Глава 7. Изучение основных дисциплин

слова задачи имели внутренний смысл. Рассмотрим, например, следующую задачу:

Соотношение мальчиков и девочек в классе — 3 к 8. Если мальчиков всего девять, то сколько в классе девочек?

(а) 17 (б) 14 (в) 24 (г) не дано (д) не знаю

Чтобы правильно решить эту задачу, нужно сначала составить пропорцию, или задачу на соотношение, и получить уравнение 3/8 = 9/х. Пост, Вахмит, Леш и Бехр (1985) проанализировали выбор, сделанный учениками с четвертого по восьмые классы. 29 процентов ответили правильно (в), тогда как 17 процентов выбрали (б). Скорее всего, некоторые могли ошибиться, потому что приняли задачу на соотношение за тип задачи на сложение (то есть: «Девочек на пять больше, следовательно я прибавляю 5 к 9 и получаю 14»). Школьники, выбравшие (б), возможно, ошиблись, потому что не смогли правильно представить данные задачи. То есть, они ошиблись до того, как перейти к стадии решения задачи. Чтобы помочь этим ученикам, учителя должны сделать акцент на типе задачи и убедиться в правильном понимании. Совсем необязательно увеличивать время на тренирбвки счета.

Изучение математики — не пассивная, но созидательная деятельность. Согласно когнитивному взгляду на обработку информации, обучение не происходит только путем пассивного усвоения (то есть в результате получения, практики и обработки информации). В большинстве ситуаций ученики подходят к новому заданию, держа в уме предшествующее знание, упорядоченное в соответствии со схемами; затем они ассимилируют новую информацию и вычленяют свой смысл (Резник, 1983).

Для примера взглянем, как дети учатся складывать. Всего распознано четыре правила: посчитать всех, считать с... и дальше, данные производные и известные данные (Майер, 1986). Посчитать все означает, что ребенок складывает 2 + 3, считая: «1, 2, — пауза, затем, — 3, 4, 5 — ответ 5». Все объекты представлены и посчитаны. Со временем, когда складываемые числа вырастают, появляется стратегия считать с... и дальше: ребенок может начать с 2 и затем считать: «3, 4, 5»,

425

Часть III. Учение и преподавание

426

Четыре этапа сложения показывают, что на самом деле ученики складывают числа своим методом, пересматривая его с ростом знания и возникновением новых задач. НСТМ (1989) полагает, что изучение математики будет конструктивным, если преподавание предмета будет осуществляться путем активного опыта использования чисел в классе, работы в группах, дискуссий и игр.

Мыслительные процессы понимания задачи и плана ее решения лучше всего описывают то, что происходит при изучении человеком математики, и будут служить нашим основным конструктивным элементом. Следует заметить, что преподаватели математики обычно определяют обучение своему предмету, как смесь навыков вычисления и решения задач. В основе этого утверждения — тезис о том> что освоение навыка вычисления должно предшествовать его применению в решении задач. Однако теперь большинство осознает, что изучение даже базовых навыков счета — «задача» для маленьких детей. Базовое математическое знание, в конечном счете, доводится до уровня автоматизма, но это не означает, что овладение этим знанием не требует значительных мыслительных усилий, как и после-деятельности действий, кото- _{т с поииманием}

рую в схожей ситуации прихо- возникают при решении дится выполнять специалистам, словесно оформленных

Процессы репрезентации и со- задач и задач на

вычисление

ставления плана решения характеризуют все изучение математики, как дошкольниками, так и продвинутыми математиками.

Ясно, что с развитием знаковой природы математики репрезентаций — понимание математических задач — начинает различаться. Мы опишем следующую ниже репрезентацию в виде трех основных математических навыков, фокусируясь на тех, что представляют особые трудности.

Счет. То, что школьники способны считать: 1, 2, 3, 4... не означает, что счет стал единственной операцией с количествами. Трехлетние дети, уже способные посчитать однозначные числа, могут с трудом представить их как относительные величины (Мюррей и Май-ер, 1988) и не способны связать процесс счета с преобразованиями в расположении предметов (Камайи, 1985). Гельман и Галлистел (1978) определили пять принципов, которые необходимо соблюсти до того, как считать вычисление адекватным способом представить количество предметов: (1) соотношение один-к-одно-, му, когда каждому объекту присваивается номер по

Часть III. Учение и преподавание

порядку, (2) единый порядок, когда единицы счета перечисляются в правильном порядке, (3) абстрагирование, когда можно посчитать любую разновидность предметов, (4) нерелевантность порядка, когда предметы можно считать в любой последовательности, и (5) кардинальное число, когда номер последнего посчитанного объекта присваивается всей группе. Эти принципы используются маленькими детьми в детском саду (Гельман, 1980), однако требуется дальнейшая практика и корректировка.

ния задания. Примеры простейших алгоритмов сложения — описанные выше методы «посчитать все» и «считать с... и дальше». Ученик достигает успеха, по мере того, как он практикует использование алгоритмов, наблюдая их состоятельность или несостоятельность в решении задач на вычисление (Рили, Грино и Хеллер, 1983).

То, как дети используют алгоритмы, зависит от развития их памяти. Краткосрочная память необходима, чтобы держать в уме все условия математической задачи. Например, задача на сложение: «Сколько будет 3 + 2 + 1 ?» требует удержания в памяти не только трех чисел, но и знака « + », а также вопроса «сколько?».. Ромберг и Коллинз (1987) обнаружили прямую зависимость объема памяти от возраста. В самом деле, многие дошкольники и первоклассники не смогут удержать в голове все подробности упомянутой выше задачи. Если к ней будут присовокуплены еще детали, то с задачей не справятся и более взрослые ученики. Недостаток краткосрочной памяти может блокировать выполнение математических процедур, от учителя потребуется- говорить медленнее, облекая понятия в более конкретную форму, чтобы ученики успели задействовать алгоритмы. . Когда ученики представляют себе математическую

4tO задачу, а также алгоритм, необходимый для ее реше-

Глава 7. Изучение основных дисциплин

ния, вычисление становится сравнительно проще, а конечный успех вполне возможен. В обратном случае возникают трудности, в результате чего ученики используют неподходящий алгоритм. «Неподходящий алгоритм» — алгоритм, являющийся правильным, если его применяют для решения одних задач, и неправиль-■ ным для других. Помните ли вы описание ошибок при освоении, или сбоев, в главе 3 (Джей.С. Браун и Бер-тон, 1978) ? Ошибки в вычислении часто происходят при постоянном использовании одного и того же алгоритма: ученики не могут понять, что для решения некоторых задач данный алгоритм действий необходимо изменить. Преподаватели должны быть настороже, быстро выявлять ошибочную модель вычисления, которая, в отличие от ошибок по небрежности, является результатом неправильного понимания задачи.

Чтобы помочь ученикам справиться с проблемой репрезентации, было рассмотрено несколько видов задач. Один из них, привлекший большое внимание, — задача на отношение («За неделю Джо пробегает 6 миль. В неделю он пробежит в 1/3 раза больше, чем пробежит Кен. Сколько миль пробежит Кен за 4 недели?»). Ученики как начальной, так и средней школы испытывают трудности с решением задач на соотношение, потому что не могут перефразировать вопросы своими словами. В задаче про Кена и Джо школьников может ввести в заблуждение язык: поскольку в задаче говорится «в 1/3 больше» —имеется в виду деление — они могут просмотреть, что на самом деле нужно ум-

ножать, а не делить. Льюис и Майер (1987) продемонстрировали, что школьники чаще ошибаются в задачах, язык которых противоречив.

Ученики подходят к решению задач, имея определенный набор схем, в которые вписывают информацию в выбранном ими порядке. Когда задача сформулирована в форме, которая не подходит к имеющейся схеме, он или она мысленно реорганизуют предложение, содержащее пропорцию, возможно, совершая ошибку. Затруднения вызывает и использование понятия отношения «меньше, чем» в задаче, где ученику нужно складывать, использование «больше, чем» там, где требуется произвести вычитание; слова «в столько-то раз больше» в задаче на деление также вводят в заблуждение.

Часто ученики неправильно понимают задачи другого типа. К примеру, Джудд и Билски (1989) проанализировали задачи на изменение/прибавление («УДжинни было 9 пенсов. 4 пенса ей дала Барбара. Сколько пенсов у ДжиНни?») и задачи на изменение/ убывание («У Тревеса было 16 пенсов. 6 он отдал Мэю, а 4 — Крису. Сколько пенсов осталось у Тревеса?»). Десятилетние дети с запоздалым умственным развитием, так же как и нормальные дети того же возраста лучше справлялись с подобными задачами, если в них содержались ключевые слова: «всего» — в задачах на сложение, и «меньше, чем было» — в задачах на вычитание.

Задачи на умножение дробей («Чтобы выкрасить машину, Биллу требуется 2/3 часа. Как долго работал Билл, если он успел выкрасить 4 машины?») решали школьники в классе дополнительных занятий по математике (Гарт-ман и Местер, 1989). Трудность состоит в том, что в этих задачах на умножение требуется еще и делить. Дробное уравнение с делением, может быть тождественно уравнению с умножением (то есть устный ответ на задачу 2/3x4 будет «две целых-и две трети»). Авторы отмечают, что то, как используются дроби — а не их число в отдельной задаче, — вызывает трудности в понимании задачи.

Каждый вид задач связан со специфическими трудностями понимания. Определение типа задачи благодаря ключевым словам, или соотнеся ее материальными объектами, — первый шаг на пути к ее решению. Задействуют- ся подходящие алгоритмы. То, как можно содействовать пониманию задач учениками, мы рассмотрим позднее.

Поняв задачу, необходимо составить план решения. Исследования ясно указывают на то, что с автоматическим применением основных алгоритмов остается больше времени на планирование и проверку решения, в результате чего результат улучшается. Например, исследование Купера и Свеллера (1987) показало, что ученики, которые долгое время практиковали использование алгебраических алгоритмов, в задачах с сюжетом (то есть «Машина едет со скоростью 30 км/ч 2,5 часа. Какое расстояние она преодолела?»), лучше справлялись с подобными задачами на движение. Авторы считают, что изучение схем и механическое применение правил не обязательны для грамотного решения задач. Практикой должны заведовать знающие преподаватели, которые смоделируют правильную последовательность действии, обратят внимание на главные особенности некоторых задач и приведут много примеров, чтобы проиллюстрировать трудные случаи. Владея образцами для следования, ученики снимут с себя часть умственного напряжения, которое часто имеет место при отслеживании работы специалистов (Свеллер, 1989). Наиболее эффективно медленное, тщательное объяснение учителем каждого шага, который он предпринимает при решении задачи, за которым следует коллективная практика.

Что касается стадии решения задачи, то здесь важно знать, насколько ученики анализируют каждый свой шаг, — это второй фактор. Такой анализ ведет к менее торопливому и более обдуманному размышлению над несколькими путями решения, и поможет не бросаться сразу на первый попавшийся. Метод «размышления вслух», рассмотренный ранее, помогает ученикам обдумать свой план решения и останавливает тех, кому хочется ответить быстро и не думая.

Другой способ показать ученикам необходимость анализировать свои шаги — давать этим шагам непосредственную оценку. Для решения следующей ниже задачи детей попросили соблюсти два условия, которые являются частью этой задачи: «В магазине спортивных товаров есть только три группы шаблонов — цифр с железным напылением для нанесения на майки — 4и1

числа 4, 2 и 8. Сколько разных двухзначных чисел они могут нанести (цифры можно использовать повторно)?». Вот два условия: (1) можно использовать только эти три цифры, и (2) их можно повторять. Ученики, сначала напомнившие себе, что цифры можно повторять, должны сразу же включить в список возможных комбинаций 44, 22 и 88. Использование учениками элементов оценки планирования и выбора до того, как они приступят к решению, даст возможность сомневающимся школьникам понять всю важность анализа задачи.

Если изучение математики — процесс созидательный, то роль преподавателя — помогать ученикам строить более сложные структуры, а не просто обмениваться информацией. Отступать от этого традиционного правила можно только в случае, если учитель знает, как его ученики понимают математику, видит их отношение к предмету, его оценку, видит то, с каким успехом они применяют технику и, естественно, как они используют алгоритмы действия и какие усваивают навыки. Кобб и Меркель (1989) полагают, что учителя должны знать все об этапах курса обучения основным математическим понятиям — например, об эволюции стадий сложения простых чисел. Более того, преподаватели должны всегда следить за тем, чтобы ученики предлагали свои неожиданные, альтернативные варианты. Петерсон, Карпентер и Финнима (1989) установили существование позитивной связи между осведомленностью учителей первых классов в понятийном аппарате своих учеников и результатами последних. Учителя, которые заботились о понимании учениками математических концептов, задавали больше вопросов в ходе процесса решения задач и уделяли больше времени, слушая ответы учеников.

Для обучения математике важно не только то, что знают преподаватели о своих учениках, но и то, какие методы обучения приносят наиболее ощутимые плоды.

Обучение через решение задач. Шредер и Лестер (1989) советовали сделать решение задач (в противо-

Глава 7. Изучение основных дисциплин

положность обучению тому, «как» Способ обучения через решать задачи) основой обучения Р^Г ^^ ^СаМЫЙ математике. Научить тому, как решать задачи, подразумевает непосредственное обучение обычным методам решения задач. Ученики проходят необходимые стадии решения, являющиеся частью того или иного метода, и в результате могут преодолевать их, решая задачи самостоятельно. Такие техники иногда приносят плоды, особенно если ученики не в состоянии сами применить тот или иной метод решения. Опасность заключается, как отмечают Шредер и Лестер, в том, что решение задач может стать просто еще одним разделом в школьном курсе обучения математике, который лучше проходить отдельно от остального материала.

. Обучение через решение задач, напротив, способствует тому, что ученики осваивают понятия и приобретают навыки в обстановке экспериментов и исследований. Например, ученикам дается 24 квадратика площадью 1 дюйм: представьте, что это две дюжины маленьких столов. Им нужно определить, сколько маленьких столов потребуется для создания больших столов для банкета разной величины (площадь), и сколько людей смогут за ними уместиться (периметр). Реальная ситуация служит фоном для изучения площади, периметра и связи между ними. Поначалу формулы не используются; они предлагаются только после окончания манипуляций с квадратиками и определения того, как они соотносятся после перестановки.

На другой пример учителей натолкнул интерес четвероклассников к еде, которую они хотели бы видеть в школьной столовой. После обсуждения животрепещущих проблем было решено выяснить, какие блюда больше всего нравятся ученикам. Школьники составили анкету, нашли постоянных клиентов этого кафетерия, которые согласились поучаствовать в опросе. После того, как данные были собраны, ученики разбились попарно для обработки материала и составления итоговых таблиц. С помощью вычислительной техники они определили предпочтения школьников в зависимости от класса и пола, а также всей школы. Затем обсуждались результаты исследования и их со- „„ ставляющие. "ud ■

Часть III. Учение и преподавание

433

Опираясь на полученные данные, ученики порекомендовали заведующему столовой внести в меню небольшие изменения, что и было сделано. На стенах школы висели таблицы с результатами. Таким образом, школьники применили методы статистики в исследовании реальной, жизненно важной ситуации. Ценность математического подхода к решению на вид нематематической проблемы стала очевидной. Взяв на себя роль скорее посредника, чем носителя информации, учитель смог создать уютный микроклимат, где процесс решения задач был основой обучения математике (Клаус, 1989).

52ЖЯЗЙЕЕ? р^{ешения за}*^ачи'^{они м}°^{гут про}"

обучение явить удивительную изобретатель-

ность. Кобб и Меркель (1989) использовали массу методов, чтобы помочь второклассникам самим решать задачки на сложение. В одном случае ученикам было предложено найти числа, восстанавливающие баланс на следующей схеме:

JZJ

434

Эта прикладная задача стала началом обсуждения математического тождества. Составление подобных схем для решения простых задач на вычисление повышает уровень понимания учениками числовых отношений.

меняли методы решения математических задач на практике (Джонсон, Мараяма, Джонсон, Нельсон и Скор, 1.981). Однако такое происходит, только если выполняются ключевые условия:

1. Учителя стараются, чтобы между учениками существовала взаимосвязь и взаимозависимость (чувство привязанности к другим, так что твои результаты связаны с результатами остальных и наоборот) в каждой группе.

2. Ученики наедине друг с другом работают над заданиями по математике.

3. Учителя уверены в способности Работа в группах каждого ученика решить матема- приносит плоды, только тическую задачу и научить этому ^чГт^оГаниям других.

4. Ученики должны уметь работать друг с другом, используя навыки работы в маленьких группах. Последние включают в себя лидерство, принятие решений, доверие друг другу и взаимообмен.

5. Учителя уверены, что, занимаясь вместе, ученики вовлечены во временную работу в группах. Последнее нужно понимать в смысле функционирования групп (Джонсон и Джонсон, 1989).

Составление схем. Недавно разработанный метод помощи ученикам в понимании задачи включает в себя использование схематических рисунков, которые дают представление о задаче. Фьюзон и Виллис (1989) использовали схемы задач на «общее количество», на «изменение» и на «сравнение», обучая второклассников сложению и вычитанию. Задача на «общее количество» (например, «У Жана и Билла всего 814 игрушек. У Жана 342 игрушки. Сколько их у Билла?») схематически будет выглядеть вот так:

Рисунок дает представление об условиях задачи. Фьюзон и Виллис выяснили, что второклассники могут использовать схемы для упроще-

435

ния понимания задачи и ее успешного решения, хотя некоторые путали составление схемы с процедурой решения задачи. Посредством схем учитель и ученики говорят на одном языке, и этот разговор способствует решению задачи больше, чем сама диаграмма.

«Меган сэкономила 420 долларов на каникулы. Она сэкономила 1/5 того, что сэкономил Джеймс, который в течение 6 месяцев откладывал одинаковое количество денег каждый месяц. Сколько денег откладывал каждый месяц Джеймс?»

Ученик помещает в центр известную величину. Далее размещается неизвестная переменная величина. Если правильная операция — увеличение (сложение, умножение), то ее помещают справа, если — уменьшение (вычитание, деление), то — слева. Ученики должны сравнить условия задачи и их отображение на схеме. Таким образом, у них складывается представление о параметрах задачи, которое они могут сравнить с текстом. Благодаря этому методу ученикам легче избежать ошибок, связанных с путаницей при выборе математической операции. По словам Льюиса, практика в составлении схем принесла плоды в виде успешного решения похожих задач (а также задач на применение знаний в повседневной жизни) в ходе контрольных работ. Исследования указывают на потенциальную помощь схем в понимании задач, которая сказывается на правильности решения.

Глава 7. Изучение основных дисциплин

ники могут слишком положиться на значение ключевого слова. Многие начинают думать, что с присутствием такого слова возможна лишь одна операция (Шен-фелд, 1988). Выделяя ключевые слова, учителя всегда должны предупредить школьников о том, как используется данное слово в отдельно взятой задаче. Вот,<. например, задача, где нужно заниматься и сложением, и вычитанием: «У Лизы было $6,20. $2,00 она отдала Керри, а $2,25 получила от Руфи. Сколько всего денег у. Лизы?». В этом случае связывать ключевое слово «всего» только с одной операцией будет ошибкой. В фокусе каждого метода обучения должна быть степень понимания; нет необходимости заставлять учеников соединять величины в алгоритм путем механического запоми-нания. Об этом предостережении нужно помнить и преподавателям, и ученикам. Приведенный пример также указывает на то, как трудности в понимании прочитанного сказываются на степени понимания математики.

Подходящие методы оценки. Оценка и обратная связь с учениками должны соответствовать пониманию задач, плану решения и конечному ответу. Оценивая математическую компетенцию учеников, учителя должны использовать как задачи непосредственно на знание математических операций, так и задачи на применение знаний, которые тестируют способность применить изученный материал в реальных ситуациях. Шенфилд (1988) выяснил, что ученики, зная геометрические доказательства отношения тангенсов к окружности, не могли начертить эту окружность, используя циркуль и линейку. Они рассматривали это как два разных вида деятельности. Вопросы тестирования, которые потребуют от ученика перейти от одного вида деятельности к другому, должны проверить его компетентность.

Такие вопросы будут служить ученикам средством обучения и средством оценки. В этом смысле, преподаватели математики экспериментируют со сложными вопросами. Они могут быть частью любых видов тестов, раскрывая стадии понимания учащимися математических понятий. Эти части теста выносят первона- -^ чальную оценку знанию алгоритма, затем проверяют "и/

знание условий, при которых он не может быть использован, а затем оценивают его косвенное и второстепенное применение. Вот сложный вопрос, разработанный Коллинзом, Ромбергом и Джардаком (1986): «Представьте себе машину, которая изменяет числа. Если вы поместите в нее число, она увеличит его в три раза, а

затем прибавит 2. Если вы дадите ей

Сложные вопросы . ^ . . ,,

проверяют глубину ⁴' машина выдаст 14». Ученикам тре-

понимания буется ответить на три вопроса:

1. Если она выдала 14, каким было исходное число? (вопрос на понимание).

2. Что она сделает с числом 5 (вопрос для практики) ?

3. Если итоговое число х, а исходное — у, то как будет выглядеть формула для у? (развитие способности мышления).

Подобные вопросы дают больше информации о том, как ученики понимают и как решают задачи, чем могут дать вопросы обычных тестов. ■

Спросите себя, что из нижеприведенного верно:

Сахар прекращает существование, если его положить в

воду.

Ночью свет от свечи проходит большее расстояние, чем

днем.

Тяжелые объекты падают быстрее, чем легкие.

Для гравитации необходим воздух.

Конечно, ни одно из этих положений не верно. Тем не менее, они отражают наивное отношение детей к научным феноменам (Драйвер, Гуизни и Тибаржьен, 1985).

Дети поступают в школу с крепко укоренившимися в их голове идеями об окружающей среде, которые они приобрели вместе с беспорядочным и неконтролируемым опытом соприкосновения с разнообразными предметами и событиями. Эти верования составляют основу 4иО понимания детьми того, как устроен мир. Во многих