Example 1. Let us consider  this  integral:     2 3 ? dx x   Solution



































3
0
2
0
3
2
3
2
2
2
0
2
2
5
4
2
6
2
9
4
2
2
2
2
2
)
2
(
)
2
(
2
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
. 
 
Example 3. Calculate the integral: 


0
cos dx
x
. 
 
Solution: To calculate this integral, first we define the value of function under integral at 
intervals [0, 

]. So 






















.
,
2
,
cos
,
2
,
0
,
2
,
0
,
cos
cos




on
x
x
on
x
x
 
 
If we use the value specified at the top, during the solution of the integral, then we get the 
integral as the sum of two integrals. So, the result will be in the following form: 

































0
2
0
2
.
2
1
1
2
sin
sin
0
sin
2
sin
)
cos
(
cos
cos
dx
x
xdx
dx
x
 
1.2. Integral of integer value function. 
[f(x)] is the greatest integer value which is not greater than f(x). If f(x) 

 Z, [f(x)] is not 
continuous for the points of discontinuity (i.e. for critical points) there is not integral. For this 
reason we will divide the interval into subintervals by using discontinuity points. 
Example 1. See the following integral:  



3
1
]
1
[
dx
x
=? 
Solution.  In order to integrate this function, we divide the interval [-1, 3] into 
subintervals:    
if   - 1 ≤ x < 0 then ([x - 1]) = - 2; 
if  0 ≤ x < 1 then ([x - 1]) = - 1; 
if  1 ≤ x < 2 then ([x - 1]) = 0; 
if  2 ≤ x < 3 then ([x - 1]) = 1. 
Now, using the obtained values we calculate this integral.  Then  
.
2
2
3
0
1
2
0
0
)
(
)
2
(
1
0
)
1
(
)
2
(
])
1
([
3
2
1
0
0
1
2
1
3
2
3
1
0
1
1
0































x
x
x
dx
dx
dx
dx
dx
x
 
 
 
Example 2.  Let us consider  this  integral: 


2
1
])
2
([
dx
x
x
. 
Solution.  In this case, is only one interval.  If, 1 ≤ x < 2, then 
3
]
2
[


x
. Now put the value 3 in 
the integral and integrate. Then  












2
1
2
1
2
1
2
.
2
9
2
3
2
12
2
1
3
2
4
3
2
3
3
])
2
([
x
xdx
dx
x
x
 
 

 
Example 3.  Let us consider  this  integral:  













3
1
?
2
dx
x
 
Solution.  To calculate this integral, from the beginning divide the interval  [-1, 3] on the 
subintervals:  
if 
0
1



x
 then 
;
1
2












x
 
   
if 
1
0


x
 then 
;
0
2











x
 
 
if 
2
1


x
 then 
;
0
2











x
     
 
if 
3
2


x
 then 
1
2











x
.  
 
 
Using the values of functions, obtained in subintervals, we compute the integral, then 



































3
1
0
1
1
0
2
1
3
2
3
2
0
1
0
2
3
0
0
1
0
0
0
)
(
1
0
0
)
1
(
2
x
x
dx
dx
dx
dx
dx
x
. 
 
 
1.3. Integral of signum function. 
F(x) = sgn g(x) = 









.
0
)
(
,
1
,
0
)
(
,
0
,
0
)
(
,
1
x
g
x
g
x
g
  
In these type of questions we will divide the interval into two parts as negative and positive 
intervals. Because f(x) is not continuous at the point where g(x) = 0. 
Example 1.  



1
2
.
)
1
sgn(
dx
x
    
Solution.       x + 1 = 0 => x = - 1. At first, we should find critical points. Now, we define value 
of interval of function under integral: 
sgn(x + 1) = 












.
1
,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
x
x
x
   
Values which are given above are we use to integrate the function. Then 






















1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
.
1
1
1
2
1
1
1
)
1
sgn(
x
x
dx
dx
dx
x
 
Example 2.  Given this integral: 



4
3
2
)
4
sgn(
dx
x
. 
Solution. As in the example, at first we will find critical points: 
.
2
0
4
2





x
x
   Then, 
the value of sgn(
2
x
- 4) we will find as in  the below: 
















.
2
2
,
1
,
2
,
0
,
2
2
,
1
)
4
sgn(
2
x
x
x
or
x
x
 

Keeping in mind given values we compute the integral. From this  





























2
3
2
2
4
2
4
2
2
2
2
3
4
3
2
.
1
2
4
2
2
3
2
)
(
)
4
sgn(
x
x
x
dx
dx
dx
dx
x
 
Example 3. We will define the value of 



4
3
)
3
sgn(
dx
x
  integral.  
Solution. We compute this integral dividing into steps. The first step is to find the critical points 
x – 3 = 0   => x = 3. The second step is to use getting values in integrating given function: 











.
3
,
1
,
3
,
0
,
3
,
1
)
3
sgn(
x
x
x
x
 
Then  
.
5
3
4
3
3
)
3
sgn(
4
3
3
3
4
3
3
3
4
3




















x
x
dx
dx
dx
x
 
 
Literaturе 
1.  V.V. Konev “The elements of mathematics”, Text Book, Изд. Томского 
политехнического университета, 2009. 
2.  Ahmet Çakir  “Integral”, Zambak publishing, 2005. 
3.  J. C. Burkill “A first course in mathematical analysis”, Cambridge University Press, 
1962. 
 
 
 
УДК 517,51                                                                                            
 
2,
r
W

КЛАСЫ ФУНКЦИЯЛАРЫН  
2
L
 НОРМАСЫНДА ЖУЫҚТАУ 
 
Ә.Б. Өтесов, Б.Б. Ахметов 
 
Қ. Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік мемлекеттік университеті 
 
В статье введен класс функций с ограничениями на коэффициенты Фурье и 
получены теоремы приближения для функции из указанного класса. 
In article is incorporated class to functions with restrictions on Fourier coefficients and 
are received theorems of the approach for function from specified class. 
 
Ключевые слова: класс функций, коэффициенты Фурье, ряд Фурье, оператор 
приближения.  
Key words: class to function, Fourier coefficients, Fourier series, operator of the 
approach.  

жүктеу/скачать 3.07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: