Хабаршысы ғылыми журналы

 
1
1
,...,
2,
,...,
0,1
s
s
s
r
r
W


( қысқаша: 




2,
1
1
,
,...,
,
,...,
r
s
s
W
r
r
r






) арқылы 
 
0,1
s
 кубында үзіліссіз, 
әрбір айнымалысы бойынша бірпериодты, 
 
 


 
2
,
0,1
ˆ
s
i m x
f m
f x e
dx




 Фурье  
коэффициенттері 
 


1
1
2
2
2
2
2
1
1
ˆ
ln
2
...
ln
2
1
s
s
s
r
r
s
s
m Z
f m
m
m
m
m



 


 шартын 
қанағаттандыратын  s  айнымалы 
f
 функцияларының жиынын (класын) белгілейік. 
[1] жұмысында 


2,0
2
r
r
W
W

 
                               


1
1
2
,
1
1
1
1
;
...
,...,
s
s
n
N
N
i m
x
N
s
N
n
n
m D
s
n
n
T
f x
f
e
N
N
 
















 

                              (1) 
 
 
 
1
1
/
/
1
1
1
1
1
1
1,...,
1,
...
:
,...,
2
2
s
g r
r
g r
r
s
s
s
s
s
N
N
N
N
g r
r
r
N
N
D
m
Z
m
m












 


















 
функциясы (жуықтау операторы) әрбір 
2
r
f
W

 функциясын 
2
L
 кеңістігі нормасында 
 
1
g r
N
 дәлдігімен оптималды жуықтайтыны көрсетілген. 
 
Дәлірек айтсақ, мына теоремалар дәлелденген: 
1-теорема. Егер 
1
0,...,
0
s
r
r


  үшін
 
1
2
g r

  болса, онда (1) жуықтау операторы 
2
r
f
W

  функциясын
 
1
g r
N
  дәлдігімен жуықтайды, яғни мына теңсіздік орындалады: 
 


 
 
2
1
,
,
N
g r
L
C s r
f x
T
f x
N


 
2-теорема. Қайсыбір 
0
2
r
f
W

 функциясы мен 
 
2
,
0
C
s r

 саны үшін мына теңсіздік 
орындалады: 
 
 
 


2
2
0
0
,
;
N
g r
L
C
s r
f
x
T
f x
N


 
1-теорема әрбір 
2
r
f
W

 функциясын осы функцияның 
1
1
,...,
s
s
n
n
N
N






 нүктелеріндегі 
мәндері бойынша құрылған 


,
N
T
f x
 операторымен 
2
L
 кеңістігі нормасында 
 
1
g r
N
 
дәлдігімен жуықтауға болатынын , ал 2-теорема алынған дәлдіктің жақсармайтынын 
көрсетеді. 
Бұл жұмыста 
1
2
...
0
s
 



 
 
  жағдайында  
2,
r
W

 класы үшін жоғарыдағы  1-2 
теоремалары түріндегі жаңа теоремалар  алынды (бөлім III, 3-,4- теоремалар). 
 Теоремалардың дәлелдеуі 
2
s

 жағдайында жүргізілді. 
 
II. Көмекші тұжырымдар 
1-лемма. Егер әрбір айнымалысы бойынша бірпериодты, 
 
0,1
s
 кубында  

интегралданатын 
f
 функциясының  Фурье қатары абсолютті  жинақталса, онда 
 


 


 
2
2
2
2
1
1
1
\
\ 0
ˆ
ˆ
,
,...,
s
s
N
s
s
s
L
m D
m Z
D
n Z
f x
T
f x
f m
f n N
m
n N
m









 
                    (2) 
2-лемма. Егер
 
1
2
g r

  болса, онда
1
2
2
1
1
...
s
s
r
r
m Z
s
m
m

 

  қатары жинақталады. 
 
1-,2- леммалардың  дәлелдеулері  [1] жұмысында келтірілген. 
3-лемма. Егер 
1
2
0
 


 
  болса және 
 
1
2
g r

  теңсіздігі орындалса, онда 
2,
f
W


 
функциясы  үшін 
 


2
2
,
ˆ
i m x
m Z
f m e



 қатары абсолютті жинақталады. 
Дәлелдеуі.
 


 
 
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
,
2
2
2
2
1
1
2
2
ˆ
ln
2
ln
2
ˆ
ˆ
ln
2
ln
2
r
r
i m x
r
r
m Z
m Z
m Z
f m
m
m
m
m
f m e
f m
m
m
m
m

















 
Коши – Буняковский теңсіздігін және класс анықтамасын қолданамыз 
 


1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
ˆ
ln
2
ln
2
1
ln
2
ln
2
1
1
ln
2
ln
2
r
r
m Z
r
r
m Z
r
r
r
r
m Z
m Z
f m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m










































 
Ендеше, 2-лемма  бойынша 
 


2
2
,
ˆ
i m x
m Z
f m e



 қатары абсолютті жинақталады. Лемма 
дәлелденді. 
4-лемма. 
1
2
, ,...,
N
l l
l
 – тригонометриялық көпмүшеліктер жиынында анықталған сызықтық 
функционалдар болсын. Егер  G  жиынының элементтері саны   2N -нен кем болмаса, онда 
 


2
,
i m x
n
m G
P x
C e




 көпмүшелігін  
 
 
 
1
2
...
0
N
l P
l
P
l
P

 

 және 
2
L
P
N

  
шарттары орындалатындай таңдап алуға болады. 
Лемма дәлелдеуі [2] жұмысында келтірілген. 
 
III. Негізгі тұжырымдар 
 
 
3-теорема. Егер 
 
1
2
g r

  болса, онда 


,
N
T
f x
  операторы  
2,
r
f
W


 функциясын 
 
1
ln
g r
N
N

  дәлдігімен жуықтайды. 
Дәлелдеуі. (2) теңдігіндегі 1-қосылғышты бағалайық. 
D
 жиынының анықтамасынан мына 
теңдік шығады: 
2
1
2
3
\
,
Z
D
D
D
D



 

2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
:
,
,
:
,
,
2
2
2
2
N
N
N
N
D
m
Z
m
m
D
m
Z
m
m




















 
2
1
2
3
1
2
:
,
.
2
2
N
N
D
m
Z
m
m










 
Егер 
1
m
D

 болса, онда  
 


 
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
ln
2
ln
2
ln
2
ln
ln
2
,
ln
r
r
r
r
r
g r
N
m
m
m
m
m
m
N
C r N
N
C r r N
N


















 
Бұл теңсіздіктер мен  
 
 


1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
ˆ
ˆ
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
r
r
r
r
m D
m D
f m
f m
m
m
m
m
m
m
m
m












 
теңдігінен: 
 


 
 


1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
,
ˆ
ˆ
ln
2
ln
2
ln
r
r
g r
m D
m D
С r r
f m
f m
m
m
m
m
N
N










 
Енді класс анықтамасын қолдансақ: 
 


 
1
2
1
2
2
2
,
ˆ
ln
g r
m D
С r r
f m
N
N




                                                 (3) 
 
2
2
ˆ
m D
f m


қосылғышын бағалайық. 
 


 
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
ln
2
ln
2
ln
ln
2
,
ln
r
r
r
r
g r
N
m
m
m
m
N
C r N
N
C r r N
N
















 
Жоғарыдағы талдауды қайталасақ: 
 
 


 
2
2
1
2
2
2
,
ˆ
ln
g r
m D
С r r
f m
N
N




                                                                (4)     
 
3
2
ˆ
m D
f m


 қосылғышын бағалайық. 
 
 


 
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
ln
2
ln
2
ln
ln
2
2
ln
ln
,
ln
r
r
r
r
g r
r
r
N
N
m
m
m
m
N
N
C r N
N
C r N
N
C r r N
N


























                            (5)  
 (3), (4) және (5) теңсіздіктері мен  
 
 
 
 
2
1
2
3
2
2
2
2
\
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
m D
m D
m D
m Z
D
f m
f m
f m
f m











 
теңдігінен:  
 


 
2
2
1
2
2
2
\
,
ˆ
ln
g r
m Z
D
С r r
f m
N
N




                                                         (6) 
(2) теңдігіндегі 2-қосылғышты бағалайық: 



 


 


 
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
\ 0
2
1
1
1
2
2
2
\ 0
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
\ 0
2
2
2
1
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ln
2
ln
2
i
i
n Z
n Z
r
i
i
i
i
i
i
i
n Z
r
i
i
i
i
i
i
i
f n N
m n N
m
f n N
m n N
m
f n N
m n N
m
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m































































 
 
 
 
2
\ 0
n Z


... қатарына Коши – Буняковский теңсіздігін қолдансақ... 


 
 
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
\ 0
2
2
2
2
\ 0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ˆ
,
ln
2
1
ln
2
ln
2
i
r
i
i
i
i
i
i
i
n Z
r
r
n Z
f n N
m n N
m
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m
























                  (7) 
Енді 
 

 



2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
3
\ 0
:
1,
1
:
0,
0
:
0,
0
Z
n
Z
n
n
n
Z
n
n
n
Z
n
n
C
C
C



 




 





 
теңдігін ескеріп,  
 
1
2
2
2
2
2
2
\ 0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
ln
2
ln
2
r
r
n Z
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m











 
қатарын бағалайық. 
1
n
C

 үшін 


1
1
1
1
1
1
1
1
1
max 1,
,
n N
m
n N
m
n N
m





  


2
2
2
2
2
2
2
2
2
max 1,
n N
m
n N
m
n N
m





. 
a
b
a
b
 

 теңсіздігі мен  m
D

 шартынан 
1
n
C
 
 үшін  
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
2
2
2
n N
n N
N
n N
m
n N
m
n N
n N
m








 
Демек,  
 
 


 


 


 
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
ln
ln
1
ln
ln
, ,
, ,
, ,
1
1
ln
ln
ln
r
r
r
r
n C
r
r
g r
g r
n C
r
r
r
r
g r
g r
g r
n C
n Z
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
N
n
N
N
C r r
C r r
C r r
N
N
N
N
N
N
n
n
n
n



























 

 














 
Сонымен,  



 
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
, ,
1
ln
ln
2
ln
2
r
r
g r
n C
C r r
N
N
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m














         (8)        
Егер  
2
n
C

 болса, онда




1
1
1
1
1
1
1
1
max 1,
max 1,
n N
m
n N
m
m
m





, 


2
2
2
2
2
2
2
2
2
max 1,
n N
m
n N
m
n N
m





. 
Ендеше 
 


 


 




 
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
0,
0
2
1
ln
2
ln
2
, ,
1
1
ln
ln
, ,
, ,
1
ln
ln
1
r
r
n C
r
r
g r
g r
n C
n C
r
g r
g r
n
n
n N
m
n N
m
n N
m
n N
m
C r r
N
N
n
N
N
n
C r r
C r r
N
N
N
N
n


































 
 
 
Сонымен 


 
2
1
2
2
2
2
2
2
1
, ,
1
ln
ln
j
g r
r
n C
j
j
j
j
j
j
j
C r r
N
N
n N
m
n N
m










                                        (9) 
3
n
C

 жағдайында 
2
n
C

 жағдайындағы талдауды қайталасақ:  


 
3
1
2
2
2
2
2
2
1
, ,
1
ln
ln
j
g r
r
n C
j
j
j
j
j
j
j
C r r
N
N
n N
m
n N
m










                                        (10) 
(8), (9) және (10) теңсіздіктерінен: 
 


 
1
2
2
2
2
2
2
\ 0
1
, ,
1
ln
ln
j
g r
r
n Z
j
j
j
j
j
j
j
C r r
N
N
n N
m
n N
m










                                       (11) 
(11) теңсіздігін ескеріп, (7) теңсіздігін жалғастырып, класс анықтамасын қолдансақ; 2-
қосылғыш үшін мына теңсіздік орындалады:  


 


 
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
\ 0
, ,
ˆ
,
ln
g r
m D n Z
C r r
f n N
m n N
m
N
N







 
 
Бұл теңсіздік пен (6) теңсіздігінен: 
 




 
2
,
;
ln
N
g r
L
C r
f x
T
f x
N
N




. 
Теорема дәлелденді. 
4-теорема. Қайсыбір 
0
2,
r
f
W


  және


2
1
2
, ,
0
C
r r


  саны үшін 
 




 
2
2
1
2
0
0
, ,
;
ln
N
g r
L
C
r r
f
x
T
f x
N
N




 
теңсіздігі орындалады. 
Дәлелдеуі. Әрбір тригонометриялық 
P
 көпмүшелігіне 
1
2
1
2
,
n
n
P
N
N






 санын сәйкес қоятын 


1
2
,
n n
l
 функционалдарын қарастырайық. 


 



2
1
1
2
2
,3
,3
G
N
N
N
N
Z



 жиынының элементтерінің саны  2N -нен артық. Демек, 4-
лемма бойынша 


 
1
2
,
0
0
n n
l
P

 және 
2
0 L
P
N

 теңдіктері орындалатын 
 


2
,
0
i m x
m
m G
P x
C e




 көпмүшелігі бар болады. 
 
 
 
0
1
1
2
ln
g r
P x
P x
N
N




 көпмүшелігі үшін 
мына теңсіздіктер орындалады:  
 


 


 


 


 


1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
ˆ
ln
2
ln
2
1
ln
2
ln
2
ln
1
ln
2
ln
2
ln
1
, ,
ln
, ,
ln
r
r
m G
r
r
m
g r
m G
r
r
m
g r
m G
g r
m
g r
m G
P m
m
m
m
m
C
m
m
m
m
N N
N
C
m
m
m
m
N N
N
C r r
N
N
C
C r r
N N
N







































 
Енді 
0
2,
r
f
W


 функциясы ретінде 
 
 


1
2
1
2
, ,
P x
P x
C r r


 көпмүшелігін алсақ:  
 


 

  


 
 


 


 


 
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
0
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
;
, ,
1
1
, ,
ln
, ,
ln
, ,
1
1
, ,
ln
ln
N
L
L
L
g r
g r
L
g r
g r
P x
T
P x
P x
P x
C r r
P x
N
C r r
N
N
N
C r r
N
N
N
C
r r
C r r
N
N
N
N























 
 
Теорема дәлелденді. 

жүктеу/скачать 3.07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: