Осы теоремадан бейнесініЈ мынадай ›асиетін алу“а болады

Осыдан функциясы бейне болса, онда

• (4)

• болатынды“ы шы“ады.

• Теорема 1.2 Бейнені£ ›асиеті туралы

• т¯пн±с›аны£ бейнесі шарты орындалатын жарты жазы›ты›та аналитикалы› функция болады.

• М±нда“ы -т¯пн±с›аны£ éсу кéрсеткіші.

• Аны›тама

• Мына

• болса,

шартымен аны›тал“ан функциясы ХевисайдтыЈ бірлік функциясы деп аталады.

Осы функциясы тЇпн±с›а болады. ОныЈ йсу кйрсеткіші . Б±л функцияныЈ мЩні бол“анда аны›талма“ан, éйткені Лаплас интегралын есептегенде функциясыныЈ бол“анда ›андай мЩн ›абылдайтыны ескерілмейді.

Дегенмен де, нЇктесіндегі мЩні Їшін Щдетте мЩндерін алады.

t

0

Енді кейбір функциялардыЈ бейнесін аны›тама бойынша табу мысалдарын келтірейік.

функциясыныЈ бейнесін табу керек. М±нда“ы (на›ты немесе комплекс сан).

• Шешуі

• Аны›тама бойынша

Дербес жа“дайда

М±нда“ы (на›ты немесе комплекс сан).

НÙтижесінде

1. Дербес жа“дайда

3. (10)

Берілген функцияны£ Лаплас т¯рлендіруін табайы›

(М±нда )

Сонда егер болса, онда аламыз.

Сонды›тан

Б±л функцияны£ Лаплас т¯рлендіруін жазамыз:

Жа›шаны£ ішіндегі функцияны£ шегі жо“арыда кéрсетілгендей нолге ±мтылады. Сонды›тан

М±нда“ы функциясы т¯пн±с›асыны£ Лаплас бойынша бейнесі. (14) те£дікті£ о£ жа“ында“ы интеграл бас мÙні ±“ымында аны›талады. Бас›аша айт›анда

(14) формула Меллинні£ кері айналдыру формуласы деп аталады. Ол бейнесі мен т¯пн±с›асын байланыстырады.

Берілген бейнесі бойынша т¯пн±с›аны табу Лапласты£ кері т¯рлендіруі болып табылады. Оны былай белгілейді:

М±нда“ы шарты бол“анда функцияны£ шартын ›ана“аттандыратынын кéрсетеді.

(14) формула бейнені тек ¯здіксіздік н¯ктелерінде “ана аны›тайды. Біра›та т¯пн±с›аны£ бірінші текті ¯зіліс н¯ктелері болуы м¯мкін.

Б±л жа“дайда т¯пн±с›аны£ ¯зіліс н¯ктелерінде

Сонымен, айналдыру формуласы бейнесі бойынша т¯пн±с›асы оны£ ¯зіліс н¯ктелеріндегі мÙндеріне дейінгі дÙлдікпен аны›талады. Т¯пн±с›а“а (1.1) формула бойынша аны›тал“ан бір “ана бейне сÙйкес келеді. èйткені т¯пн±с›аны£ ¯зіліс н¯ктелеріндегі мÙндері бейнені£ т¯рін éзгертпейді. Дегенмен де бір бейнеге бір-бірінен айырмашылы“ы ¯зіліс н¯ктелеріндегі мÙндерінде болатын т¯пн±с›алар жиынын сÙйкес ›ою“а болады.

Егер т¯пн±с›асы аралы“ында дифференциалданатын функция болса, онда берілген бейне бойынша бір “ана т¯пн±с›а аны›талады.

4. 
   Есептер
   

1. Мына функцияларды£ ›айсысы т¯пн±с›а болатынды“ын тексеру керек

2. а) иÙ, 3; б) жо›; в) иÙ, 0; г) иÙ, 0; д) иÙ, 0; е) иÙ, 0; ж) жо›.

М±нда“ы ω-на›ты немесе комплекс сан.

М±нда“ы ω, φ-кез-келген на›ты немесе комплекс сандар.

Ал бол“анды›тан

ба“алауын аламыз.

Сонды›тан болады да сÙйкестігін аламыз.

Б±л ›асиетті жалпылау“а болады.

Егер éсу кéрсеткіші болатын туындылары т¯пн±с›а болса, онда мынадай сÙйкестіктер алу“а болады:
(26)
Дербес жа“дайда, егер болса, онда
(27)
7 мысал
функциясыны£ бейнесін табу керек.
Шешуі
болсын дейік. Сонда

Біра› бол“анды›тан

Сонымен

Осыдан аламыз.

Осы нÙтижені те£дігі ар›ылы да алу“а болады.

Егер сÙйкестігін белгілесек деп жазу“а болады. М±нда екендігі ескерілген. Ал бол“анды›тан сÙйкестігі шы“ады. Осыдан я“ни

Т¯пн±с›аны интегралдау формуласы бойынша берілген функцияны£ бейнесін табамыз.

Осыдан шы“ады да, теорема дÙлелденеді.

“Кешеуілдеу” терминіні£ ма“ынасына то›талайы›.

0 t 0 (τ,0) t

2.1 сурет 2.2 сурет

2.1 суретте функциясыны£ графигі. Ал 2.2 суретте функциясыны£ графигі. функциясыны£ графигіне ›ара“анда t осіні£ о£ ба“ыты бойынша τ шамасына жылжытыл“ан. Осыдан функциясымен сипатталатын ›±былыс функциясымен сипатталатын ›±былыс›а ›ара“анда τ уа›ыт›а кештеу басталатынды“ы кéрінеді.

10 мысал

1
t

0 τ

2.3 сурет

Осы нÙтижені пайдаланып мына

Есепті£ шешуін функциясын т±тас аналитикалы› éрнек ар›ылы жазып аламыз:

1

t

2.4 сурет.

Сызы›тылы› ›асиеті мен кешеуілдеу теоремасын пайдаланып берілген функцияны£ бейнесін табамыз.

Осы функциясыны£ бейнесін табу керек.

π 2 π

Графигі 2.5 суретте берілген функцияны£ бейнесін табу керек. (суреттегі функцияны£ графигі т¯зетілген айнымалы токты бейнелейді)

М±нда“ы λ-кез-келген комплекс сан. Шынында да, негізгі формула бойынша:

Берілген функциясыны£ бейнесін табу керек.

Теореманы біртіндеп дифференциалдау амалына ›олданып, жалпы т¯рдегі формуланы аламыз:

Бейнені дифференциалдау теоремасын пайдаланып, бірнеше функцияларды£ бейнесін аны›тайы›.

Ал“аш›ы 18-21 формулаларды пайдаланып мынадай бейнелер аламыз:

Біра› бол“анды›тан, те£дігі алынады.

Осы ара›атынасын р-дан В-“а дейін интегралдап мынаны аламыз:

Ал Ф(р) т¯пн±с›аны£ бейнесі бол“анды›тан орындалады.

Сонды›тан

бейнесі алынады.

17 мысал
функциясыны£ бейнесін табу керек.

Шешуі

Белгілі сÙйкестігін аламыз да осы“ан (49) формуланы ›олданамыз:

Мына т¯ріндегі интеграл жÙне функцияларыны£ орамы деп аталады.

Ол былай белгіленеді:

Сонды›тан

Орамны£ Лаплас т¯рлендіруін ›арастырайы›:

2.5 Сурет

Интегралдау ретін ауыстырып, мынадай éрнек аламыз:

Екінші интегралда ауыстыруын ›олданып мынадай те£дік аламыз:

4. 
   Дюамель формуласы
   

(Дюамель (1797-1872)-француз математигі).

4. 
   Жалпы формулалар
   

М±нда функцияларыны£ éсу кéрсеткіші, ал λ-на›ты немесе комплекс сан.

10

2

12

13 5 14 6 15

19

22

23

24

12 27

4. 
   Есептер
   

4. °›састы› теоремасын пайдаланып мына функцияларды£ бейнесін табу керек.

6. Сызы›тылы› жÙне ы“ысу теоремасын пайдаланып мына функцияларды£ бейнесін табу керек.

11. Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып мына функцияларды£ бейнесін табу керек.

а) б)

1

t t

в) г)
1

a

t

0 1 2 t

-1

13. Бейнелерді кéбейту теоремасын пайдаланып мына бейнелерге сÙйкес т¯пн±с›аны табу керек.

14. Кéбейту теоремасын пайдаланып мына функцияларды£ бейнесін табу керек.

Сонды›тан Ùдетте Меллин формуласыны£ салдары болып табылатын жіктеу теоремаларын пайдаланады.

Ал бейнені тЇрлендіру Їшін кйбінесе рационал бйлшектерді жай бйлшектерге жіктеу Щдісі ›олданылады.

Сонымен,

Сонда бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша

4. 
   Екінші жіктеу теоремасы
   

Егер бейнесі бірмÙнді функция болып жÙне жазы›ты›ты£ бéлігінде жат›ан саны шектеулі ерекше н¯ктелері болса, онда шегермелер туралы теореманы пайдаланып былай жазу“а болады:

функциясы рационал функция бол“ан жа“дайды ›арастырайы›, я“ни

БйлімініЈ тЇбірлерін есептеп, бйлшекті мына тЇрде жазамыз:

Т¯рлендірілген (59) бейнені£ т¯пн±с›асын табу ¯шін (58) формуланы пайдаланамыз. Полюс бойынша шегермені есептеу формуласын ›олданып бол“анда мынадай формула аламыз:

Бейнені£ екінші ретті бір “ана полюсі бар.

(60) формулада деп алып керекті т¯пн±с›аны табамыз



24 мысал
бейнесіне сÙйкес т¯пн±с›аны табу керек.
Шешуі

(61) формуланы пайдаланамыз.

Берілген бейнеден екендігі кéрінеді. Осыдан

Ал кéпм¯шелігіні£ т¯бірлері:

Сонда

Сонды›тан

1. 4 Операторлы› есептеуді£ ›олданылулары

М±нда“ы -т±ра›ты сандар, ал -ал“аш›ы берілген мÙндер.

Т¯пн±с›а болатын f(t) ¯здіксіз функция.

Белгісіз х(t) функциясы мен оны£ туындылары да ¯здіксіз болсын деп ±й“арайы›. Берілген (62) те£деуді£ шешуін табу ¯шін те£дікті£ екі жа“ын да -“а кéбейтіп 0 мен арасында t бойынша интегралдаймыз.

Б±л те£деу операторлы› те£деу деп аталады Оны т¯рлендіріп мына т¯рде жазайы›.

( рⁿ+ р^n-1+…+ р+ )X(р)=х₀( р^n-1+ p^n-2+…+ p+ )+

+х₁( p^n-2+..+ +3p+ )+a₀ х_n-1+F(р)

Осыдан
(65)

М±нда“ы А(р)= рⁿ+ р^n-1+…+ p+a_n,

В(р)=х₀( р^n-1+ p^n-2+…+ p+ )+

+x₁( р^n-2+ p^n-3+…+ p+ )+

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

+ х_n-1

Осы (65) формула ар›ылы аны›тал“ан X(p) функциясы (62) те£деуді£ шешуі болады. Егер ал“аш›ы шарттар барлы“ы нéлге те£ болса, онда мынадай шешу аламыз
(66)
Дербес х(t) шешуін табу ¯шін X(p) бейнесіне сÙйкес т¯пн±с›аны табу керек. Егер x₀, х₁, …, х_n-1 ал“аш›ы мÙндері берілмеген кезкелген сандар болса, онда X(t) (62) те£деуді£ дербес шешуі емес, оны£ жалпы шешуі болады.
26 мысал

х^//(t)-2х^/(t)+x(t)=4 те£деуіні£ х(0)=4, х^/(0)=2 шарттарын ›ана“аттандыратын дербес шешуін табу керек.

• 
  Шешуі
  

Дербес шешуді х(t) деп белгілеп, Х(р)=x(t) деп алайы›. Сонда операторлы› те£деуді£ т¯рі мынадай болады:

Осыдан

аламыз.

жÙне

х^//(t)+x(t)=f(t) дифференциалды› те£деуіні£ x(0)=х^/(0)=0 ал“аш›ы шарттарын ›ана“аттандыратын шешуін табу керек. Те£деуді£ о£ жа“ында“ы f(t) функциясыны£ графигі 4.1 суретте берілген.

f(t)

t

0 π

Ал бол“анды›тан

сÙйкестігін аламыз

Сонда операторлы› те£деуді£ т¯рі мынадай болады:

Осыдан бейнесін аламыз.

Енді х(t)-ні табу ¯шін бéлшекті жіктейміз

болады.

Кешеуілдеу теоремасын пайдаланып

сÙйкестігін жазу“а болады.

Сонымен, х(t) шешуіні£ т¯рі мынадай:

немесе
болса.
Табыл“ан шешімді t=π н¯ктесінде зерттейік. Ол ¯шін х(t) функциясын дефференциалдайы›

болса

болса

Осы x(t), x^/ (t), x^//(t)éрнектерінен мынаны аламыз.

Сонды›тан

я“ни

x(t) функциясы t= н¯ктесінде ¯здіксіз.

я“ни

Øрі ›арай функциясын t= мÙнінде зерттейміз.

Сонымен о£ жа“ыны£ бірінші текті ¯зіліс н¯ктесі бар дифференциалды› те£деуді£ x(t) дербес шешуі мен оны£ бірінші туындысы ¯здіксіз, ал екінші туындысыны£ бірінші текті ¯зіліс н¯ктесі бар.

шарттарын ›ана“аттандыратын шешуін табу керек болсын.

М±нда“ы - т±ра›ты сандар, f(t) –т¯пн±с›а.

Те£деуді£ шешуін табу ¯шін

Б±л те£деуді£ ω(0)=ω^/(0)=…=ω^(n-1)(0)=0 ал“аш›ы шарттарын ›ана“аттандыратын шешуі белгілі болсын дейік жÙне W(p)=ω(t) сÙйкестігі орындалсын.

Сонда (69) те£деуді£ операторлы› т¯рдегі те£деуі мынадай болады:
pⁿW(p)+ p^n-1W(p)+…+ W(p)+ W(p)=

Осыдан
W(p)= (69)

Ал (67) те£деу ¯шін операторлы› те£деуді былай жазу“а болады:

X(p)= (70)

X(p)=pF(p)W(p)

немесе

Функцияларды£ орамыны£ ›асиетін пайдаланып былай да жазу“а болады:

(73)
(74)
(71), (72), (73),(74) формулаларымен аны›тал“ан х(t) функциясы ал“аш›ы шарттары нéлге те£ болатын (67) те£деуді£ дербес шешуін береді.
28 мысал
Дюамель формуласыны£ кéмегімен

х^//(t)-2x^/(t)=t²e^t

те£деуіні£ у(0)=у¹(0)=0 ал“аш›ы шарттарын ›ана“аттандыратын шешуін табу керек.
Шешуі

Кéмекші дифференциалды› те£деу ›±райы›

Б±л те£деуді£ шешуі ал оны£ бейнесі W(p) болсын.

Кéмекші дефференциалды› те£деу ¯шін операторлы› те£деуді

р²W(р)-2рW(р)= т¯рінде жазамыз.

Осыдан

те£деуі щы“ады.

1. Осыдан

М±нда“ы а_кm (›m=1, 2, …, n) – те£деулер ж¯йесіні£ т±ра›ты коэффициенттері, х₁₀, х₂₀, ..., x_nо – берілген ал“аш›ы мÙндер, f₁(t), f₂(t), ..., f_n(t), - т¯пн±с›а болатын берілген на›ты айнымалы

t-ны£ функциялары; х₁(t), х₂(t), …, х_n(t) шешулері жÙне оларды£ бірінші туындылары да ¯здіксіз функциялар деп ±й“арайы›. Мынадай сÙйкестіктер белгілейік:

k=1, 2, …, n.

Ж¯йені£ Ùрбір те£деуіні£ екі жа“ын да е^-pt-“а кéбейтіп 0 мен арасында t бойынша интегралдаймыз: Т¯пн±с›аны дифференциалдау ережесін пайдаланып мынадай ж¯йе аламыз.

немесе
(76)
Осы (76) ж¯йе операторлы› те£деулер ж¯йесі деп аталады.

Оны£ аны›тауышын мына т¯рде жазамыз.

Сонда Крамер формулалары бойынша ж¯йені£ шешуін былай жазамыз:

Øрі ›арай берілген (75) ж¯йені£ шешуін табу ¯шін алын“ан бейнелер бойынша т¯пн±с›аны табу керек.

те£деулер ж¯йесін шешу керек.

Белгілеулер енгізейік:

Ж¯йені£ Ùрбір те£деуін Лаплас бойынша т¯рлендіріп мынадай операторлы› те£деулер ж¯йесін аламыз:

x(t)= e^t-e^3t, (t>0) ж¯йені£ шешуі болады.

Ж¯йені£ бас›а шешулерін де осылай табамыз. Ол шешулер мынадай:

y(t)=-2e^t+2e^2t+3e^3t (t>0), z(t)=2e^t-2e^2t-2e^3t (t>0).

• 
  
  жүктеу/скачать 1.79 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: