Представление статистических данных

Пусть теперь Х – дискретная случайная величина, принимающая значения х1, х2, ... , хN , а х1, х2, ... , ,хn – выборка, т.е. это значения случайной величины, полученные в результате проведения опытов. Будем полагать, что значение xj наблюдалось nj раз , причем .

Наблюдаемые значения х1, х2, ... , хn называют вариантами, а таблицу с упорядоченными по возрастанию вариантами и соответствующими относительными частотами ( ) называют вариационным рядом.

ТАБЛИЦА 6.2

Если х1, х2, ... , хn – выборка реализаций непрерывной случайной величины Х или п>>1 (объем выборки большой) для дискретной случайной величины, то строится интервальный вариационный ряд. Методика его построения следующая.

1. Определяются максимальное и минимальное значения выборки.

2. Определяется размах вариационного ряда

3. Определяется количество интервалов

Если k – не целое, то kокругляется в большую сторону до ближайшего целого числа.

4. Определяется оптимальная ширина интервала , позволяющая выявить характерные признаки Х с минимальным количеством интервалов по формуле Стрэджеса:

.

5. Определяются границы интервалов [aj, aj+1) следующим образом:

6. Производится распределение вариантов по интервалам таким образом, что вариант относят к интервалу [aj, aj+1), если aj xj<aj+1. Затем, распределив варианты по интервалам, подсчитывают их общее число для j – го каждого интервала пj и вычисляют относительные частоты

7. Для каждого интервала вычисляют представителя интервала

ТАБЛИЦА 6.3

Если число опытов увеличивать, то полученная гистограмма все более будет приближаться к плотности распределения случайной величины Х.

Для исследования вида закона распределения случайной величины по выборке возникает необходимость в построении статистического аналога функции распределения. Такой статистический аналог функции распределения называется эмпирической (статистической) функцией распределения. Эмпирической функцией распределения F*(x) называется закон изменения частоты события X < x в данном статистическом материале, то есть

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х, надо подсчитать число опытов, в которых случайная величина Х приняла значения меньше, чем х, и разделить на общее число произведенных опытов. Полученная таким образом статистическая функция распределения является очень грубым приближением функции распределения F(x) случайной величины Х и в таком виде не используется на практике. Она носит в каком-то смысле качественный характер, из которого можно выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины Х. При увеличении числа опытов (n ®¥) F*(x) по вероятности сходится к F(x). Однако, с увеличением n построение F*(x) становится очень трудоемкой операцией. Поэтому на практике часто бывает удобно пользоваться статистической характеристикой, которая приближается к плотности распределения. По полученному статистическому материалу (вариационному ряду) можно построить график эмпирической функции распределения. Он имеет вид аналогичной теоретической функции распределения дискретной случайной величины – вид функцией скачков.