Ойындар теориясының пәні мен мақсаттары
Стратегиялық матрицалық ойындарды шешу әдістері
жүктеу/скачать 159.47 Kb.
|
| 6.3 Стратегиялық матрицалық ойындарды шешу әдістері
Екі ойыншының А және В қосындысы нөлге тең болатын матрицалық ойыны берілген. Ерше нүкте бар немесе жоқ болуын, аралас оңтайлыстратегияны және ойын құнын анықтау қажет. Екі ойыншының А және В қосындысы нөлге тең болатын матрицалық ойынында ойыншылардың әрқайсысы екі стратегияға ие болады: Егер ершенүкте жоқ болса, онда ойының шешімі аралас стратегияға тең болады SA=(p1, p2) и SB=(q1,q2), олар келесі теңдеулер жүйесін шешу арқылы анықталады и Теңдеулер жүйесінің шешімі: р1= ; р2= . р1 и р2, мәндерін орнына қойып, ұтысты табамыз γ: γ= . Содан кейін В ойыншысы үшін оңтайлыстратегияны анықтаймыз. Ең болмағанда бір ойыншы тек екі стратегиға ие болатын төлемдік матрицалар 2×2, 2×n и m×2 арқылы берілетін ойындардың шешімі, графикалық интерпретацияға негізделген. Көлемді төлемдік матрица арқылы берілген ойындардың шешімі сызықтық бағдарламалау тапсырмаларын шешуге негізделген. Матрицалық ойындарды шешудің графикалық әдісі Мысал 6.3 Төлемдік матрица түрінде берілген графикалық ойынды шешу . шешуі α=max(1,2)=2; β=min(3,4)=3; α ≠ β.; 2≤γ≤3. Ойынның седловой нүктесі жоқ. ХОУ координаталар жүйесін таңдаймыз. ОХ осьінде бірлік кесінді белгілеп аламыз [0;1]. Кесіндінің сол жақ ұшы А1 стратегиясына сәйкес келеді, ал оң жағы - А2стратегиясына. Аралық нүктелер аралас стратегияға сәйкес келеді. А1 және А2 нүктелері арқылы ОХ осьіне перпендикуляр түзу жүргіземіз. Жазықтықта екінші ойыншының стратегиясына сәйкес келетін кесінді тұрғызамыз 6.1. сурет. 6.1 сурет – Екінші ойыншының стратегиясы Теңдеулер жүйесін құрастырамыз : и . Оңтайлыстратегияны және ойын құнын анықтаймыз р1= ; р2= ; q1= ; q2= ; γ= . Жауап. Ойыншылардың оңтайлыаралас стратегиясы ( ; ) и ( ; ), ойын құны γ= тең. Берілген жауап бойынша: егер бірінші ойыншы ықтималдықпен бірінші стратегияны және ықтималдылықпен екінші стратегияны қабылдайтын болса , онда ойынның жеткілікті көп мөлшерінде оның ұтысы орта есеппен тең болады; егер еекінші ойыншы ықтималдықпен бірінші стратегияныжәне ықтималдықпен екінші стратегияны қабылдайтын болса , онда ойынның жеткілікті көп мөлшерінде оныңұтылысыорта есеппен артық болмайды Екі ойыншының қосындысы нөлге тең болатын соңғы ойынның әрқайсысы сызықтық бағдарламалауға негізделген және симплекстік әдіс арқылы шешімін табады. Көбінесе жоғарғы және төменгі құны әртүрлі болатын ойындар жиі қолданылады.Ойынның төлемдік матрицасының әрқайсысын ершенүктенің бар немесе жоқ болуына тексеру қажет. Таза стратегия –берілген немесе басқа стратегияны таңдаудан тұратын стратегия. Аралас стратегия –бұл таза стратегияның кездейсоқ түрде әртүрлі ықтималдықпен кезектесуі. Екі ойыншының қосындысы нөлге тең болатын mn матрицалық ойынын қарастырайық. Екі ойыншының қосындысы нөлге тең болатын ойыны сызықтық бағдарламалау тапсырмасына эквивалентті болады. Бұл берілген ойынның төлемдік матрицасына, шешімі екі ойыншының да оптималды стратегиясын анықтауға мүмкіндік беретін, СБЕ жұбын тұрғызуға болады дегенді білдіреді. Сонымен бірге кез-келген СБЕ керсінше ойыншылардың оңтайлыстратегиясы тапсырманың бастапқы шешімін беретіндей ойынды келтіруге мүмкіндік береді.Демек, кез-келген ойынның соңғы шешімі СБЕ шешуге негізделген. Төлемдік матрица арқылы берілген екі ойыншының ойынын қарастыраайық А= mn Ойынның шешімін табу, яғни ойыншылардың А және В екі оптималды аралас стратегиясын :SA=(p1, p2,…,pm) и SB=(q1,q2,…,qn), мұнда p1, p2,…,pm; q1,q2,…,qn; (p1+p2+…+pm=1 и q1+q2+…+qn=1) – таза стратегияларды қолдану ықтималдығы, яғни,мысалы, А1стратегиясы р1 ықтималдықпен қолданылса, нөлге тең болуы мүмкін,әрі олардың кейбіреуі активті емес стратегияға сәйкес келеді. Шешуі Оптималды стратегияны SA табайық. Ойын құны γ әзірше бізге белгісіз.γ> 0 (бұл шарттың орнындалуы үшін төлемдік матрицаның А барлық элементтері теріс болса жеткілікті)деп алайық. Егер теріс элементтер болса, онда барлық элементтерге оң шама М қосамыз; бұл жағдайда ойын құны М шамасына артады, алойынның шешімі өзгеріссіз қалады. А ойыншысы оптималды аралас стратегияны SА қолдансын, ал В ойыншысы –өзінің таза стратегиясын Вjқолданды деп алайық.Оннда А ойыншысының орташа ұтысы: aj=p1a1j+p2a2j+…+pmamj, (j=1,2,…,n)тең болады. Оңтайлыстратегиясының SА В ойыншысының кез-келген әрекетінде А жағының ойын құнынынан γ кем болмайтын ұтысын қамтамасыз ететін қасиеті бар. Бұл aj шамасының кез-келгені γ кем бола алмайтынын білдіреді. Сондықтан келесі шарттарды аламыз: Теңсіздіктің барлық мүшелерін γ бөлеміз. Онда берілген шарт өзгертуден кейін келесі түрге келеді: мұндаxi= . p1j+p2+…+pm=1 шартын қолданамыз және бұл теңдікке p1=х1γ, p2=х2γ,…,pm=хmγқойып, келесі шарты аламыз х1γ+х2γ+…+хmγ=1, соңғы теңдікті өзгертеміз: γ(х1+х2+…+хm)=1 и далее х1+х2+…+хm= . А ойыншысы өзінің кепілдендірілген ұтысын максималды түрде алуға тырысады, сондықтан мәні минималды болады. Сызықтық бағдарламалау тапсырмасының математикалық үлгісі сызықтық мақсатты функцияны минимумға жеткізетін х1, х2, …, хm, айнымалыларының теріс емес мәндерін анықтау Z(X)= х1+х2+…+хm → min Келесі шектеулер жүйесі орындалғанда: Бұл тапсырманың шешімі х1, х2, …, хmайнымалыларының мәніне жәнеZmin мәніне тең.Ойынның таза құны келесі формуладан анықталады γ=1/ Zmin. Енді рi (i=1,2,…,n) мәнін анықтаймыз және А ойыншысының оңтайлыстратегиясын анықтаймыз SA=(p1, p2,…,pm). В ойыншысы үшін оңтайлыстратегияны SB=(q1,q2,…,qn) анықтаудың барлық тұжырымдары сәйкесінше болады. Келесі шектеулердіаламыз: Теңсіздіктің барлық мүшелерін γ бөлеміз. Онда берілген барлық шарттар өзгерістен соң келесі түрге енеді: мұндаyj= . Берілген шартқа q1+q2+…+qn=1 q1=y1γ, q2=y2γ,…,qn=ynγ тепе- теңдіктерін қойып , келесі шартты аламыз y1γ+y2γ+…+ynγ=1, соңғы тепе-теңдікті өзгертеміз : γ(y1+y2+…+yn)=1 және y1+y2+…+yn= . Айырмашылығы В ойыншысы өз ұтылысын максималды мәнге жеткізуге емес керсінше минималды мәнге жеткізуге тырысады. ( шамасын максималды мәнге жеткізу). Сызықтық бағдарламалау тапсырмасының математикалық үлгісі у1, у2, …, уn, айнымалыларының сызықтық функцияны максимумға ұмтылдыратын теріс емес мәндерін анықтау L(У)= у1+у2+…+ уn → mах Келесі шектеулер жүйесі орындалғанда: Сонымен, ойынның шешімін табу үшін сызықтық бағдарламалау есептерінің симметриялық жұбын қарастырамыз. Біреуінің шешімін тауып, ал екіншісінің шешімін екіжақтылық теориясының негізінде анықтаймыз. жүктеу/скачать 159.47 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|