Оптико-деформационные свойства объемных и низкоразмерных структур в области экситонных и межзонных резонансов

Как следствие, без учета переходов между состояниями квазичастиц, выражение для среднего тока имеет вид:

µ § (1)

µ § , (2)

где µ §, интегралы µ § и µ § в котором могут быть вычислены аналитически ввиду возможности диагонализации многочастичного гамильтониана µ §.

В результате было получено следующее выражение для резонансного члена плотности индуцированного тока:

µ § , (3)

µ § - компоненты вектор-потенциала ЭМВ, µ § - квадрат матричных элементов по оператору импульса, µ § - боровский радиус экситона, µ § - энергия экситонного уровня с номером µ §, µ §, µ § - масса и заряд электрона, соответственно.

Из формулы (3) следует, что величина индуцированного тока зависит от члена µ §, имеющего смысл максимальной концентрации истинных экситонов в кристалле, что вполне согласуется с тем, что величины поляризуемости и диэлектрической проницаемости зависят от концентрации резонансных осцилляторов в кристалле. Именно эта величина, умноженная на объем кристалла (µ §), и дает общее число µ § виртуальных экситонов в невозмущенном кристалле при абсолютном нуле.

Это исследование показывает возможность использования формализма матрицы плотности для расчетов индуцированных ЭМВ высокочастотных токов не только для одночастичных, но и для коллективизированных состояний типа экситонов Ванье-Мотта. Для общего случая структур с различной размерностью на основе кристаллов с кубической симметрией показаны методы расчета индуцированного тока, резонансных ДП и коэффициента фотоупругости (КФ) вблизи переходов на квазичастичные уровни из основного состояния кристалла.

В третьей главе, на основе развитой во второй главе общей методики вычисления индуцированного тока для различных резонансов, построена теория оптико-деформационного взаимодействия для конкретного случая ЭМВ с частотой, находящейся вблизи резонансов на уровни экситонов большого радиуса в объемных кристаллах. Здесь, в методике матрицы плотности в качестве базовой функции нулевого приближения для основного состояния кристалла использовался слетеровский детерминант, а для экситонного состояния - линейная комбинация на основе слетеровских детерминантов как наиболее общее описание таких процессов. Операторы тока и гамильтониан, описывающий также и взаимодействие между электронами, были представлены в многочастичном виде. Расчет показал, что для экситонов большого радиуса возможна диагонализация многочастичного гамильтониана и поэтому методика матрицы плотности применима именно для этого случая.

Рассматривался общий случай кристалла, в котором распространяется обобщенная деформация, в частности звуковая волна. Было показано, что в такой среде могут распространяться индуцированные токи, кратные по частоте звука, что в конечном счете приводит к появлению кратных по частоте звука компонент ДП, резонансная часть которой для дискретного спектра экситонов имеет следующий вид:

µ § , (4)

где µ § - отстройка от резонанса, µ §- деформационное смещение экситонного уровня, µ §- энергетическая размазка экситонного уровня.

Из (4) видно, что ДП зависит не от величины концентрации экситонов в кристалле, как казалось бы должно быть, а от члена µ §, имеющего смысл плотности максимальной упаковки (ПМУ) экситонов. Эта зависимость вполне согласуется с тем, что вероятность рассматриваемых переходов из основного состояния кристалла на экситонные будет пропорциональна концентрации фиктивных экситонов, также как при внутрипримесных резонансах вероятность переходов будет пропорциональна концентрации примесных атомов. Так как вероятность переходов определяет поляризацию и как следствие ДП, зависимость ДП от ПМУ кажется вполне естественной.

Показан эффект возникновения нелинейной фотоупругости для экситонной области спектра в случае приблизительно равных между собой отстроек от резонанса, размазки экситонного уровня и амплитуд его деформационного возмущения. Выявлено, что величина линейных и нелинейных вкладов в фотоупругость, а также резонансная ДП существенным образом зависят от плотности максимальной упаковки (ПМУ) экситонов. Оказалось, что именно благодаря значительно большей ПМУ линейные и нелинейные КФ вблизи экситонных резонансов существенно превышают КФ при внутрипримесных резонансах. Как для линейной, так и для нелинейной фотоупругости имеет значение спектральная характеристика перехода - дискретность экситонного уровня стимулирует значительно большие вклады в фотоупругость, относительно, в частности, вкладов при резонансах зона-зона. Это наглядно проявляется из анализа соотношения Фурье-компонент резонансной ДП, пропорциональных линейным и нелинейным по тензору деформации коэффициентам фотоупругости, при экситонных резонансах (µ §) и резонансах зона-зона (µ §), которое имеет следующий вид:

µ §, (5)
где µ § - экситонный ридберг.

Очевидно, что при µ §, когда экситонные уровни ярко выражены, амплитуды гармоник µ § в области дискретных резонансов могут значительно превышать те же величины вблизи µ § в диэлектрике без учета экситонных состояний. Этот эффект связан с различием частотных характеристик поглощения, при экситонных резонансах она более ярко выражена и имеет форму пика, в отличие от резонанса зона-зона, когда коэффициент поглощения имеет вид сглаженной ступеньки. Отсюда видно, что вблизи экситонных резонансов фотоупругость становится максимально большой относительно других резонасов из-за большей локализации электрона и дырки друг возле друга. В низкоразмерных структурах может возникать дополнительная локализация, связанная с ограничением движения электрона и дырки по одной (в сверхрешетках), по двум (в структурах с квантовыми нитями) и трем (в нульмерных структурах) координатам, когда период низкоразмерной структуры может быть меньше размера экситона, что, очевидно, будет приводить к увеличению фотоупругости. С некоторыми модификационными изменениями данная методика может быть применена и для расчета ДП и КФ низкоразмерных структур.

В четвертой главе диссертации рассмотрены оптико-деформационные процессы, возникающие в квантовых сверхрешетках для частот ЭМВ вблизи экситонных резонансов. При этом расчеты резонансных ДП и КФ для идеализированной сверхрешетки с нулевой шириной проводились аналитически, а для QW сверхрешетки с конечной шириной (рис.1) проводились численно при использовании для нахождения энергетических уровней и волновых функций экситонов вариационного метода.

Рис.1. Сверхрешетка с конечной шириной QW.

µ §, (6)

Так как в дальнейшем нас будут интересовать коэффициенты фотоупругости при комнатной температуре и оценки показывают, что нелинейные члены (6) будут при реально достижимых интенсивностях звука несущественными, рассматривался линейный член Фурье-разложения (то есть µ § при µ §), который для кубического кристалла может быть найден из следующего соотношения:

µ § , (7)

µ § - стационарная ДП.

Анализ показывает, что резонансная часть КФ в сверхрешетке µ § больше такой же величины µ § для объемного кристалла в µ § раз (µ § и µ §- величины энергетических размазок для трехмерного (объемного) случая и для сверхрешетки). То есть при µ § и µ §, величина µ § больше µ § в µ §раз.

На рис.2 представлены вычисленные значения µ § и средней величины энергии µ § основного состояния экситона, образованного при взаимодействии электрона и тяжелой дырки (µ §), для экситона в конечной QW в GaAs/Al0.28Ga072As в зависимости от ширины ямы при µ §Е.

Кривые a, b, c ЁC величины µ §, кривые d, e, f - величины µ § в варизонной (µ §=5·104 в/см , µ §=-0.88 ·104

в/см), прямоугольной (µ §=0, µ §=0) и электрической QW (µ §=µ §=5·104 в/см) соответственно, µ §- энергия связи объемного экситона.

Кривые a, b, c ЁC величины µ § в варизонной, прямоугольной и электрической QW соответственно.

µ §

Рис.4 Сверхрешетка с варизонной квантовой ямой, где тангенсы углов наклона дна QW электронной и дырочной ям противоположны.

Рис.5 Сверхрешетка с наклоном дна квантовой ямы, стимулированного электрическим полем, где тангенсы углов наклона электронной и дырочной ям одинаковы.

Очевидно, что одинаковый тангенс угла наклона (µ §) имеет место в случае QW, находящейся в постоянном электрическом поле, то есть для случая наклона дна ямы, задаваемого электрическим полем.

Оказалось, что наклон дна QW существенно модифицирует величины энергетических уровней и волновых функций, находимых вариационным методом с пробной функцией, учитывающей наклон дна электронной и дырочной QW, и благодаря этому существенно меняет величины ДП и КФ вблизи экситонных резонансов. При этом было показано, что варизонный наклон и наклон, обусловленный электрическим полем, приводят к существенно противоположным результатам.

Результаты расчета величин µ § и варизонного параметра µ § в зависимости от ширины QW для наклона в варизонной QW (µ §) и наклона, задаваемого электрическим полем (µ §), показаны на рис.2, на котором как отмечалось выше приведены также значения этих же величин в случае простой (прямоугольной) ямы (µ §). Для одной и той же ширины QW соотношения между ними выглядят так: (µ §), µ §. Величина µ § несколько больше энергии экситона в простой яме, что обусловлено смещением максимумов волновых функций электрона и дырки по направлению к одной из границ QW (к µ §) и, в конечном счете, их дополнительной локализацией. Меньшая величина энергии экситона µ § относительно энергии в простой яме отражает противоположную ситуацию - электрическое поле смещает максимумы волновых функций электрона и дырки к различным границам (электрона к µ §, дырки к µ §), таким образом ослабляя эффект локализации электрона и дырки в простой QW .

Такая интерпретация подтверждается и зависимостью величины энергии основного состояния экситона от степени наклона дна QW. Увеличение наклона, усиливая степень локализации электрона и дырки возле границы µ §, в случае варизонной QW увеличивает экситонную энергию (в этом случае степень локализации зависит от соотношения между µ § и µ §, связанного с физико-химическими свойствами варизонного слоя). Увеличение же наклона в электрическом поле, смещая электрон и дырку к противоположным границам QW, ее уменьшает.

Эти существенные различия для наклона в варизонной QW и наклона, задаваемого электрическим полем, обусловливающие величину и поведение вариационного параметра µ § в выражениях для волновых функций и экситонных энергий, сказываются и на величине резонансной части ДП в присутствии звука, полученной аналогично в квазистатическом квазиоднородном приближении для звуковой волны:

µ § (8)

µ §

µ § (9)

Так как для одинаковых величин µ § и µ § линейные КФ для сверхрешеток с наклонным дном КЯ µ § и с простой QW µ § соотносятся как

µ § , (10)

и так как для наклона, задаваемого электрическим полем µ §, параметр сдвига уровня µ §, величина µ § как в пьезоэлектрических, так и в непьезоэлектрических сверхрешетках всегда меньше КФ для простой ямы µ § . Электрическое поле, увеличивая вариационый параметр µ §, сводит волновую функцию экситона в QW к волновой функции, количественно описывающей объемный кристалл. Так как КФ для наклона, задаваемого электрическим полем µ § связаны с объемным КФ µ § как

µ §, (11)

µ § и µ §- величины энергетических размазок для трехмерного и квазидвумерного случаев, то при µ §, µ § для электрических полей, при которых µ §, величина µ § .

В случае наклона в сверхрешетке c варизонной QW, когда µ § и параметр сдвига µ §, дополнительная локализация электронов и дырок как бы уменьшает толщину QW, благодаря чему увеличивается КФ (µ §). Это показано на рис.3, где при использовании (9) построены кривые для линейных резонансных КФ для конкретной сверхрешетки GaAs/AlGaAs (µ § =207A, µ §г·эрг, µ § =4 meV) на частоте, смещенной на 8 meV в длинноволновую область от максимума поглощения основного состояния экситона в сверхрешетке c варизонной QW, наклоном, задаваемым электрическим полем, приложенным к сверхрешетке, и данные для простой ямы в зависимости от ширины ямы.

Если кристалл, на основе которого создана сверхрешетка, обладает пьезоэлектрическими свойствами, то величина и характер модуляции основного экситонного уровня пьезоэлектрическим полем (а значит и вклад пьезополя в КФ) в таких сверхрешетках с наклонным дном QW будет иным, чем в случае пьезоэлектрической сверхрешетки с простой QW. Так как основной уровень любой трехмерной водородоподобной системы для электрических полей, много меньших величины, необходимой для ионизации системы, всегда квадратично зависит от приложенного электрического поля, и в случае экситона в простой QW эта зависимость сохраняет такой же вид, то модуляция пьезополем экситонного уровня также близка к квадратичной, то есть является весьма малой и не дает вклада в линейную КФ. В случае QW с наклонным дном ситуация качественно иная. Для пьезополей, напряженность которых много меньше напряженности приложенного электрического поля, задающего наклон дна QW, или напряженности встроенных электрических полей в случае варизонной QW (даже для хороших пьезоэлектриков поля не превышают 103 v/cm при средних интенсивностях звука), зависимость энергии экситона от пьезополя приобретает квазилинейный характер. То есть создание наклона дна QW приводит к возникновению квазилинейной модуляции основного уровня экситона пьезополем и вносит линейный вклад в величину КФ, чего нет в случае простой ямы. Величина этой модуляции (то есть µ §), зависящая от производной µ §, для наклона, задаваемого электрическим полем в системе GaAs/AlGaAs, максимальна в области электрических полей ~ 5·104 ЁC105 V/cm, когда сама кривая зависимости энергии экситона от электрического поля, создающего наклон, приобретает квазилинейный характер.

Оценки показывают, что величина линейного вклада пьезополя в резонансную фотоупругость (а также величина модуляции энергии экситонного уровня) невелика и преобладающий вклад вносит потенциал деформации. Так, для системы GaAs/AlGa As, µ § ~ 0.2 eV, µ § ~ 0.04 eV, тогда как потенциал деформации µ §eV. Таким образом, выявлен принципиально новый механизм образования фотоупругости, отличный от механизма потенциала деформации.

В пятой главе представлена теория оптико-деформационных процессов, разработанная для частот ЭМВ вблизи межзонных резонансов, модифицированных в квантовой яме сверхрешетки. Трансформация непрерывного энергетического спектра в дискретный, возникающая вследствие локализации свободного электрона или дырки в QW делает систему невзаимодействующих электрона и дырки в QW подобной экситону, где роль кулоновского взаимодействия выполняет локализация в QW свободных носителей. Тот факт, что в сверхрешетке локализация несвязанного заряда по одной из координат трансформирует непрерывный энергетический спектр в дискретный, подсказывает, что система свободный электрон плюс дырка в QW может иметь в некоторой мере такие же свойства, как и экситон, благодаря тому, что они хотя и не взаимодействуют, но тем не менее локализованы по одной из координат. Поэтому исследовалисьь диэлектрические и фотоупругие свойства невзаимодействующих электрона и дырки в сверхрешетках в QW с простым дном, с наклонным дном и в сверхрешетках, созданных на основе пьезоэлектрического кристалла.

Используя методику матрицы плотности, развитую для случая невзаимодействующих электрона и дырки, находящихся в QW, в приближении бесконечно глубокой ямы, было получено выражение для резонансной части диэлектрической проницаемости (ДП) в области переходов между дискретными уровнями свободных электронов и дырок в QW:

µ § , (12)

Здесь µ § - величина объема периода сверхрешетки, µ §- площадь поверхности сверхрешетки, параллельная ее слоям, µ §, µ § , - энергии электронных состояний соответственно для зоны проводимости (µ §) и валентной зоны (µ §), трансформированных в QW, µ §=1,2,3.... - номера дискретных уровней пространственного квантования состояний электрона и дырки в QW (такое представление амплитуды блоховской функции отражает ситуацию, когда ограничение толщины ямы в направлении, перпендикулярном слоям сверхрешетки трансформирует квазинепрерывный спектр электронных состояний объемного кристалла [7] и квантовые числа, характеризующие блоховскую функцию µ §, заменяются на µ §), µ §, µ § - волновые вектора электрона и ЭМВ в направлении параллельном слоям сверхрешетки, µ §- квадрат матричных элементов блоховских функций электронов модифицированных в QW, от оператора импульса.

Тогда, переходя от суммирования по µ § к интегрированию, раскладывая получившееся выражение по амплитуде звуковой модуляции электронного уровня µ § (µ § - тензор деформации) в ряд, получаем линейный член разложения µ § по µ §:

µ § , (13)

µ §,

где µ § - эффективная масса электрона в направлении, параллельном слоям сверхрешетки. Используя (13), можно оценить величину КФ в сверхрешетке вблизи резонанса между основными состояниями электрона и дырки в слое с QW:

Анализ полученного выражения показывает, что существенное значение имеет множитель µ §, связанный с периодом сверхрешетки или, что равнозначно, с плотностью µ § квантовых ям в сверхрешетке (µ §, µ §- количество QW в сверхрешетке, µ § - длина сверхрешетки в направлении, перпендикулярном слоям). Это связано с тем, что локализация электрона и дырки в слое с QW позволяет рассматривать такую систему как осциллятор, и от плотности таких осцилляторов при их резонансном возбуждении зависит как величина линейных ДП (13), так и линейная фотоупругость.

Сравнение (14) и КФ (µ §) вблизи резонансов зона-зона в объемном кристалле, дает следующее соотношение (для одинаковых отстроек от резонанса µ § и величин s):

µ § (15)

µ § (16)

µ § (17)

Таким образом, систему невзаимодействующих электрона и дырки, находящихся в сверхрешетке в слое, составляющем QW, можно рассматривать как экситоноподобный осциллятор, в котором локализованность электрона и дырки в QW выполняет ту же функцию, что и кулоновское взаимодействие в экситоне. Усиление в области, непосредственно прилегающей к резонансу, частотной зависимости ДП для систем таких осцилляторов в сверхрешетке будет приводить к увеличению КФ относительно объемного случая. Это увеличение весьма существенно и при определенных условиях может даже превышать величину резонансной фотоупругости вблизи резонанса объемного экситона.