Введение в современную криптографию
жүктеу/скачать 6.4 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- (Дистрибутивность:)
- ТЕОРЕМА A.19
| ОПРЕДЕЛЕНИЕ A.17 (Конечное) поле является (конечным) множеством
F вместе с двумя двоичными операциями +, • , для которых справедливо сле- дующее: • F является коммутативной группой по отношению к операции ‘+.’ Пусть 0 обозначает единичный элемент этой группы. • F \ {0} является коммутативной группой по отношению к операции ‘•.’ Пусть 1 обозначает единичный элемент этой группы. Как обычно, мы часто пишем ab вместо a • b. • (Дистрибутивность:) Для всех a, b, c ∈ F имеем a • (b + c) = ab + ac. Аддитивная инверсия a ∈F, обозначаемая как −a, является уникальным эле- ментом, удовлетворяющим a +(−a) = 0; мы пишем b − a вместо b +(−a). Мульти- пликативная инверсия a ∈ F \ {0}, обозначаемая как a−1, является уникальным элементом, удовлетворяющим aa−1 = 1; мы часто пишем b/a вместо ba−1. Пример A.18 Из результатов раздела 8.1.4 следует, что для любого простого числа p мно- жество {0, . . . , p − 1} является конечным полем, относительно сложения и умножения по модулю p. Мы обозначаем это поле как Fp. ♦ Для конечных полей имеется богатая теория. Для наших целей нам нужно лишь несколько основных фактов. Порядок F – это количество элементов в F (в предположении, что оно конечное). Напомним также, что q является степенью простого числа, если q = pr для некоторого простого числа p и целого r ≥ 1. ТЕОРЕМА A.19 Если F является конечным полем, то порядок F представ- ляет собой степень простого числа. С другой стороны, для каждой степени простого числа q существует конечное поле порядка q, которое , к тому же единственное такое поле (до переименования элементов). Для q = pr с простым числом p, пусть Fq обозначает (единственное) поле по- рядка q. Назовем p характеристикой Fq . Предыдущая теорема говорит нам о том, что характеристикой любого конечного поля является простое число. Как и в случае групп, если n – положительное целое число и a ∈ F , то Запись расширена для n ≤ 0 естественным способом. |