Случайное блуждание и нормальное распределение

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
76
Если бросить бесконечно большое количество шариков, то распределение будет описы-
ваться колоколообразной кривой, подобной той, что показана на илл. 4.2. Такая кривая сим-
метрична (правая часть является зеркальным отражением левой), ее пик находится в центре,
а хвосты всегда устремлены вниз и в стороны от центра.
Кривые нормального распределения используются для описания результатов случайных
событий. Например, кривая на илл. 4.2 может показывать результаты 15-кратного подбрасы-
вания монетки. Каждый результат – это количество решек, выпавших при 15-кратном подбра-
сывании монетки. Результат 0 означает, что решка не выпала ни разу, а все 15 раз выпал орел.
Результат 15 означает, что решка выпала 15 раз, а орел – ни разу. Конечно, было бы странно,
если бы мы подбрасывали монетку 15 раз и каждый раз выпадал только решка или только орел.
Если центр тяжести в монетке не смещен, то наиболее вероятным является результат 8 решек
и 7 орлов или 9 решек и 6 орлов.
Давайте слегка изменим условия игры, поставив вертикальные перегородки таким обра-
зом, что теперь, наткнувшись на штырек и отклонившись влево или вправо, шарик опустится
до соприкосновения со следующим штырьком не на один, а на два уровня. Если бросить доста-
точное количество шариков, то получится распределение, представленное кривой на илл. 4.3.
Поскольку боковые движения шариков ограниченны, пик этой кривой будет выше, а ее хвосты
будут более узкими, чем у кривой на илл. 4.2. Несмотря на изменение формы, это по-прежнему
кривая нормального распределения, но с несколько иными характеристиками.

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
77
Наконец, мы можем поставить горизонтальные перегородки так, что, попадая на следую-
щий уровень, шарик будет каждый раз отклоняться на два штырька влево или вправо. И снова,
если бросить достаточное количество шариков, то получится распределение, представленное
кривой на илл. 4.4. У этой кривой, которая также отражает нормальное распределение, пик
намного ниже, а хвосты убывают намного медленнее, чем у кривых на илл. 4.2 или 4.3.
Пусть боковые движения шарика символизируют повышательные и понижательные изме-
нения цены базового контракта, а движение вниз – течение времени. Если предположить, что
цена базового контракта каждый день повышается или понижается на доллар, то распределе-
ние значений цены через 15 дней будет представлено кривой на илл. 4.2. Если предположить,
что цена повышается или понижается на доллар каждые два дня, то распределение будет пред-
ставлено кривой на илл. 4.3. А если предположить, что цена за день растет или падает на 2
долл., то распределение будет представлено кривой на илл. 4.4.
Если сегодня базовый контракт стоит 100 долл., а срок его действия истекает через 15
дней, то как определить стоимость 105 колла? Один из способов – допустить, что распределе-
ние значений цены во времени носит случайный характер и что возможное распределение цен
через 15 дней представляет кривая на илл. 4.2, 4.3 или 4.4. Относительная стоимость 105 колла
при трех сценариях показана на илл. 4.5. Если взять распределение, показанное на илл. 4.3, то
видно, что вероятность повышения цены базового контракта до 105 долл. крайне мала. Следо-
вательно, стоимость 105 колла невысока. Если взять распределение, показанное на илл. 4.2, то
эта вероятность будет выше, а значит, выше и стоимость колла. Наконец, при распределении,

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
78
показанном на илл. 4.4, вероятность того, что 105 колл окажется на дату экспирации в деньгах,
весьма реальна. А это означает, что стоимость такого опциона должна быть намного выше.
Если исходить только из того, что изменения цены базового контракта носят случайный
характер, и ничего не говорить о вероятном направлении изменения, то можно утверждать,
что кривые на илл. 4.2–4.4 отражают распределения значений цены соответственно на уме-
ренно, низко- и высоковолатильном рынке. На низковолатильном рынке цены колеблются в
узком диапазоне, а следовательно, опционные премии невысоки. На высоковолатильном рынке
вероятность резкого изменения цен намного больше и премии опционов высоки.
Поскольку представленные на илл. 4.5 распределения значений цены симметричны,
может показаться, что рост волатильности не оказывает на стоимость опциона никакого вли-
яния. В конце концов, с ростом волатильности растет не только вероятность значительного
повышения цены, но и вероятность ее значительного снижения. Однако здесь важно учитывать
различие между позицией в опционе и позицией в базовом контракте. В отличие от убытков
по базовому контракту потенциальные убытки по опциону ограниченны. Как бы низко ни упал
рынок, стоимость опциона колл может уменьшиться только до нуля. В нашем примере, какой
бы ни была цена при экспирации – 80 или 104 долл., стоимость 105 колла окажется нулевой.
Однако если купить базовый контракт за 100 долл., то нам будет совсем небезразлично, чему
равна конечная цена – 80 или 104 долл. В случае базового контракта важны все результаты,
в случае опциона – только те, при которых опцион оказывается в деньгах. На илл. 4.5 нас

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
79
интересуют только значения цены базового контракта справа от цены исполнения опциона, все
остальное – это «нуль».
С этим и связано важное различие между оценкой базового контракта и оценкой опци-
она. Если предположить, что значения цены базового контракта подчиняются нормальному
распределению, то стоимость базового контракта определяется местоположением пика кривой,
изображающей это распределение, в то время как стоимость опциона зависит от «узости» или
«широты» распределения.

Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли»
80

жүктеу/скачать 5.55 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: