2.2.3.
Определение
среднеквадратического
отклонения
и доверительного интервала
Цель занятия: получить практические навыки решения задач на
вычисление математического ожидания и среднеквадратического
отклонения.
Задача 1. Проведено пять независимых наблюдений одного и того же
напряжения
1944
1
=
U
В,
1961
2
=
U
В,
1951
3
=
U
В,
1955
4
=
U
В,
1967
1
=
U
В. Найти результат измерения, его среднеквадратическое
отклонение и доверительный интервал при вероятности Р=0,95.
Систематической погрешностью можно пренебречь.
В задаче требуется найти результат измерения. Для этого можно
воспользоваться формулой
ср
U
U
=
,
где
ср
U
– среднее арифметическое значение для пяти измерений.
6
,
1955
1
=
=
∑
=
n
U
U
n
i
i
ср
В.
Определим среднеквадратическое отклонение
U
от
д
U
:
97
,
3
)
1
(
)
(
2
_
1
_
=
−
−
=
∑
=
n
n
U
U
n
i
i
U
σ
мВ.
126
Таблица 2.2
Значения квантиля распределения Стьюдента
По таблице 2.2 находим значение критерия Стьюдента
p
t
при
доверительной вероятности Р = 0,95 (уровне 0,05) и n – 1 = 4. Значение
p
t
=2,776.
Доверительные границы истинного значения напряжения с
вероятностью Р = 0,95 рассчитываются по формуле
127
_
_
U
p
t
U
σ
⋅
±
.
1955,6-
97
,
3
776
,
2
⋅
<
U
<
1955,6+
97
,
3
776
,
2
⋅
;
или
1944,6 В <
U
<1966,6 В при Р=0,95; или 1955,6
±
11,0 В при Р=0,95.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2. При многократном изменении температуры
t
в производственном помещении получены значения в градусах Цельсия:
20,4; 20,2; 20,0; 20,5; 19,7; 20,3; 20,4; 20,1. Определить опытное
среднеквадратическое отклонение.
Задача 3. Определить доверительный интервал и записать результат
измерения напряжения 37,186+0,02n В при среднеквадратическом
отклонении погрешности измерения 0,249 В, если проведено 5 измерений,
а доверительная вероятность 0,95.
Задача 4. При многократном измерении силы F получены значения
в ньютонах (Н): 403; 408; 410; 405; 406; 398; 496; 404. Укажите
доверительные границы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,95
(0,9, 0,8).
Задача 5. При многократном измерении силы электрического тока
получены значения в амперах (А): 0,8+0,001n; 0,85; 0,8; 0,79; 0,82;
0,78+0,001n; 0,79; 0,8; 0,84. Укажите доверительные границы истинного
значения силы тока с вероятностью Р = 0,95.
Задача 6. При многократном измерении температуры объекта
получены значения в градусах Цельсия (°С): 40,4; 41,0; 40,2; 40,0+0,005n;
43,5; 42,7; 40,3; 40,4; 40,8 °С. Укажите доверительные границы истинного
значения температуры с вероятностью Р = 0,99.
Задача 7. При многократном измерении уровня жидкости L
в технологическом резервуаре получены значения в метрах (м): 64; 64,25;
64,3; 64,4; 65; 64,5; 64,9; 63,7; 64,8. Укажите доверительные границы
истинного значения уровня с вероятностью Р = 0,99.
Задача 8. При многократном измерении диаметра детали d получены
следующие значения в микрометрах (мкм): 9990,3; 9990; 9989,8; 9989,9;
9990,4; 9990; 9990,3; 9989,1; 9990,5; 9990,4; 9990. Укажите доверительные
границы истинного значения диаметра с вероятностью Р = 0,95.
Задача 9. Определить доверительный интервал и записать результат
измерения мощности 87,35+0,05n Вт при среднеквадратическом
отклонении 0,164 Вт, если число измерений равно 7, а доверительная
вероятность 0,95.
128
|