«научное наследие заки ахметова и национальные ценности», в честь 95-летнего юбилея Заки Ахметова

59 
негзідеу керек. Бірақ бұл әдіс көп есептеу жұмыстарын қажет ететіндіктен,
негізінен теориялық рөл атқарады - мысалы, дәлелдеулерде қолданылады: Коши-
Пикар 
теоремасы 
немесе 
орын 
ауытыру 
операторының 
дифференциалданатындығын дәлелдеу үшін пайдалы.
Сондай-ақ, қажетті шешімді табу үшін оны дәрежелік немесе 
тригонометриялық қатарда (мысалы, Тейлор немесе Фурье қатарында) жіктеуе 
болады. Бұл қатарлардың коэффициенттері үшін теңдеулер бастапқы 
дифференциалдық теңдеуден алынады. Бұл әдістер, әдетте, үлкен көлемдегі нашар 
алгоритмделген аналитикалық жұмыстарды қажет етеді. Мысалы, шешімнің 
Тейлор қатарының коэффициенттерін табу үшін теңдеудің оң жағының жоғары 
ретті туындыларын есептеу керек. Осыған байланысты, шешімдерді мұндай 
қатарларға жіктеу компьютерде практикалық қолдану үшін тиімсіз.
Қазіргі уақытта дифференциалдық теңдеулерді жуықтап шешудің ең әмбебап 
және тиімді әдістері - бұл ақырлы-айырымдар әдісі. Оларды айырымдық немесе 
торлық әдістер деп те атайды. Жұмысымызда бірінші ретті қарапайым 
дифференциалдық теңдеулерді шешудің ақырлы айырымды әдістерін оқытудың 
мәселелерін зерттейміз. 
Қазіргі ғылымда ең кең таралған және әмбебап сандық әдіс - ақырғы 
айырмалар әдісі. Мұнда аргументтің үзіліссіз анықталу облысы түйіндерден 
тұратын дискретті жиынмен алмастырылады. Түйіндер айырымдар торын құрайды. 
Мұнда үзіліссіз аргументтің ізделінді функциясы берілген тордағы дискретті 
аргументтің функциясы – торлық функциямен ауыстырылады. Қарапайым 
дифференциалдық теңдеу торлық айырымдық теңдеумен алмастырылады. Басқаша 
айтқанда дифференциалдық теңдеу айырымдық теңдеумен аппроксимацияланады. 
Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі түйіндердегі айырымдық 
функцияның мәнін табуға келтіріледі. 
Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін Эйлер, 
Рунге-Кутта және олардың модификацияланған әдістерістері сияқты әдістер 
қолданылады. Төменде осы әдістерді қарастырайық.
Мысал 1 Эйлердің айқын әдісі арқылы 
𝑦
′
= (𝑥 + 𝑦)
2
, 
𝑦(0) = 0 Коши есебінің 
[0, 1] кесіндісінде тор қадамы ℎ = 0.1 болғандағы жуық шешімін табу керек.
Шешуі. Сандық экспериментті жүзеге асыру үшін берілген Коши есебінің 
𝑦
′
= (𝑥 + 𝑦)
2
, 
𝑦(0) = 0 нақты шешімін тауып алайық. Бұл бірінші ретті 
айнымалысы ажыратылатын теңдеуге келтірілетін дифференциалдық теңдеу. Оның 
шешу үшін айнымалыны ауыстырайық, жаңа айнымалы 
z = 𝑥 + 𝑦 болсын, онда 
z′ = 1 + 𝑦′, бұдан z
′
− 1 = 𝑧
2
, 
z
′
= 𝑧
2
+ 1. Яғни айнымалысы ажыратылатын 
теңдеу алынады: 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧
2
+ 1. Теңдеудің айнымалыларын ажыратып, интеграл 
табайық: ∫
𝑑𝑧
𝑧
2
+1
= ∫ 𝑑𝑥, бұдан 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 = 𝑥 + 𝐶, яғни 𝑧 = 𝑡𝑔(𝑥 + 𝐶). Енді ескі 
айнымалыларға қайта оралсақ: 
𝑥 + 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥 + 𝐶), яғни 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥 + 𝐶) − 𝑥. Бұл 
табылған жалпы шешімнен 
𝑦(0) = 0 шарттарын қанағаттандыратын дербес 
шешімді алайық, ол үшін табылған жалпы шешімге бастапқы шарттарды қойып 
шығамыз: 
0 = 𝑡𝑔(0 + 𝐶) − 0. Бұдан 𝐶 = 0. Ендеше Коши есебінің нақты шешімі 
𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 − 𝑥. Бұл шешім бізге әртүрлі әдістермен алынатын жуық шешімдерге 
талдаулар, сандық эксперименттер жүргізу үшін қажет.

60 
Төменде әртүрлі сандық әдістер арқылы жүргізілген сандық эксперименттің 
нәтижелерін келтірейік.
Жуық шешімді [
0, 1] кесіндісінде іздейміз. ℎ = 0.1 
𝑛 = [(𝐻 − 𝑥
0
) ℎ
⁄ ], онда 𝑛 = [(1 − 0) 0,1
⁄
] = 10, 𝑘 = 0,1,2, … ,10. 
Эйлердің айқын әдісі: 
у
𝑘+1
= у
𝑘
+ ℎ𝑓(𝑥
𝑘
, 𝑦
𝑘
); 𝑘 = 0,1,2, . ..

жүктеу/скачать 5.2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: