1
1 сынып
1. Мына функциялардың графиктерін салыңдар:
а) y=sin(arcsinx)
б) y=arccos
Шешуі:
2. ax2002+вх1111+с=0 теңдеуінде а, в, с нақты сандар болса үш нақты түбірі бола ма?
Шешуі:Жоқ.
у=ах2002+вх1111+с және оның бір экстремалды нүктесі болатынын дәлелде.Осыдан берілген теңдеудің екіден артық емес әр түрлі түбірі болады.
33
3. Теріс емес нақты сандар жиынында теңдеу жүйесін шеш:
Шешуі:(0;0;0), (1;1;1)
Нұсқау: үш теңдеуді мүшелеп қосу керек.
4. sinх≤sin2х≤sin4х теңсіздігі орындалатын х-тың барлық нақты сан мәнін тап.
Шешуі:Берілген қос теңсіздікті былай жазуға болады:
Интервал әдісін қолданып және периодтылығын ескеріп, жауабын жаз.
х , n
5. 0 және 1 цифрлары мен жазылған және 15-ке бөлінетін жеті орынды сандардың қосындысын тап.
Шешуі:11 555 550
3-ке және 5-ке бөлінгіштік қасиетін қолдан.
6.Теңдік орындалатын ең кіші натурал n санын тап:
sin(n°+80°)+sin(n°-40°)+sin(n°+70°)=sin65°
Шешуі: 105
Берілген теңдікті тең түрлендіру арқылы келтір. sin( n+450) = ;
7.Теңдеуді шеш: (х2+х-1002,5)2+х2=2005
Шешуі: 1002,5=а деп белгілеп, теңдеуді
(х2-а)(х2+2х+2-а) =0 түріне келтір. Сонда
х1,2=± және х3,4=-1±
у(х) = х2+х-а, у(у(х)) =х; у(х) =х; х2-а=0.
8. Пирамиданың төбесіндегі жазық бұрыш 180°-тан үлкен. Бір бүйір қабырғасы табанының жарты периметрінен кіші екенін дәлелде.
Шешуі:АS ең үлкен пирамиданың бүйір қыры. Бүйір жағының жазбасы АS қыры арқылы жасалған бүйір жағы, осы кесіндіге орта перпендикуляр жүргізу керек және ол S арқылы өтсе , олардың қиылысуы М нүктесі болады. Осыдан Р > 2, АМ > 2АS екенін дәлелдеу керек.
34
9.Теңсіздікті шеш: + ;
Шешуі:1;
f(х) = + анықталу аймағында монотонды өспелі, сондықтанf(х)≥f(-1)= >1.4
10.Теңсіздікті дәлелде: , х
Шешуі: q(x) = x - - оң жарты осьте монотонды кемитіндігін көрсет qᴵ(x) ≥ 0, х ≥ 0 qᴵ(x) = болса теңсіздік дәлелденді.
11. Фукцияның графигін салыңдар:
y = + ;
+ , + ,
+
+ ,
,
Жауабы: Графигі түзу сызық.
12.Теңдеудің бүтін түбірін тап: 2 -1=2ху
Берілген теңдеудің шешімі жоқ, себебі сол жағы тақ сан, ал оң жағы жұп сан.
13. Төрт таңбалы санның цифрларын кері жазғанда шыққан сан берілген саннан 4 есе кем болатын санды тап.
1000а+100в+10с+d деп белгілеу керек сонда
4(1000а+100в+10с+d)=1000d+100c+10b+a
Сол жағы жұп болғандықтан , оң жағы да жұп болады , ендеше
а-жұп цифр. а=2 басқа цифрды қойсақ бес орынды болады.
4d 2-ге аяқталады d=8.
4(1000*2+100в+10с+8) =1000*8+100с+10в+2 ,4(10в+с)+3=10с+в
40в+4с+3=10с+в , 13в+1=2с, в=1 ,с=7 ізделінді сан 2178
Жауабы: 2178
35
14. Тепе-теңдікті дәлелдеңдер:
=
=
=
=
15. Теңдеуді шеш: + = ;
Сол жағы барлық нақты сан жиынында өспелі функция, сондықтан барлық мәнді бір рет қабылдайды.
мәнін функция х=-1 –ге тең болғанда қабылдайды. мәнін функция х=-1 –ге тең болғанда қабылдайды.Жауабы: х= -1.
16.а-нің қандай мәнінде
теңдеу жүйесінің бір шешімі бар?
а=7
Координата жазықтығында у=4- және графиктерін салу керек. (0;а) және R=3 шеңбер теңдеуі болады.
17. теңсіздігін дәлелде.
1+cos1°=2 = = бағала . Бірлік дөңгелектің секторын х (0 < х < ) катеттері а=1 , в = tgx тік бұрышты үшбұрышпен жауып сектор ауданы мен үшбұрыш ауданын салыстырып, tgx>х, 0<х< . > > және 1+cos1° = < = ; Теңсіздік дәлелденді.
18. Теңдеуді шеш: ((х-3) )
((х-3) ) және
Екінші теңдеу -5х+6=0 ((х-3) sinх)=1
Х1=3; х2=2 х=3Жауабы: х=3.
36
19. Теңдеу жүйесін шеш:
Бірнеше жағдайды қарастыр:
1) х=0 және у=0 болса z өз бетінше қалады,
2) у=0 және х=0 болса z өз бетінше қалады,
3) z=0 онда х және у≠0
х=с, у=-с с кез келген сан с≠0
сондықтан бірінші теңдеуді 3у-ке, екіншіні (-у)-ке, үшіншіні х-ке көбейтіп қос.
+3 у+3х + - =0
(
х+у=уz бірінші теңдеуден
+ху+у(х+у)= ( z=3
үшіншіден хуz+у =0 х=- z =-3 x=-3 z=3
20. Екі құбыр бірге бассейнді 4 сағатта толтырады. Алдымен бірінші құбыр бассейннің жартысын толтырғаннан кейін оны жауып , екінші құбырды ашса, онда бассейн 9 сағатта толады. Жеке-жеке толтырса әр құбыр неше сағатта толтыра алады?
Біріншісі – х, екіншісі – у болсын. Мынандай жүйе құрамыз:
және
Жауабы: 6 сағат және 12 сағат.
21. Егер α, β, γ үшбұрыштың бұрыштары болса, онда мына теңдіктің дұрыс екенін дәлелдеңдер: cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1
α + β + γ = π, мына формулаларды қолдана отырып, cos2x = , cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = 2 cos cos дәлелдейміз.
22.Кіші картопты тазалағанша үлкен картопты тазалаған неге оңайырақ?
Бұнда ( картоп шар сияқты деп алса) онда көлемі және массасы радиустың кубына пропорционалды , беті радиустың квадратына пропорционал болады.
37
23. Теңдікті дәлелдеңдер: arctg1+ arctg + arctg = ;
arctg + arctg = -
tg(arctg + arctg = tg
= 1
= 1 1 = 1 дәлелденді.
24. Мынандай қатынастар орындалатындай: АВ=СД=8см; АС=ВД=10см; АВ=ВС=13см; кеңістікте фигура табуға бола ма? (төбелері А, В, С, Д болатын көпбұрыштан тұрады.
Ондай фигура бар. Оларды екі ұшбұрыш АВС және ВСД-дан алуға болады, екеуі бір-біріне тең беттеседі.
Д
С
А
В
25. xy = 2006 (x+y) теңдеуінің бүтін шешімі болатынын дәлелдеу керек.
Берілген теңдеуді мына түрге келтіреміз: (х – 2006)(у - 2006) = 20062одан х = у = 4012.
38
Қолданылған әдебиеттер:
АгахановН.Х, О.К.Полипский «Математика Районные олимпиады», Москва Просвещение, 2010.
Бугулов Е.А, Б.А.Толасов «Сборник задач для подготовки к математическим олимпиадам».
Северо-Осетинское книжное издательство, 1962.
Горбачев Н.В. «Сборник олимпиадных задач по математике» – М.: МЦНМО, 2004.
Муштари Д.Х. «Подготовка к математическим олимпиадам» МуштариД.К. – Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 2000.
Фарков А.В. «Математические олимпиады в школе 5-11 классы», Москва Айрис-пресс, 2009.
39
Достарыңызбен бөлісу: |