Операторлыš есептеу



бет1/3
Дата21.06.2016
өлшемі1.79 Mb.
#152429
  1   2   3
šаза›стан Республикасы білім жÙне “ылым Министрлігі
С. Торай“ыров атында“ы Павлодар мемлекеттік университеті
Физика, математика жÙне а›паратты› технологиялар институты
Алгебра жÙне математика кафедрасы

ОПЕРАТОРЛЫš ЕСЕПТЕУ

Техникалы› маманды›тар“а о›итын студенттерге арнал“ан

о›у-Щдістемелік ›±ралы

Павлодар


УДК 517.445 (075.8)

ББК 22.161 я 73

М 88

С. Торай“ыров атында“ы ПМУ ’ылыми кеЈесі ±сын“ан
Пікірсарапшылар:

љара“анды мемлекеттік техникалы› университетініЈ профессоры Н. Шділбек

Павлодар университетініЈ профессоры М.М. Аяшинов
М.М. М±хтаров, Н.М. Исмагулова, Т.М. Бергузинова

Операторлы› есептеу. О›у-Щдістемелік ›±рал.-Павлодар, 2005., 75 бет

Осы Щдістемелік ›±рал“а мемлекеттік тілде о›итын студенттерге арнал“ан «Операторлы› есептеу» та›ырыбына теориялы› мЩліметтер, жатты“у ж±мыстары жЩне олар“а Щдістемелік н±с›аулар енгізілген.

СтуденттердіЈ йз бетімен білім меЈгеруіне арнал“ан есептер берілген.


© М.М. М±хтаров, Н.М. Исмагулова, Т.М. Бергузинова



Кіріспе

  • Операторлы› есептеу математикалы› талдауды£ ма£ызды бір саласы болып табылады. Механика, математика жÙне техника есептерін шешуде операторлы› Ùдістер жиі ›олданылады. Жылу éткізгіштік теориясында, электротехника жÙне радиотехника, электр тізбегіндегі т±ра›ты емес ›±былыстарды,автоматты реттегіштер ж¯йесіні£ ж±мысын зерттеуде, сонымен ›атар сызы›ты› дифференциалды› жÙне интегралды›, айырымды› те£деулер теориясында операторлы› есептеу Ùдістері ке£інен пайдаланылады.

  • Оператор, операция сéздері латын тілінде operor-жасаймын, operator-жасаушы, ж±мыскер деген ±“ымды білдіреді. Ал operatio-амал, ›имыл, ж±мыс, енгізу, іске асыру ±“ымдарына сÙйкес келеді.

  • Операторлы› есептеу саласында“ы ал“аш›ы “ылыми ж±мыстар белгілерді есептеу, белгілеулер енгізу ар›ылы есептеу деген сия›ты атаулармен басталады. Операторлы› Ùдістерді физикалы› жÙне техникалы› есептерді шешу ¯шін ›олдану а“ылшын “алымы Хевисайдты£ 1892 жылы жариялан“ан е£бектерінен кейін бастал“ан.


Операторлы› есептеуді£ ал“аш›ы математикалы› т¯рде негізді дÙлелденуі а“ылшын математигі Бромвичті£ (1916), америка инженері Карсонны£ (1926) жÙне голландия инженер-электригі Ван дер Польді£ (1929-1932) е£бектерімен ты“ыз байланысты. Россияда б±л салада“ы ал“аш›ы е£бектерді£ бірі М.Е. Ващенко-Захарченконы£ 1862 жылы шы››ан монографиясы болып табылады. Операторлы› есептеу теориясын дамытуда орыс “алымдары Лурье А.И., Данилевский А.Н., Эфрос А.М., Конторович М.И., Диткин В.А. айтарлы›тай ¯лес ›осты.

’ылыми зерттеулер нÙтижесінде операторлы› есептеу теориясында Лаплас бойынша т¯рлендірілетін функцияларды “ана пайдалану, оны£ ›олданылу éрісін тарылтатынды“ы бай›алды. Б±л кемшіліктен ›±тылу ¯шін Хевисайдты£ белгілеулеріне ›айта оралып, функция ±“ымын жалпылау ›ажеттігі туды. Осындай ›ажеттілікпен байланысты жары››а шы››ан польша математигі Я. Микусинскийді£ «Операторлы› есептеу» деп аталатын е£бегі ал“аш›ы операторлы› кéз›арас›а ›айта оралуды£ бастамасы болды.

Операторлы› Ùдісті£ мÙнін ›ыс›аша былай сипаттау“а болады:

На›ты айнымалы t-ны£ функциясы берілсін дейік. Б±л функцияны£ Лаплас т¯рлендіруі ( -т¯рлендіру) мына т¯рде болсын



Б±л те£дікті£ о£ жа“ында“ы жина›талатын меншіксіз интеграл.

т¯рлендіруін пайдаланып Ùрбір Лаплас бойынша т¯рлендірілетін т¯пн±с›а деп аталатын функциясына оныЈ бейнесі деп аталатын комплекс айнымалыны£ функциясын сÙйкес келтіруге болады.

Лаплас т¯рлендіруіні£ тамаша ›асиеттері бар. Мысалы, т¯пн±с›асын бойынша дифференциалдау“а функциясын р комплекс айнымалысына кéбейту амалы сÙйкес келеді. Сонымен, т¯пн±с›аны дифференциалдау жÙне интегралдау амалдарына бейнелер ке£істігінде ›арапайым алгебралы› амалдар, я“ни бейнесін р санына кéбейту жÙне бéлу амалдары сÙйкес келеді.

Берілген бейнесі бойынша о“ан сÙйкес т¯пн±с›асын табу ¯шін Лапласты£ кері т¯рлендіруін ( т¯рлендіру) пайдалану“а болады.

  1. 1 Лаплас т¯рлендіруі



1.1 Т¯пн±с›а жÙне бейне. Лаплас интегралы.
На›ты айнымалы t-ны£ функциясы Їшін мына шарттар орындалсын:

1) Айнымалы t-ныЈ мЩндерінде функция мЩні болсын;

2) На›ты айнымалы t-ны£ функциясы барлы› мЩндерінде Їздіксіз болсын.

®здіксіздік шарты тек бірінші текті Їзіліс нЇктелерінде “ана орындалмасын жЩне ондай нЇктелер саны шектеулі болсын;

3) Берілген функциясыныЈ йсу дЩрежесі шектеулі болсын, я“ни барлы› мЩндерінде теЈсіздігі орындалатындай жЩне сандары табылсын. Осы шартты ›ана“аттандыратын сандарыныЈ еЈ кішісі функциясыныЈ йсу кйрсеткіші деп аталады.

Осы (1)-(3) шарттарды ›ана“аттандыратын функциясы тЇпн±с›а деп аталады.

Автоматты жЇйелердегі ›±былыстарды сипатта“анда кездесетін кйптеген функциялар тЇпн±с›а болады. Мысалы, Хевисайдты£ бірлік функциясы деп аталатын функциясы, функциялары т¯пн±с›а болады. Б±л функцияларды£ бірлік баспалда›ты функция т¯ріндегі кéбейткіштеріні£ бар болуы т¯пн±с›аны£ (1) шартыны£ орындалуын ›амтамасыз етеді. Оны физикалы› т±р“ыдан т¯сіндіруді£ еш›андай ›иынды“ы жо›. Шынында да, автоматты ж¯йелердегі ›±былыстар ›андай да бір белгілі уа›ыт кезе£інен басталады.

Осы уа›ытты ал“аш›ы уа›ыт кезе£і ретінде алу“а болады. Сонда t бол“анда f(t)=0 болады да т¯пн±с›аны£ (1) шарты орындалады.

Ал (2) жЩне (3) шарттар автоматты жЇйелерді сипаттайтын кйптеген f(t) функциялары ¯шін орындалады.

Егер осы (1)-(3) шарттардыЈ еЈ болма“анда біреуі орындалмаса, онда f(t) функциясы т¯пн±с›а болмайды. Мысалы, функциялары т¯пн±с›а болмайды.Б±л функциялар ¯шін (3) шарт орындалмайды.

ТЇпн±с›аныЈ (3) шартын ›ана“аттандыратын функциялардыЈ мысалын келтірейік:

а) Барлы› шектелген функциялар; м±ндай функциялар ¯шін éсу кéрсеткіші éйткені

б) Барлы› т¯ріндегі дÙрежелік функциялар. Б±лар ¯шін болады. Шынында да

ййткені -тіЈ модулі кйрсеткіштік функциясына ›ара“анда баяу йседі. М±нда“ы -›аншалы›ты болса да аз оЈ сан.

Осыдан функциясыныЈ аралы“ында шектелген функция екендігі кйрінеді. Бас›аша айт›анда, барлы› мЩндері Їшін , немесе теЈсіздігі орындалады.

М±нда“ы А-кез-келген оЈ сан, -›аншалы›ты болса да аз оЈ сан. Сонды›тан функциясыныЈ йсу кйрсеткіші болады.

Егер болса, онда ¯зіліс н¯ктесі болады да функциясы тЇпн±с›аныЈ (3) шартын ›ана“аттандырмайды.

Жо“арыда“ы
(1)
те£дігімен аны›тал“ан комплекс айнымалыны£ функциясы функциясыны£ Лаплас бойынша бейнесі деп аталады. Осы (1) те£дікті£ о£ жа“ында“ы интеграл Лаплас интегралы деп аталады. Аны›тама бойынша б±л меншіксіз интеграл мына“ан те£:
(2)
М±нда“ы о£жа›ты› шекке кéшу амалын кéрсетеді. Лаплас интегралыны£ кéмегімен функциясы мен оны£ бейнесі арасында сÙйкестік орнатылады.

Берілген функциясы бойынша оны£ бейнесін табу амалы Лаплас т¯рлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді:

Егер функция“а бейнесі сÙйкес келсе, ол сÙйкестік Ùдетте былай жазылады: немесе .

Егер (2) теЈдіктіЈ оЈ жа“ында“ы шек бар болатын болса, онда Лаплас интегралы жина›талады.

Енді Лаплас бойынша ›андай функцияларын т¯рлендіруге болатынын ›арастырайы›.
Теорема 1.1
Егер функциясы т¯пн±с›а болса, онда оны Лаплас бойынша т¯рлендіруге болады жÙне оны£ бейнесі жарты жазы›ты“ында аны›тал“ан.

М±нда“ы деп функциясыны£ éсу кéрсеткішін ±“амыз.

Теореманы дÙлелдеу ¯шін р комплекс айнымалысыны£ жазы›ты“ыны£ те£сіздігі орындалатын бéлігінде (1) те£дікті£ о£ жа“ында“ы интеграл жина›талатынды“ын кéрсетсек жеткілікті.

Т¯пн±с›аны£ (3) шартын пайдаланып мынадай те£сіздіктер аламыз:



Ал бол“анды›тан
(3)
М±нда“ы бол“анды›тан, болса, Лаплас интегралы жина›талады. Сонымен, функциясы т¯пн±с›а болса, онда оны Лаплас бойынша т¯рлендіруге болады. Оны£ бейнесі р комплекс айнымалысы жазы›ты“ыны£ жорымал оске параллель жÙне одан ›ашы›ты›та éтетін т¯зуден о£“а ›арай бéлігінде аны›тал“ан.


0 С

1.1 Сурет

  1   2   3




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет