, конечно, и другие определения, но это кажется самым простым и очевидным). Мы сразу же получаем:

Это наводит на мысль, что мы можем ввести понятие правдоподобности, или verisimilitude, высказывания а таким образом, чтобы оно возрастало вместе с возрастанием истинностного содержания этого высказывания и убывало с ростом его ложностного содержания. Это можно сделать несколькими способами²¹).

Самый очевидный способ — принять ct(A_T) - ct(A_F) за меру правдоподобности А. Однако по причинам, которые я здесь не буду обсуждать, мне кажется несколько более предпочтительным определить правдоподобность vs(A) как разность, умноженную на некий нормализующий множитель, предпочтительно следующий:

______1______________1______

Таким путем мы получаем следующее

А это приводит к

-1 ^vs(A) ^ +1,

и, в частности, к

Иначе говоря, правдоподобность измеряет не ту степень приближения к истине, которой можно достичь, не делая никаких содержательных

21) См. Popper К. R. Conjectures and Refutations, Addendum 3, pp. 391-397.

315

В этих заключительных разделах главы 9 я лишь кратко очертил программу сочетания теории истины Тарского с его исчислением систем с целью получить понятие правдоподобности, позволяющее нам говорить — без опасения говорить бессмыслицу — о теориях, являющихся лучшими или худшими приближениями к истине. Я, конечно, не предполагаю, что может существовать критерий применимости этого понятия — не более, чем может существовать такой критерий для понятия истины. Вместе с тем некоторым из нас (например, Эйнштейну) иногда хочется говорить такие вещи, как например что у нас есть основания предполагать, что эйнштейновская теория тяготения не истинна, но является лучшим приближением к истине, чем ньютоновская. Иметь возможность со спокойной совестью говорить подобные вещи кажется мне важным пожеланием к методологии естественных наук.