Основы научных исследований

В качестве примера покажем, что рассмотренные ранее оценки: выборочное среднее и выборочная дисперсия , будучи несмещенными, являются и состоятельными оценками. Действительно, так как согласно теореме Чебышева

то выборочное среднее является состоятельной оценкой.

Для того чтобы доказать, что выборочная дисперсия является состоятельной оценкой, покажем вначале, что смещенная оценка - состоятельная оценка. С этой целью запишем:

(8.1)

При n ® ¥ по вероятности случайная величина стремится к М(Х2), а выборочное среднее – к среднему генеральному mx. Тогда из соотношения (1) следует, что по вероятности стремится при n ® ¥ к величине М(Х2)-mx2=D(X)=s2, которая является генеральной дисперсией. Тем самым доказана состоятельность оценки . Если теперь рассмотреть несмещенную оценку генеральной дисперсии то поскольку множитель стремится к единице при n ® ¥, а стремится по вероятности к , то и оценка стремится по вероятности к , что доказывает состоятельность оценки .

1.Выборочное взвешенное среднее :

2. Выборочная взвешенная дисперсия :

которая является смещенной оценкой и несмещенная оценка

Здесь п – объем выборки, т – число разных вариант, nj – частоты вариант (п1+п2+…+пт=п).

8.2 Метод моментов

Метод моментов оценивания параметров распределения генеральной совокупности состоит в том, на основании выборки х1, х2, ..., хn вычисляются выборочные моменты (начальные или центральные). Полученные значения приравниваются соответствующим теоретическим моментам. Количество моментов должно ровняться числу оцениваемых параметров. Затем решают полученную систему уравнений относительно этих параметров.

Рассмотрим случай, когда метод моментов используется для нахождения оценки одного параметра. Положим, что плотность распределения f(x;a) случайной величины Х зависит только от одного параметра а, и необходимо найти оценку параметра а. Для нахождения оценки одного параметра достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра, используя, например, на основании выборки х1, х2, ... , ,хn первый начальный момент

.

Приравняем его значение первому теоретическому моменту

рассматривая правую часть равенства как функцию ота. Решая это уравнение относительно неизвестного параметра а, получаем точечную оценку , которая теперь является функцией от вариант выборки, то есть

Используя полученные экспериментальные данные х1, х2, ... , хn, получить оценку параметра .

Решение. На основании выборки х1, х2, ... , хn находим первый выборочный момент и приравниваем его первому моменту случайной величины Х, подчиненной показательному закону:

= = .

Отсюда получаем оценку параметра :

Если функция плотности распределения случайной величины Х зависит от двух параметров, например , то для отыскания оценок параметров необходимо иметь уже два уравнения относительно этих параметров. Для этого можно воспользоваться, например, первым начальным моментом (математическим ожиданием) и вторым центральным (дисперсией).

1. По выборке х1, х2, ... , хпметодом моментов найти точечные оценки параметров mx и нормального распределения:

Решение. Так как первый начальный момент нормального распределения равен параметру тх., а второй центральный момент равен параметру ,

то

, .

2. По выборке х1, х2, ... , хп методом моментов найти точечные оценки параметров а1, а2 равномерного распределения на интервале [а1, а2]:

Решение. Используя выборку х1, х2, ... , хп, находим выборочные первый начальный и второй центральные моменты:

Для равномерного распределения имеем теоретические моменты

Прировняем теоретические моменты выборочным и получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения оценок параметров а1, а2:

Решая эту систему, получаем в окончательном виде

где величины , определены соотношениями (2).