Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли
жүктеу/скачать 5.55 Mb. Pdf көрінісі
|
|
Кривые волатильности Традиционные методы определения теоретической стоимости явно имеют недостатки. Рынки не идеальны, цены не всегда описываются диффузионными процессами, волатильность не остается постоянной в течение срока действия опциона, в реальной жизни цены не всегда распределяются логнормально. При таких недостатках практическая ценность этих методов может показаться сомнительной. Но большинство трейдеров считают, что эти методы, хотя и далекие от совершенства, – бесценный инструмент для принятия решений на опционном рынке. Даже при наличии недостатков они демонстрируют превосходство над всеми осталь- ными методами оценки опционов. Однако трейдер, который хочет принимать оптимальные решения, не может игнориро- вать недостатки метода определения теоретической стоимости. Он должен попытаться снизить погрешности, связанные с этими недостатками. Прежде всего можно просто подобрать наибо- лее подходящую модель рынка и основанный на ней метод оценки опционов. Если ее удастся найти, то старый подход, безусловно, нужно заменить на новый. Но «более подходящая» – понятие относительное. Метод может обеспечивать более высокую точность определения тео- ретической стоимости. Но если он очень сложен и труден в использовании или если он требует дополнительной информации, в надежности которой трейдер не может быть уверен, тогда это простая замена одних проблем на другие. Учитывая, что большинство трейдеров не теоретики, разумнее взять менее сложную модель и тем или иным образом адаптировать ее к реалиям рынка. Трейдер может предположить, что рынок пользуется тем же, что и он, способом оценки опционов, а затем выяснить, как рынок устраняет недостатки этого подхода. Это похоже на проделанный нами расчет рыночной волатильности, когда мы предположили, что все участ- ники рынка пользуются одним и тем же методом, что цена опциона известна и что все дого- ворились между собой обо всех исходных показателях, кроме волатильности. После этого мы сумели определить волатильность, которую рынок присваивает базовому контракту. Мы при- меняем тот же подход, но теперь спрашиваем, какие недостатки рынок видит у метода оценки опционов. Ответить на этот вопрос труднее. На илл. 18.7 показаны расчетные цены и рыночные волатильности декабрьских опционов на фьючерсы на бунды, торгуемые на Лондонской международной бирже финансовых фью- черсов (London International Financial Futures Exchange – LIFFE). Поскольку на LIFFE расчеты по опционам осуществляются как по фьючерсным контрактам, используемая при теоретиче- ских расчетах процентная ставка равна нулю. В результате возможность досрочного исполне- ния ничего не добавляет в стоимость опционов, и все рыночные волатильности можно рассчи- тать с помощью формулы Блэка – Шоулза. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 421 По обычным меркам бунды очень низковолатильны. Но и при этом показатели отражают многие знакомые трейдерам свойства опционных рынков. Обратите внимание, что у коллов и путов с одной и той же ценой исполнения одинаковые рыночные волатильности. Если бы это было не так, то цены говорили бы о возможности арбитража. Если бы коллы были переоценены по сравнению с путами, то трейдер мог бы получить прибыль на конверсии; если бы путы были переоценены по сравнению с коллами, то трейдер мог бы получить прибыль на реверсии. То, что у коллов и путов одинаковые рыночные волатильности, указывает на то, что рынок эффективен с точки зрения арбитража 77 . К сожалению, рыночные волатильности при разных ценах исполнения не одинаковы, и это создает проблемы для тех, кто считает модель Блэка – Шоулза эффективной на 100 %. Могут ли те трейдеры, торгующие 89 коллом или путом, полагать, что волатильность декабрь- ского фьючерса составит 3,60, а те, кто торгует 85 коллом или путом, полагать, что волатиль- ность декабрьского фьючерса составит 3,82? Если предположить, что цена исполнения, время до экспирации, базовая цена и про- центная ставка известны, то теоретическая стоимость опциона в мире Блэка – Шоулза зависит исключительно от волатильности базового контракта в течение срока действия опциона. За этот период волатильность может быть только одной. Правда, мы не можем знать, какова она, до самой экспирации, когда становится ясно, каким было ее значение. Но декабрьский фьючерс на германские облигации может иметь в течение срока действия только одну волатильность. Поскольку у всех декабрьских опционов на германские облигации один и тот же базовый кон- тракт, нет причин, по которым у каждой цены исполнения должна быть своя волатильность. Истинному приверженцу модели Блэка – Шоулза в таких условиях следовало бы, исходя из 77 Расчетные цены, подобные показанным на илл. 18.7, соответствуют эффективному рынку, который исключает возмож- ность арбитража. В течение торгового дня из-за того, что цена спроса опциона отличается от цены предложения, и из-за того, что сделки происходят не одновременно, рынки могут быть менее эффективными. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 422 своей лучшей оценки волатильности, продавать опционы, которые кажутся переоцененными, и покупать опционы, которые кажутся недооцененными. Мы можем представить себе рынок в виде единственного крупного трейдера. Если бы рыночная торговля была результатом всеоб- щей уверенности в эффективности модели Блэка – Шоулза, то продажа переоцененных опцио- нов и покупка недооцененных опционов в конечном счете привела бы к выравниванию рыноч- ной волатильности всех опционов. Однако на практике этого не происходит. Рынок, как и каждый отдельный трейдер, пытается как можно точнее оценить опционы, приняв во внимание всю имеющуюся информации. Верим ли мы в эффективность рынков или нет, рынок как минимум пытается быть эффективным. Разброс рыночных волатильностей, который обнаруживается практически на любом опционном рынке, показывает, что рынок не считает модель Блэка – Шоулза эффективной на 100 %. К сожалению, выявить причину ее неэффективности довольно сложно. Возможно, дело в том, что рынки не идеальны, или в том, что цены не описываются диффузионными процессами, или в том, что волатильность не оста- ется неизменной в течение срока действия опциона, или в том, что реальное распределение отличается от логнормального. В чем бы ни была причина, рынок считает, что опционы в любой момент оценены эффективно, даже если цены отличаются от рассчитанных по формуле. Трейдеры, пользующиеся тем или иным методом определения теоретической стоимо- сти опционов, нередко выражают цены через их рыночные волатильности. Трейдер, желаю- щий не только пользоваться своим методом, но и приблизить его к рыночному, может полу- чить дополнительную информацию из распределения рыночных волатильностей. Он может построить график рыночных волатильностей для разных цен исполнения. Подобный график для декабрьских опционов на бунды приведен на илл. 18.8а. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 423 Полученный график, который обычно называют кривой волатильности, имеет вполне определенную форму. Нижняя точка графика близка к цене базового контракта (87,86), а его правая и левая части (напоминающие ветви параболы) идут вверх по мере удаления цены исполнения от цены базового контракта. На основании этого графика большинство трейдеров считают, что реальный рынок предполагает более высокую вероятность значительного измене- ния цены, чем модель Блэка – Шоулза. Если мы еще раз посмотрим на илл. 18.5а, 18.5b и 18.5c, то увидим, что они правы. Наличие выбросов показывает, что в реальной жизни значительные изменения цены наблюдаются чаще, чем предсказывает нормальное распределение. По-види- мому, именно возможность таких значительных изменений и заставляет рынок завышать цены таких опционов, которые находятся сильно вне денег или глубоко в деньгах. Также мы видим, что некоторые опционы явно слишком дороги или слишком дешевы по сравнению со своими соседями. Мы можем не знать точную стоимость 88,50 колла, но видим, что он явно слишком дешев по сравнению с 88 и 89 коллами. Аналогично мы можем не знать точную стоимость 87 пута, но он явно слишком дорог по сравнению с 86,50 и 87,50 путами. В первом случае трейдер может продать 88,50/89,00/89,50 бабочку. Во втором случае он может купить 86,50/87,00/87,50 бабочку. Что бы мы ни думали о кривой волатильности, рыночная волатильность для одной цены исполнения должна плавно переходить в рыночную волатиль- ность для другой цены исполнения. Пользующийся формулой Блэка – Шоулза трейдер может посчитать, что кривая вола- тильности содержит полезную информацию, которую следует учитывать при принятии реше- ний. Например, он может рассматривать кривую волатильности как отражение относительной стоимости опционов и использовать ее при оценке опционов. К сожалению, работать с кри- вой волатильности сложно из-за отсутствия точной формулы. Кроме того, трейдеры обычно используют этот график в зависимости от своих целей. Маркет- мейкер может использовать его для одного, спекулянт или хеджер, для другого. К тому же каждый трейдер должен сам оце- нивать точность содержащейся в графике информации. Трейдер, взгляды которого на рынок отличаются от картины, представляемой кривой волатильности, будет по-иному оценивать привлекательность стратегий. Допустим, трейдер работает на рынке опционов на германские облигации и хочет встро- ить кривую волатильности в свой метод оценки опционов. Он хочет, чтобы его теоретические стоимости не противоречили этой кривой, но у него есть определенное мнение о волатиль- ности. Что делать этому трейдеру? Вернувшись к илл. 18.7, мы видим, что рыночная вола- тильность опционов на деньгах примерно равна 3,58. Предположим, что, по мнению трейдера, рыночная волатильность слишком низка и должна быть выше на 0,25 процентных пункта, т. е. равна 3,83. Если трейдер считает, что кривая волатильности отражает относительную стои- мость опционов, то он может сдвинуть график вверх на 0,25 пункта волатильности и исполь- зовать новые волатильности для оценки опционов при разных ценах исполнения. Такой под- ход позволяет учесть и мнение о недооценке рыночной волатильности, и отражаемую кривой волатильности относительную стоимость опционов. Точно так же трейдер может сдвинуть кривую волатильности вправо или влево в соответ- ствии с изменением цены базового контракта. Если через несколько недель цена базового кон- тракта повысится на 2,00, то трейдер может сохранить форму кривой, но сдвинуть ее вправо на два пункта. Одновременно он может поднять или опустить кривую, используя как ориентир опционы на деньгах, чтобы отразить свое мнение о рыночной волатильности. Таким образом, можно использовать полученный график для оценки опционов при разных ценах исполнения и выбора стратегии. Результаты смещения графика вверх или вниз, влево или вправо показаны на илл. 18.8b. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 424 Сдвиг графика обоснован, если трейдер считает, что форма кривой останется постоян- ной, как бы ни менялись рыночные условия. Но так ли это? Рыночные волатильности при раз- ных ценах исполнения зависят от того, как рынок оценивает вероятность значительного изме- нения цены базового контракта. Но все изменения относительны, их необходимо соизмерять с ценой базового контракта и периодом времени. В относительном выражении изменение на четыре пункта цены, равной 80 долл. (5 %), больше изменения на четыре пункта цены, рав- ной 100 долл. (4 %). В относительном выражении изменение на четыре пункта за две недели больше такого же изменения за два месяца. То, как кривая волатильности меняется с изменением рыночных условий, видно на илл. 18.8с. Со временем форма графика меняется, кривой становится менее пологим. Также гра- фик сдвигается, поскольку меняется и цена базового контракта, и рыночная волатильность. Это создает проблему для трейдера, желающего интегрировать график в свой метод оценки опционов. Рассматриваемые нами методы используются не только для оценки опционов в сло- жившихся условиях, но и для оценки риска в случае изменения рыночных условий. Если трей- дер хочет полностью встроить кривую волатильности в свой способ, ему нужно знать, как она меняется с изменением рыночных условий. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 425 Как мы уже сказали, изменение цены базового контракта имеет смысл представлять в относительном выражении, учитывая саму цену базового контракта и период времени. Если мы пользуемся определенным методом вычисления теоретической стоимости опционов, то можем выяснить, как в нем представляется изменение цены базового контракта. Тогда можно опреде- лить, как выражается соотношение цены базового контракта и цен исполнения. Это позволит нам понять, как изменяется кривая волатильности. В модели Блэка – Шоулза для описания изменения цены базового контракта использу- ется логарифмическая функция 78 , а соотношение цены исполнения опциона и текущей цены базового контракта выражается логарифмом цены исполнения, деленной на цену базового кон- тракта. Причем формула содержит квадратный корень из времени, поэтому в данной модели относительное изменение цены, требуемое для достижения цены исполнения, определяется по формуле: ln (цена исполнения / цена базового контракта) / √время, где время выражается в годах. Поскольку мы используем формулу Блэка – Шоулза для расчета рыночных волатильностей опционов и в этой модели цены исполнения выражаются только что описанным образом, имеет смысл выразить таким же образом цены исполнения нашего графика. Результаты этой операции показаны на илл. 18.8d. 78 Более подробно логарифмическая функция, а также связь между временем и волатильностью рассмотрены в приложе- нии B. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 426 Теперь, когда у нас новая шкала на оси Х, кривые волатильности стали очень похожими. Нам по-прежнему нужно учитывать, что они смещены относительно друг друга из-за разных волатильностей. Чтобы получить единообразную ось волатильности (ось Y), мы можем выра- зить все волатильности данной кривой через волатильность гипотетического опциона, кото- рый находится точно на деньгах. Вернувшись к илл. 18.8а, мы видим, что при цене базового контракта 87,86 рыночная волатильность опциона с ценой исполнения 87,86 (опциона, тео- ретически находящегося на деньгах) примерно равна 3,57 %. Поэтому можно представить волатильность при каждой цене исполнения в виде разницы между волатильностью этой цены исполнения и 3,57. При таком подходе цене исполнения 91 с рыночной волатильностью 3,81 (точка, в которой график пересекает линию цены исполнения, равной 91) соответствует зна- чение: 3,81 – 3,57 = 0,24. Цене исполнения 86 с рыночной волатильностью 3,68 соответствует значение: 3,68 – 3,57 = 0,11. Этот прием применим, когда рыночные волатильности относительно постоянны. Но предположим, что рыночная волатильность на рынке опционов на бунды удвоится и достигнет 7,00 %. В этих условиях можно ожидать, что рыночные волатильности при всех ценах испол- нения тоже удвоятся. Рыночная волатильность цены исполнения 90 составит не 3,81, а 7,62. А рыночная волатильность цены исполнения 86 составит не 3,68, а 7,36. Поскольку рыноч- ная волатильность может измениться, нам нужно соотнести общее изменение рыночной вола- тильности с изменением рыночной волатильности каждой цены исполнения. Для этого проще всего выразить рыночную волатильность при каждой цене исполнения в процентах от рыноч- ной волатильности на деньгах. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 427 Так, если рыночная волатильность на деньгах – 3,57, то цене исполнения 90 с рыночной волатильностью 3,81 соответствует значение: 3,81/3,57 = 106,7 %. Цене исполнения 86 с рыночной волатильностью 3,68 соответствует значение: 3,68/3,57 = 103,1 %. Выразив рыночную волатильность в процентах от волатильности на деньгах, а цену исполнения через логарифмы и время, получим график, представленный на илл. 18.8е. С новыми шкалами на осях кривые волатильности неодинаковы, но выглядят очень похоже. Если предположить, что кривая волатильности похожа на графики илл. 18.8е при любых условиях, то можно рассматривать кривую волатильности как еще одну переменную, подлежащую использованию при оценке опционов. Тогда вместо пяти обычных переменных (времени до экспирации, цены исполнения, цены базового контракта, процентной ставки, вола- тильности) у нас будет шесть переменных (илл. 18.9). Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 428 Если мы хотим ввести кривую волатильности в формулу оценки опциона как перемен- ную, то нужно обеспечить совместимость. Иными словами, нам необходима формула для выра- жения кривой. Это сложно только на первый взгляд, поскольку многие кривые волатильности описываются простыми выражениями. На илл. 18.10 изображена функция, график которой по форме примерно соответствует кривым волатильности на илл. 18.8. Если допустить, что эта функция хорошо описывает кривую волатильности, то можно использовать ее как переменную в нашем методе. Чтобы проанализировать стоимость опционной позиции при различных допу- щениях относительно цены базового контракта, времени до экспирации и волатильности, нам нужно выразить волатильность при каждой цене исполнения с использованием этой функции: волатильность при цене исполнения = волатильность на деньгах х f(x), где цена исполнения (E) представлена в относительном выражении через цену базового контракта (U) и время до экспирации (t): ln (E / U) / √t. Конечно, трейдер вовсе не обязан безоговорочно доверять кривой волатильности на опционном рынке. Он может считать, что вероятность значительного изменения цены базо- вого контракта невелика, и опустить ветви кривой или считать, что вероятность значительного изменения цены велика, и поднять ветви кривой. Такие изменения также показаны на илл. 18.10. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 429 Маркет-мейкер может использовать кривую волатильности для корректировки заявок на покупку и продажу. Если он обнаружит, что у его позиции большая положительная гамма, и захочет продать опционы для снижения риска, то может слегка сдвинуть кривую вниз. Эффект будет тот же, что и от снижения цен заявок по всем опционам. Если маркет-мейкер продал большое количество коллов или путов вне денег, он может скорректировать кривую, подняв ее ветви. Эффект будет тот же, что и от увеличения цен заявок по всем опционам вне денег. Кривая волатильности на рынке опционов на бунды из нашего примера имеет наиболее типичную форму, форму практически симметричной улыбки. Но так бывает не всегда. Эти кривые могут быть симметричными и асимметричными, они могут отражать завышенные и заниженные рыночные волатильности при разных ценах исполнения, в зависимости от того, как рынок оценивает вероятность и последствия движений цены на базовом рынке. Кроме того, на рынках фондовых индексов, где не всегда можно воспользоваться неправильным соотноше- нием цен и провести арбитраж (см. главу 15), коллы и путы с одинаковыми ценами исполнения не обязательно торгуются по одной и той же рыночной волатильности. По этой причине мно- гие трейдеры на рынках фондовых индексов предпочитают оценивать кривые волатильности коллов и путов раздельно. Например, на илл. 18.11а и 18.11b показаны рыночные волатильности мартовских коллов и путов на ОЕХ 1993 г. с разным временем до экспирации 79 . Обратите внимание на ярко выра- женный рост рыночных волатильностей и коллов, и путов по мере уменьшения цен исполне- ния. Точно сказать, чем объясняется подобная форма графика, сложно (она может указывать на то, что, по мнению рынка, фондовые рынки падают быстрее, чем растут, как это доказал октябрь 1987 г., или же отражать тот факт, что опционы на фондовые индексы нередко исполь- 79 Из-за возможности досрочного исполнения для расчета рыночных волатильностей ОЕХ используется модель Кокса – Росса – Рубинштейна. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 430 зуются для хеджирования длинных позиций в акциях), но, похоже, рынок присваивает боль- шую относительную стоимость более низким ценам исполнения. Трейдер, решивший исполь- зовать эту относительную оценку рынка, может попытаться встроить кривую волатильности в свой способ определения теоретической стоимости опционов. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 431 Как и ранее, мы можем представить кривую волатильности в относительном выражении через логарифм отношения цены исполнения к цене базового индекса. Считается, что значе- ния фондовых индексов, как и цены акций, логарифмически распределяются вокруг форвард- ного значения индекса, т. е. текущего значения индекса плюс затраты на поддержание позиции минус дивиденды. Поэтому имеет смысл выразить цену исполнения через форвардную цену, а не через значение индекса: ln (цена исполнения / форвардная цена) / √время Результаты представлены на илл. 18.11с и 18.11d (форвардная цена ОЕХ указана в скоб- ках). Кривые волатильности на илл. 18.11с и 18.11d явно отличаются друг от друга, и все же их сходство больше, чем можно было ожидать исходя из илл. 18.11а и 18.11b. Если трейдер подберет две функции для описания кривых, одну для коллов, а другую для путов, то он может использовать их для анализа позиции в разных рыночных условиях. Значение кривых волатильности как инструмента оценки и управления риском трейдеры стали осознавать только в последние годы. В этом разделе мы не пытались решить все про- блемы, возникающие у трейдеров при анализе кривых волатильности, а лишь показали воз- можные подходы к их решению. Наработав опыт, каждый трейдер должен сам решить, как ему лучше использовать кривые волатильности с учетом особенностей рынка и своих целей. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 432 Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 433 жүктеу/скачать 5.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|