И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
Ответ. Б — мафиози, Г и Д — мирные жители. Занятие 10
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 10.8. Подсказка.
| Ответ. Б — мафиози, Г и Д — мирные жители.
Занятие 10 10.6. Если белых колпаков по-прежнему два, а черных более трех (например, 4 или 5), то все рассуждения оста- нутся в силе. А вот если мудрецам принести три белых и три черных колпака и надеть на каждого черный колпак, третий мудрец тоже не сможет определить цвет своего кол- пака, но доказать это непросто. Заметим, что в таком слу- чае после того, как все три мудреца по очереди скажут «не знаю», первый уже сможет определить цвет своего кол- пака. 10.7. Сначала сформулируем общую задачу. По кругу сидят n мудрецов, они могут видеть и слу- шать друг друга. Им принесли n − 1 белый и n черных колпаков. Затем завязали глаза, надели всем черные кол- паки, а белые спрятали. После этого мудрецам развяза- ли глаза и стали поочередно спрашивать: «Знаешь ли ты цвет своего колпака?» Почти все ответили: «Не знаю», а последний сказал: «Знаю. Черный». Как он рассуждал? 148 Приведем рассуждения четвертого мудреца для n = 4. «Если на мне белый колпак, то остались два белых и че- тыре черных колпака. Но в таком случае третий мудрец смог бы определить, что у него черный колпак (для этого ему пришлось бы всего лишь решить предыдущую зада- чу). Раз он сказал, что не знает, на мне черный колпак». Рассуждения последующих мудрецов аналогичны. Стро- гое решение задачи о мудрецах в общем виде можно изло- жить с помощью метода математической индукции. 10.8. Подсказка. Решите сначала задачу для одного мудреца, затем постепенно увеличивайте их количество. Решение. 1) Если бы грязный мудрец был один, он вы- шел бы на первой станции. Если грязных мудрецов двое, то на первой станции каждый понадеется, что грязный другой, поэтому никто не выйдет. После этого первый мудрец подумает: «Если бы я был чист, второй мудрец догадался бы, что он гряз- ный, и вышел бы на первой станции. Но он не вышел, следовательно, я испачкался». Так же подумает и второй мудрец, и оба выйдут на второй станции. Если грязных мудрецов трое, то на первых двух стан- циях никто не выйдет. А перед третьей третий мудрец по- думает: «Если мое лицо чистое, то двое оставшихся муд- рецов должны вести себя так, словно меня нет. Но в таком случае они вышли бы на второй станции. Раз они не вы- шли, мое лицо грязное». Так же подумают и два первых мудреца, и все трое выйдут на третьей станции. Рассуждая аналогично, получаем, что все семь мудре- цов выйдут на седьмой станции. 2) Снова начнем с простых случаев. Если мудрец один, то от проводника он узнал, что кто-то испачкался. Если мудрецов двое, то каждый и без проводника знал, что кто-то испачкался. Но из слов проводника он понял, что и другой знает, что кто-то испачкался. Пусть мудрецов трое. Третий видел грязные лица пер- вого и второго и понимал, что первый и второй знают, что 149 кто-то испачкался. Но вот знает ли второй, что первый знает, что кто-то испачкался? Знает, но это стало известно третьему лишь после слов проводника. Это же можно ска- зать и о других мудрецах. Итак, все мудрецы узнали, что все знают, что все знают, что кто-то испачкался. Рассуждая аналогично, добираемся до семи мудрецов. Из слов проводника все узнали, что все знают, что все знают, что все знают, что все знают, что все знают, что все знают, что кто-то испачкался. Заметим, что глагол «знать» повторяется столько же раз, сколько было мудре- цов и станций. 10.9. «Среди вас есть испачкавшиеся» означает, что на ком-то надет черный колпак. Никто не сообщал это муд- рецам словами. Но зато они видели, что белых колпаков на один меньше, чем мудрецов. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|