Олимпиада "Будущие исследователи – будущее науки" по математике (финальный тур) 9 клас



жүктеу 60.7 Kb.
Дата22.02.2016
өлшемі60.7 Kb.
Олимпиада "Будущие исследователи – будущее науки" по математике

(финальный тур)

9 класс.
1. Квадратный трёхчлен не имеет корней. Докажите, что если a+c<b , то числа a и с отрицательны.

Указание. По условию, график параболы не пересекается с осью Ох. Поскольку , то . Значит, ветви параболы направлены вниз и y(0)<0, т.е. а<0 и с<0.

Другое решение. Из неравенства следует, что а и с одного знака. Если предположить, от противного, что а>0 и с>0, то возведя в квадрат неравенство , получим , т.е. дискриминант . Противоречие.
2. Пусть s(n) обозначает сумму цифр (в десятичной записи) натурального числа n. Найдите все натуральные n, для которых n+s(n)=2011.

Ответ: 1991. Указание. Поскольку n<2011, то s(n)  2 + 9 + 9 + 9 = 29. Значит, n = 2011 – s(n)  1982. Поскольку числа n = 2011 и n = 2010, очевидно, не подходят, то для первых трех цифр числа n могут быть три возможности: 198, либо 199, либо 200. Пусть последняя (четвертая) цифра числа n равна х. Тогда в каждом из указанных случаев получим уравнение: либо 1) , либо 2) , либо 3) . Только во втором случае уравнение имеет целочисленное решение, а именно, х = 1.
3. Рёбра куба занумеровали числами от 1 до 12 и затем для каждой грани подсчитали сумму номеров на рёбрах данной грани. Докажите, что найдется грань, у которой эта сумма меньше 27.

Указание. Подсчитаем на каждой грани соответствующую сумму и затем сложим эти суммы для всех шести граней. Получим в результате (1 + 2 + … + 12)2, так как при таком подсчете любое ребро будет считаться дважды. Итак, получаем общую сумму 156, и тогда хотя бы для одной грани ее сумма номеров не превосходит. (Действительно, в противном случае мы получили бы общую сумму не меньше ).
4. В треугольнике ABC угол A равен 600, расстояния от вершин В и С до центра вписанной окружности треугольника ABC равны, соответственно, 3 и 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ. . Указание. Пусть О – центр вписанной окружности. Тогда , и поэтому . По теореме косинусов получим = = 37. Поэтому для радиуса R описанной окружности треугольника АВС будем иметь . Отсюда .
5. Единичный квадрат первой четверти на координатной плоскости () разбит на квадратики со стороной . Сколько узлов этого разбиения (внутри единичного квадрата) лежит на параболе ?

Ответ. 49. Указание. Узлы разбиения имеют координаты вида (i/5000, j/5000), где i, j = 1,2,…,4999. Условие того, что данный узел лежит на параболе, есть , т.е. . Значит, номер i должен иметь вид , где k – любое натуральное число, меньшее .

10 класс.
1. Пусть s(n) обозначает сумму цифр (в десятичной записи) натурального числа n. Найдите все натуральные n, для которых n+s(n)=2011.

Ответ: 1991. Указание. См. задачу 2 для 9 класса.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение || = имеет три различных корня.

Ответ. . Указание. Уравнение имеет корень х=а. При ха сократим обе части уравнения на . Тогда при х>а в левой части получим , а при х<а в левой части будет . Итак, при ха имеем совокупность двух систем: , либо . Вторая система не имеет решений, т.к. дискриминант ее квадратного уравнения . Корни квадратного уравнения первой системы равны . Условие того, что оба 'этих корня больше а, равносильно неравенству .
3. В треугольнике ABC угол A равен 600, расстояния от вершин В и С до центра вписанной окружности треугольника ABC равны, соответственно, 3 и 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. .

Ответ. . Указание. См. задачу 4 для 9 класса.
4. Единичный квадрат первой четверти на координатной плоскости () разбит на квадратики со стороной . Сколько узлов этого разбиения (внутри единичного квадрата) лежит на параболе ?.

Ответ. 49. Указание. См. задачу 5 для 9 класса.
5. а) Докажите, что равносторонний треугольник можно разбить на 2011 равносторонних треугольников. б) Можно ли добиться того, чтобы в искомом разбиении длины сторон разных треугольников принимали лишь два различных значения?

Ответ: б) да, можно. Указание. а) Конечно, пункт а) следует из положительного ответа пункта б), но можно привести независимое решение. Средними линиями равносторонний треугольник разбивается на 4 равносторонних треугольника, т.е число треугольников увеличивается на 3. Разбивая любой из получившихся треугольников на 4 равносторонних, мы будем иметь разбиение из 7 треугольников, и так далее: т.е. можно таким образом получить разбиение исходного треугольника на 3n+1 равносторонних треугольников для любого n.






б) Пусть дан равносторонний треугольник АВС с единичной стороной. Разобьём основание АС на 1004 равные части и возьмём точки и на сторонах АВ и СВ, соответственно, на расстоянии 1/1004 от точек А и С. Полосу между параллельными прямыми АС и в треугольнике АВС можно разбить на 1004+1003=2007 равносторонних треугольников со стороной 1/1004 (см. рисунок). Оставшаяся часть треугольника АВС представляет собой равносторонний треугольник со стороной 1003/1004, который средними линиями разбивается на 4 равносторонних треугольника. В результате получится искомое разбиение из 2011 треугольников со сторонами либо .1/1004, либо 1003/2008.



11 класс.
1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству < .

Указание. ОДЗ: . Пусть . Тогда имеем неравенство

. В случае, когда t<–1, получаем две системы:
, либо . В случае, когда 0<t<1, также имеем две системы: , либо



. Совокупность указанных решений четырех систем изображена на рисунке.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение || = имеет три различных корня.

Ответ. . Указание. См. задачу 2 для 10 класса
3. Найдите множество значений и наименьший период функции y = cos2 3x+ sin 6x.

Ответ. Множество значений , наименьший период /3. Указание. Преобразуем функцию y к виду , где  – вспомогательный угол (). Таким образом, график данной функции получается из графика растяжением по оси у в раз, затем сдвигом по оси х влево на величину и, наконец, сдвигом вверх по оси y на . Поэтому ответ на вопрос задачи следует из того, что множество значений функции есть [ 1;1], а наименьший период ; и, значит, множество значений данной функции есть , а период – такой же, как у функции , т.е. .
4. Дан треугольнике ABC, у которого сторона ВС вдвое больше стороны АВ , и в нём проведена биссектриса ВМ. а) Найдите отношение / , где ,— радиусы описанных окружностей треугольников АВМ и СВМ соответственно. б) Докажите, что , где ,— радиусы вписанных окружностей треугольников АВМ и СВМ соответственно.
Ответ. а) . / = ½ . Указание. а) Пусть, тогда . Тогда в треугольниках АВМ и СВМ имеем соотношения , . Отсюда / = АВ/ВС = ½ . (Заметим, что в данном решении не используется тот факт, что ВМ — биссектриса).

б) Площадь треугольника СВМ вдвое больше площади треугольника АВМ (это следует, например, из формулы площади по двум сторонам при вершине В и одному и тому же углу, равному половине угла В). Имеем и (здесь – периметры треугольников АВМ и СВМ, и при подсчете периметра мы воспользовались равенством СМ=2АМ, которое следует из свойства биссектрисы: СМ/AM=CB/AB). Обозначим d=BM, t=AB+AM. Очевидно (из неравенства треугольника), d<t. Таким образом, в этих обозначениях имеем 2(t+d) = (2t+d). Отсюда следует, во первых, что < . Во-вторых, искомое неравенство принимает вид 8t+4d > 6t+6d, т.е d<t.
5. а) Докажите, что равносторонний треугольник можно разбить на 2011 равносторонних треугольников. б) Можно ли добиться того, чтобы в искомом разбиении длины сторон разных треугольников принимали лишь два различных значения?

Ответ: б) да, можно. Указание. См. задачу 5 для 10 класса


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет