§1. Общие положения об однородных системах дифференциальных уравнений

где коэффициенты  𝑃
(𝑖)
=
𝑃
(𝑖)
(𝑥, 𝑦), 𝑄
(𝑖)
= 𝑄
(𝑖)
(𝑥, 𝑦)(𝑖 = 0,1,2,3,4) аналитические  
функции или многочлены двух переменных, 𝑍 = 𝑍(𝑥, 𝑦) −общая неизвестная.  
Будем считать, что система (1.1) имеет конечное число линейно-независимых решений. 
На этом свойстве и основана их аналогия с обыкновенными дифференциальными  
уравнениями. Однако заданная система имеет ряд отличительных  свойств. Перечислим 
эти основные свойства: 
1.  Для нее должны  выполняться условия совместности [2] и так называемое условия 
интегрируемости 
𝑃
(1)
∙ 𝑄
(1)
− 1 ≠ 0.(1.2) 
в том случае, когда  𝑃
(0)
= 𝑄
(0)
= 1.  
В общем случае, установление условия совместности сложно. Поэтому, во многих 
случаях заранее считаем систему совместной. Но при построении конкретных примеров 
условия совместности обязательно проверяются. Только при выполнении условии (2) 
система имеет четыре линейно-независимых решений. 
2.  Особые кривые системы определяется приравнием к нулю коэффициентов при 
старших производные 𝑍
𝑥𝑥
 и 
𝑍
𝑦𝑦
, то есть коэффицентов: 𝑃
(0)
(𝑥, 𝑦) = 0 и 
𝑄
(0)
(𝑥, 𝑦) = 0. 
3.  Определитель вида  
∆=
|
|
𝑍
xy
(1)
Z
x
(1)
Z
y
(1)
Z
(1)
Z
xy
(2)
Z
x
(2)
Z
y
(2)
Z
(2)
Z
xy
(3)
Z
x
(3)
Z
y
(3)
Z
(3)
Z
xy
(4)
Z
x
(4)
Z
y
(4)
Z
(4)
|
|
                                          (1.3) 
 
 Является аналогом определителя Вронского для системы дифференциальных 
уравнений в частных производных второго порядка [3] 
4.  Если для системы (1.1) задана фундаментальная система решений  
       𝑍
(1)
, 𝑍
(2)
, 𝑍
(3)
и  𝑍
(4)
 , то как и обыкновенном случае по этой фундаментальной системе 
решений можно построить систему вида (1.1). Действительно, для получения первого 
уравнения составляется определитель вида 
 
|
|
𝑍
(1)
Z
Z
(3)
Z
Z
Z
x
(1)
Z
x
(2)
Z
x
(3)
Z
Z
Z
y
(1)
Z
y
(2)
Z
y
(3)
Z
y
(4)
Z
y
Z
xy
(1)
Z
xy
(2)
Z
xy
(3)
Z
xy
(4)
Z
xy
Z
xx
(1)
Z
xx
(2)
Z
xx
(3)
Z
xx
(4)
Z
xx
|
|
=0                                (1.4) 
 
Раскрыв определитель по элементам последнего столбца получаем первое 
уравнение системы (1.1). Аналогично, второе  уравнение системы получаем из 
следующего определителя 
 
|
|
Z
(1)
Z
(2)
Z
(3)
Z
(4)
Z
Z
x
(1)
Z
x
(2)
Z
x
(3)
Z
x
(4)
Z
x
Z
y
(1)
Z
y
(2)
Z
y
(3)
Z
y
(4)
Z
y
Z
xy
(1)
Z
xy
(2)
Z
xy
(3)
Z
xy
(4)
Z
xy
Z
yy
(1)
Z
yy
(2)
Z
yy
(3)
Z
yy
(4)
Z
yy
|
|
=0   
                            (1.4
I
) 
 

В обоих уравнениях при старших производных 𝑍
𝑥𝑥
 и  
𝑍
𝑦𝑦
 появляется определитель 
Вронского (1.3)  
5.  Из системы (1.1) при различных значениях  коэффициентов получается  многие 
известные системы:  
a)  так, при 
𝑃
(𝑖)
= 𝑄
(𝑖)
= 0 получаем систему типа Вильчинского частными случаями 
которой является вырожденная гипергеометрическая система Горна (Ψ
2
) и 
полиномы двух переменных Лагерра, Эрмита  и др. Вырожденные ряды двух 
переменных изучил  Гумберт. 
б) при 𝑃
(1)
= 𝑃
(2)
= 0 и 𝑄
(1)
= 𝑄
(3)
= 0  получаем систему типа Уиттекера. Ряд работ 
Тасмамбетова Ж.Н. [4]-[5] посвящены  изучению связей между вырожденной 
гипергоеметрической системой  (Ψ
2
) и системой Уиттекера, системами типа Лагерра и 
Эрмита. 
в) при 𝑃
(1)
= 𝑃
(3)
= 0 и 𝑄
(1)
= 𝑄
(2)
= 0 имеем систему наиболее близкую к 
обыкновенному случаю  
                       
                                         𝑃
(0)
∙ 𝑍
𝑥𝑥
+ 𝑃
(2)
∙ 𝑍
𝑥
+
(4)
P Z
= 0, 
                                                         
𝑄
(0)
∙ 𝑍
𝑦𝑦
+ 𝑄
(3)
∙ 𝑍
𝑦
+ 𝑄
(4)
∙ 𝑍 = 0,                         (1.5) 
 
коэффициенты могут быть функциями одной или двух переменных. 
Если коэффициенты 𝑃
(𝑗)
(𝑗 = 0,2,4) зависит только от переменной x, 
( )
(
0, 3, 4)
l
Q
l

 
зависит только от переменной 𝑦, то первое уравнение системы (1.5) обращается в 
обыкновенное дифференциальное уравнение относительно переменной x.a второе 
уравнение относительно переменной 𝑦. Решениями систем являются произведения 
ортогональных многочленов  от одной переменной х и у. Произведения ортогональные 
многочлены двух переменных являются решениями так называемого допустимого 
линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка вида 
 
𝑎 ∙
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 2в
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑐
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
+ 𝑑
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑔
𝜕𝑥
𝜕𝑦
= 𝜆𝑢,                              (1.6) 
 где 
𝜆 = 𝜆(𝑥, 𝑦) – некоторый фиксированный многочлен. Обычно, (1.6) задается 
следующим образом [6]: пусть даны пять многочленов по двум переменным с 
действительными коэффициентами 
( , ),
( , ),
( , ),
( , ),
( , ).
a
a x y
b
b x y
c
c x y
d
d x y
g
g x y





      (1.7) 
По этим многочленам вводится линейный дифференциальный оператор в частных 
производных второго порядка 
𝐷𝑢 = 𝑎 ∙
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥
2
+ 2в
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝑐
𝜕
2
𝑢
𝜕𝑦
2
+ 𝑑
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ ℊ
𝜕𝑢
𝜕𝑦
                    (1.8) 
и соответствующее ему уравнение. Справедливо утверждение. 

жүктеу/скачать 3.07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: