Параллелограмма ауданы немесе аймағы

Sтр=SABD+SDBC; SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==(AD+BC)⋅BE2.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

 

 

Sтреуг=aha2, где h — высота (на рисунке — BE), проведённая к стороне a (на рисунке — AD).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

 

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√;p=a+b+c2

— формула Герона, где a, b и c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника.

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

 

S=a⋅b2, где a и b — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

 

Решение:

 

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅(50−17)⋅(50−39)⋅(50−44)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=50⋅33⋅11⋅6−−−−−−−−−−√==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3−−−−−−−−−−−−−−−−−√=5⋅2⋅3⋅11=330(см2).

 

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a−−−−√=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны 15 см, 13 см, 4 см.

 

Решение:

 

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому a= 15 см.

 

SΔ=p(p−a)(p−b)(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−√=16⋅1⋅3⋅12−−−−−−−−−√=24(см2).


Составляем уравнение:

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

 

Решение:

 

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

 

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.

 

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==(AD+BC)⋅BE2.

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через a и b, высоту через h, то: