Өріс күштерінің консервативтілігі

132 
мұндағы, i, j - X жəне Y өстерінің орттары; a жəне b – тұрақтылар. Осы өрістер 
потенциалдық бола ма? 
Шығару жолы. Əрбір күштің қайсыбір 
1
,
нүктеден екінші бір 
2
,
нүктеге дейінгі аралықтағы атқаратын жұмысын табамыз: 
1) 
d
d
d , 
d
2) 
d
d
d ,
d
d
Бірінші жағдайда интеграл 
функциясының түріне тəуелді, олай болса жолдың 
пішініне де тəуелді болғаны, сондықтан өріс күші консервативті емес. Екінші 
жағдайда екі интеграл да жолдың пішініне тəуелсіз, яғни олар жолдың бастапқы 
жəне соңғы нүктедегі координаттарына ғана тəуелді. Демек, екінші өріс 
консервативті. 
4.3. Өріс ішіндегі бөлшектердің потенциалдық энергиясы. Қайсыбір потенциалдық 
өрістегі бөлшекке əсер ететін күш келесі теңдеумен берілген болсын: 
, 
мұндағы, 
тұрақты шама, жəне сəйкес түрде жəне өстерінің орттары. 
Бөлшектің осы өрістегі 
, потенциалдық энергиясын табу керек. 
Шығару жолы. күштің О нүктеден (4.14) сəйкес кез келген нүктеге дейінгі жол 
бойында элементар жұмысын есептеп шығарайық. Осы элементар жұмысты орын 
ауыстырғандағы қайсыбір функцияның кемуімен есептеп табуға болады. Функция 
өзінің анықтамасы бойынша осы өріс ішіндегі бөлшектердің потенциалдық 
энергиясы болып табылады. Сонымен, 
. 
Осыдан 
,
. 
 
4.4. Есептің шешуін табудағы əртүрлі тəсілдер. Массасы 
шарик қаттылық 
коэффициенті болатын серпімді салмақсыз жіпке ілінген. Содан кейін шарикті жіп 
деформацияланбайтындай күйде көтеріп, оны бастапқы жылдамдықпен итерусіз қоя 
берген. Шариктің қозғалысы кезіндегі 
максимал ұзаруын табу керек. 
Шығару жолы. Энергетика тарапынан қарастыра отырып, осы есепті үш тəсілмен 
шығарып көрейік. 
1. (4.29) теңдеуге сүйенеміз: шариктің кинетикалық энергиясының өсімшесі 
шарикке түсірілген барлық күштердің атқаратын жұмыстарының алгебралық 
қосындысына тең. Біздің жағдайымызда бұл mg ауырлық күші жəне жіп тарапынан 
серп.
серпімділік күші (4.14). Шариктің бастапқы жəне ақырғы қалыптарында 
оның кинетикалық энергиясы нөлге тең (жіптің максимал созылуы кезінде шариктің 
тоқталатыны белгілі), сондықтан (4.29) бойынша жұмыстардың қосындысы

133 
ау.
серп.
0, 
немесе: 
g
d
g
/2
0 . 
Осыдан: 
2 g/ . 
2. Шарикті Жердің ауырлық өрісі ішінде қарастыруға болады. Мұндай жағдайда 
Жердің ауырлық өрісінде шариктің толық механикалық энергиясын қарасытырған 
жөн. (4.31)-теңдеуіне сай толық механикалық энергияның өсімшесі ретінде тосын 
күштердің жұмысы алынады. Тосын күш ретінде серпімділік күші алынады. Жердің 
ауырлық өрісінде толық механикалық энергияияның өсімшесі ретінде шариктің 
потенциалдық энергиясы алынады: сондықтан: 
∆
0
g
d
/2. 
Осыдан 
үшін сол нəтиженің өзі шығады. 
Айта кету керек, шарикті серпімді күш өрісінде де қарастыруға болар еді. Онда 
тосын күш рөлін ауырлық күші атқарар еді. Мұндай жағдайда нəтиже бірдей болып 
шығады. 
3. Сонымен шарикті екі күштің бiрлескен əсерімен, яғни серпімділік күштің де, 
ауырлық күштің əсерлерімен де қарастыруға болады. Сонда осындай өрістің ішінде 
тосын күштер болмай, шариктің толық механикалық энергиясы қозғалыс процесінде 
өзгеріссіз қалады. Яғни: 
∆
∆
∆
0. Шариктің бастапқы күйінен соңғы 
күйіне дейін ауысқанында 
∆
0, ал олай болса ∆
∆
ау.
∆
серп.
0, немесе: 
g
/
. 
Алынған нəтиже бастапқы екі жолдың шешулерімен бірдей. 
4.5. Массасы m дене Жер бетінен бастапқы жылдамдықсыз екі күштің əсерінен 
көтеріледі: көтерілу биіктігі бойынша 
2 g 1
түрінде өзгеретін
күштің əсерінен, мұндағы а – оң тұрақты шама жəне 
g ауырлық күшінің əсерінен. 
-күштің көтерілу биіктігінің бірінші жартысындағы атқарған жұмысын жəне 
дененің Жердің ауырлық өрісіндегі потенциалдық энергиясының өсімшесін табу 
керек. Ауырлық өрісін біртекті деп есептеу керек. 
Шығару жолы. Əуелі тұтас көтерілу биіктігін табамыз. Жолдың басы мен 
соңында дененің жұмысы нөлге тең. Сондықтан кинетикалық энергияның өсімшесі 
де нөлге тең. Екінші жағынан (4.29) бойынша, 
∆ осы жолдағы барлық күштердің 
атқаратын жұмыстарының алгебралық қосындысына тең, яғни күштің жəне 
ауырлық күшінің атқаратын жұмыстарының алгебралық қосындысына тең болғаны. 
∆
0,
0. Жоғары қарай өсінің оң бағыты бағытталғандығын ескере отырып, 
жазамыз: 

134 
g
g
1
2
d
g 1
0. 
Осыдан 
1/ . 
F күштің көтерілу жолының бірінші жартысында атқаратын жұмысы: 
d
/
2 g
1
d
/
3 g/4 . 
 
Потенциалдық энергияның өсімшесі: 
∆
g /2
g/2 . 

жүктеу/скачать 2.75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: