Олимпиада есептері



бет4/5
Дата08.11.2023
өлшемі0.61 Mb.
#482667
1   2   3   4   5
Олимпиада жинақ 1

1

1 сынып


1. Мына функциялардың графиктерін салыңдар:


а) y=sin(arcsinx)
б) y=arccos
Шешуі:

2. ax2002+вх1111+с=0 теңдеуінде а, в, с нақты сандар болса үш нақты түбірі бола ма?
Шешуі:Жоқ.
у=ах2002+вх1111+с және оның бір экстремалды нүктесі болатынын дәлелде.Осыдан берілген теңдеудің екіден артық емес әр түрлі түбірі болады.
33
3. Теріс емес нақты сандар жиынында теңдеу жүйесін шеш:

Шешуі:(0;0;0), (1;1;1)
Нұсқау: үш теңдеуді мүшелеп қосу керек.

4. sinх≤sin2х≤sin4х теңсіздігі орындалатын х-тың барлық нақты сан мәнін тап.


Шешуі:Берілген қос теңсіздікті былай жазуға болады:



Интервал әдісін қолданып және периодтылығын ескеріп, жауабын жаз.


х , n


5. 0 және 1 цифрлары мен жазылған және 15-ке бөлінетін жеті орынды сандардың қосындысын тап.
Шешуі:11 555 550
3-ке және 5-ке бөлінгіштік қасиетін қолдан.

6.Теңдік орындалатын ең кіші натурал n санын тап:


sin(n°+80°)+sin(n°-40°)+sin(n°+70°)=sin65°
Шешуі: 105
Берілген теңдікті тең түрлендіру арқылы келтір. sin( n+450) = ;

7.Теңдеуді шеш: (х2+х-1002,5)22=2005


Шешуі: 1002,5=а деп белгілеп, теңдеуді
2-а)(х2+2х+2-а) =0 түріне келтір. Сонда
х1,2=± және х3,4=-1±
у(х) = х2+х-а, у(у(х)) =х; у(х) =х; х2-а=0.

8. Пирамиданың төбесіндегі жазық бұрыш 180°-тан үлкен. Бір бүйір қабырғасы табанының жарты периметрінен кіші екенін дәлелде.


Шешуі:АS ең үлкен пирамиданың бүйір қыры. Бүйір жағының жазбасы АS қыры арқылы жасалған бүйір жағы, осы кесіндіге орта перпендикуляр жүргізу керек және ол S арқылы өтсе , олардың қиылысуы М нүктесі болады. Осыдан Р > 2, АМ > 2АS екенін дәлелдеу керек.

34
9.Теңсіздікті шеш: + ;


Шешуі:1;
f(х) = + анықталу аймағында монотонды өспелі, сондықтанf(х)≥f(-1)= >1.4

10.Теңсіздікті дәлелде: , х


Шешуі: q(x) = x - - оң жарты осьте монотонды кемитіндігін көрсет qᴵ(x) ≥ 0, х ≥ 0 qᴵ(x) = болса теңсіздік дәлелденді.
11. Фукцияның графигін салыңдар:

y = + ;




+ , + ,
+
+ ,
,

Жауабы: Графигі түзу сызық.
12.Теңдеудің бүтін түбірін тап: 2 -1=2ху
Берілген теңдеудің шешімі жоқ, себебі сол жағы тақ сан, ал оң жағы жұп сан.

13. Төрт таңбалы санның цифрларын кері жазғанда шыққан сан берілген саннан 4 есе кем болатын санды тап.


1000а+100в+10с+d деп белгілеу керек сонда
4(1000а+100в+10с+d)=1000d+100c+10b+a
Сол жағы жұп болғандықтан , оң жағы да жұп болады , ендеше
а-жұп цифр. а=2 басқа цифрды қойсақ бес орынды болады.
4d 2-ге аяқталады d=8.
4(1000*2+100в+10с+8) =1000*8+100с+10в+2 ,4(10в+с)+3=10с+в
40в+4с+3=10с+в , 13в+1=2с, в=1 ,с=7 ізделінді сан 2178
Жауабы: 2178
35
14. Тепе-теңдікті дәлелдеңдер:
=
=
=
=



15. Теңдеуді шеш: + = ;


Сол жағы барлық нақты сан жиынында өспелі функция, сондықтан барлық мәнді бір рет қабылдайды.
мәнін функция х=-1 –ге тең болғанда қабылдайды. мәнін функция х=-1 –ге тең болғанда қабылдайды.Жауабы: х= -1.
16.а-нің қандай мәнінде
теңдеу жүйесінің бір шешімі бар?
а=7
Координата жазықтығында у=4- және графиктерін салу керек. (0;а) және R=3 шеңбер теңдеуі болады.

17. теңсіздігін дәлелде.


1+cos1°=2 = = бағала . Бірлік дөңгелектің секторын х (0 < х < ) катеттері а=1 , в = tgx тік бұрышты үшбұрышпен жауып сектор ауданы мен үшбұрыш ауданын салыстырып, tgx>х, 0<х< . > > және 1+cos1° = < = ; Теңсіздік дәлелденді.

18. Теңдеуді шеш: ((х-3) )


((х-3) ) және
Екінші теңдеу -5х+6=0 ((х-3) sinх)=1
Х1=3; х2=2 х=3Жауабы: х=3.

36


19. Теңдеу жүйесін шеш:
Бірнеше жағдайды қарастыр:
1) х=0 және у=0 болса z өз бетінше қалады,
2) у=0 және х=0 болса z өз бетінше қалады,
3) z=0 онда х және у≠0
х=с, у=-с с кез келген сан с≠0
сондықтан бірінші теңдеуді 3у-ке, екіншіні (-у)-ке, үшіншіні х-ке көбейтіп қос.
+3 у+3х + - =0
(
х+у=уz бірінші теңдеуден
+ху+у(х+у)= ( z=3
үшіншіден хуz+у =0 х=- z =-3 x=-3 z=3

20. Екі құбыр бірге бассейнді 4 сағатта толтырады. Алдымен бірінші құбыр бассейннің жартысын толтырғаннан кейін оны жауып , екінші құбырды ашса, онда бассейн 9 сағатта толады. Жеке-жеке толтырса әр құбыр неше сағатта толтыра алады?


Біріншісі – х, екіншісі – у болсын. Мынандай жүйе құрамыз:
және
Жауабы: 6 сағат және 12 сағат.

21. Егер α, β, γ үшбұрыштың бұрыштары болса, онда мына теңдіктің дұрыс екенін дәлелдеңдер: cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1


α + β + γ = π, мына формулаларды қолдана отырып, cos2x = , cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = 2 cos cos дәлелдейміз.

22.Кіші картопты тазалағанша үлкен картопты тазалаған неге оңайырақ?


Бұнда ( картоп шар сияқты деп алса) онда көлемі және массасы радиустың кубына пропорционалды , беті радиустың квадратына пропорционал болады.

37

23. Теңдікті дәлелдеңдер: arctg1+ arctg + arctg = ;


arctg + arctg = -
tg(arctg + arctg = tg
= 1
= 1 1 = 1 дәлелденді.

24. Мынандай қатынастар орындалатындай: АВ=СД=8см; АС=ВД=10см; АВ=ВС=13см; кеңістікте фигура табуға бола ма? (төбелері А, В, С, Д болатын көпбұрыштан тұрады.


Ондай фигура бар. Оларды екі ұшбұрыш АВС және ВСД-дан алуға болады, екеуі бір-біріне тең беттеседі.


Д
С
А
В

25. xy = 2006 (x+y) теңдеуінің бүтін шешімі болатынын дәлелдеу керек.


Берілген теңдеуді мына түрге келтіреміз: (х – 2006)(у - 2006) = 20062одан х = у = 4012.

38

Қолданылған әдебиеттер:



  1. АгахановН.Х, О.К.Полипский «Математика Районные олимпиады», Москва Просвещение, 2010.




  1. Бугулов Е.А, Б.А.Толасов «Сборник задач для подготовки к математическим олимпиадам».

Северо-Осетинское книжное издательство, 1962.



  1. Горбачев Н.В. «Сборник олимпиадных задач по математике» – М.: МЦНМО, 2004.




  1. Муштари Д.Х. «Подготовка к математическим олимпиадам» МуштариД.К. – Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 2000.




  1. Фарков А.В. «Математические олимпиады в школе 5-11 классы», Москва Айрис-пресс, 2009.

39



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет