Ответ. а) Три; б) десять. Решение

теорем, а больше, зато каждая из них достаточно проста.
Убедимся в этом, решив следующую задачу.
Задача 8.5
∗
. В лифте многоэтажного дома работают
только две кнопки: одна поднимает лифт на x этажей, вто-
рая опускает на y этажей (если это возможно при данном
положении лифта), где натуральные числа x и y меньше
количества этажей в доме. Рассмотрим три утверждения:
(1) С любого этажа можно попасть на любой другой.
(2) С любого этажа, кроме последнего, можно подняться
на следующий.
(3) С любого этажа, кроме первого, можно спуститься на
предыдущий.
1) Покажите, что в зависимости от значений x и y каж-
дое утверждение может быть как верным, так и неверным.
2) Между какими из этих утверждений можно поста-
вить знак следствия и получить верное высказывание?
Есть ли среди данных трех утверждений равносильные?
Решение. 1) При x = y = 1 все утверждения верны, при
x = y = 2 неверны, так как нельзя поменять четность этажа.
2) Очевидно, что (1)
⇒ (2), (1) ⇒ (3). Кроме того, из од-
новременной истинности (2) и (3) следует (1). Докажем,
что (2)
⇒ (3). Пусть лифт находится на n-м этаже. Если
n − y > 0, то сначала опустимся на y этажей, а потом y − 1
раз поднимемся на 1 этаж и окажемся на (n − 1)-м этаже.
Если n − y 6 0, то n < y + 1, поэтому можно, прибавляя
по этажу, постепенно подняться до (y + 1)-го этажа, за-
тем спуститься на y этажей до первого, а потом постепен-
но подняться на (n − 1)-й этаж. Аналогично доказывается
и (3)
⇒ (2), что завершает доказательство равносильности
всех трех утверждений.

жүктеу/скачать 1.3 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: