2.2.5. Нахождение погрешностей косвенных измерений
Цель занятия: получить практические навыки нахождения
погрешностей косвенных измерений.
Задача 1. Необходимо определить мощность электрического тока на
некотором сопротивлении. При этом с помощью прямых измерений
получены значения напряжения и сопротивления:
(
)
10
150 ±
=
U
В;
7
=
U
δ
%
;
(
)
1
18 ±
=
R
Ом;
6
=
R
δ
%
.
Решение.
Мощность электрического тока определяется по формуле:
R
U
P
2
=
.
Вычислим среднее значение мощности электрического тока:
130
3
2
10
3
,1
1250
18
150
⋅
≈
=
=
Bm
P
ср
Вт.
Здесь при округлении учтено, что наименьшее число значащих цифр
в результатах измерения равно двум. Это цифры, которыми определено
сопротивление.
Теперь определим абсолютную погрешность этого косвенного
измерения. Это можно сделать тремя способами.
Первый способ определения абсолютной погрешности косвенного
измерения состоит в том, что сначала определяют значения частных
производных. Затем вычисляются погрешности от каждого аргумента,
и, наконец, определяется полная абсолютная погрешность, а затем и
относительная погрешность. Применим эти рассуждения к нашему
примеру.
1. Находим частные производные и вычисляем их значения при
средних значениях аргументов
7
,
16
18
150
2
2
=
⋅
=
⋅
=
∂
∂
R
U
U
P
Вт∕В.
4
,
69
18
150
2
2
2
2
−
=
−
=
−
=
∂
∂
R
U
R
P
Вт∕Ом.
2. Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента:
167
10
7
,
16
=
⋅
=
∆
⋅
∂
∂
=
∆
U
U
P
P
U
Вт.
4
,
69
1
4
,
69
=
⋅
=
∆
⋅
∂
∂
=
∆
R
R
P
P
R
Вт.
3. Вычисляем полную абсолютную погрешность:
( )
( )
85
,
180
4
,
69
167
2
2
2
2
=
+
=
∆
+
∆
=
∆
R
U
P
P
P
Вт
200
≈
Вт
=
3
10
2
,
0 ⋅
Вт.
4. Вычисляем относительную погрешность:
%
15
%
100
10
3
,1
10
2
,
0
%
100
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
∆
=
P
P
P
δ
.
5. Запишем результат данного косвенного измерения:
(
)
3
10
2
,
0
3
,1
⋅
±
=
P
Вт;
%
15
=
P
δ
.
Второй способ определения абсолютной погрешности косвенного
измерения состоит в том, что сначала определяют приращения
измеряемой величины по ее аргументам, а затем вычисляется полная
131
абсолютная погрешность и относительная погрешность. Применим этот
способ к нашему примеру.
1.Найдем приращения функции по ее аргументам:
(
) (
) (
)
2
,
172
1250
18
10
150
,
,
2
=
−
+
=
−
∆
+
=
∆
R
U
P
R
U
U
P
P
U
Вт;
(
) (
)
8
,
65
1250
19
150
,
,
2
=
−
=
−
∆
+
=
∆
R
U
P
R
R
U
P
P
R
Вт.
2. Вычислим полную абсолютную погрешность:
( )
( )
3
,
184
8
,
65
2
,
172
2
2
2
2
=
+
=
∆
+
∆
=
∆
R
U
P
P
P
Вт=
3
10
2
,
0 ⋅
≈
Вт.
3. Вычисляем относительную погрешность:
%
15
%
100
10
3
,1
10
2
,
0
%
100
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
∆
=
P
P
P
δ
.
4. Записываем результат измерения:
(
)
3
10
2
,
0
3
,1
⋅
±
=
P
Вт;
%
15
=
P
δ
.
Третий способ состоит в том, что сначала можно определить
относительную погрешность:
P
P
P
P
ln
∆
≈
∆
=
δ
.
1. Прологарифмируем выражение для мощности:
R
U
P
ln
ln
2
ln
−
=
.
2. Найдем приращение логарифма мощности:
R
R
U
U
P
∆
+
∆
⋅
=
∆
2
ln
.
Здесь вместо знака «минус» ставим знак «плюс», чтобы определить
максимальную абсолютную погрешность, которая определяется
положительной величиной.
3. Вычисляем относительную погрешность:
19
,
0
18
1
150
10
2
=
+
⋅
=
P
δ
.
4. Выразим относительную погрешность в процентах:
%
19
=
P
δ
.
5. По относительной погрешности найдем абсолютную погрешность:
236
1250
19
,
0
=
⋅
=
⋅
=
∆
P
P
P
δ
Вт
3
10
2
,
0 ⋅
≈
Вт.
6. Записываем окончательный результат:
3
10
)
2
,
0
3
,1
(
⋅
±
=
P
Вт
%
19
=
P
δ
.
132
При вычислении абсолютной и относительной погрешности
косвенных измерений можно пользоваться любым методом, но наиболее
обоснованными являются первые два метода. Поэтому они для нас будут
предпочтительными. Кроме того, третий метод используется только
в случае если формула, определяющая величину, представляет собой
дробь или произведение некоторых величин.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2. Измерение мощности Р в активной нагрузке
сопротивлением 20 Ом определяется с помощью вольтметра класс
точности 1,0 с пределом измерения
Г
U
=220 В. Оценить измеренную
мощность и погрешность, если прибор показал
П
U
=100+3n В.
Достарыңызбен бөлісу: |