7.2. Выборочная дисперсия
По выборочным данным важно знать не только выборочное среднее, но и разброс выборочных значений около выборочного среднего. Если выборочное среднее является оценкой (приближенным значением) генерального среднего, то выборочная дисперсия должна быть оценкой генеральной дисперсии. Выборочная дисперсия для выборки, состоящей из случайных величин , определяется следующим образом:
Используя это представление выборочной дисперсии, найдем ее математическое ожидание
Таким образом, мы получили, что . Это значит, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку, нужно величину умножить на тогда и выборочная дисперсия принимает вид:
=
Итак, мы получили следующий результат. Если в результате n независимых измерений случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией нам нужно по полученным данным определить эти параметры, то следует пользоваться такими оценками:
В случае, если известно математическое ожидание генеральной совокупности mx, то выборочную дисперсию следует вычислять по формуле
=
которая также является несмещенной оценкой.
Относительной оценкой степени разброса случайной величины Х по отношению к выборочному среднему является коэффициент вариации Vстатистического распределения выборки:
.
Часто по выборочным данным нужно знать оценки таких параметров генеральной совокупности как: центрального (начального) момента k – го порядка, коэффициента асимметрии As, эксцесса Ех.
Выборочным центральным (начальным) моментом k – го порядка ( )называют величину
( )
Для оценки отклонения статистического распределения выборки от нормального распределения используют числовые характеристики - выборочный коэффициент асимметрии и выборочный эксцесс .
Выборочным коэффициентом называют число, которое вычисляется по формуле:
.
Выборочным эксцессом статистического распределения называют число
.
Заметим, что представленные формулы записаны с использованием статистического ряда. В случае интервального вариационного ряда эти формулы преобразуются путем введения весов, равных частоте появления варианты хj. Эти характеристики называются взвешенными числовыми характеристиками. Так взвешенный центральный (начальный) момент k – го порядка будет иметь вид:
( ),
где nj – частота варианты xj ( )
Лекция №8. Точечные оценки параметров распределения
|
|
Достарыңызбен бөлісу: |
