Применение производной к исследованию функций в школьном курсе математики

42 
функции (например, точку минимума функции 𝑦 = 𝑥
2
+ 5 не «точка 0», а 
«точка (0; 5)»). 
Итак, значение функции в точке минимума будем называть минимумом 
функции, а значение в точке максимума — максимумом функции.
При условии возрастания (убывания) функции на каждом из двух 
промежутков, функция не всегда будет возрастать (убывать) на объединении 
этих промежутков. Так, рассматривая функцию 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 часто ошибочно 
утверждают, что она возрастает на всей области определения, или, что 
данная функция 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 возрастает на объединении промежутков вида 
(−
𝜋
2
+ 𝜋𝑘;
𝜋
2
+ 𝜋𝑘) , 𝑘 ∈ ℤ. ». Но если бы данные утверждения были верны, то 
тогда бы при условии 2 > 1 следовало бы, что 𝑡𝑔2 > 𝑡𝑔1, но это не так. 
Рассматривая функцию 𝑦 =
1
𝑥
также нельзя утверждать, что она на множестве 
(−∞; 0) ∪ (0; +∞)убывает. Ведь, из того, что 4 > -5, ведь не следует, что 
1
4
<
1
−5
и, значит, функция 
𝑦 =
1
𝑥
не является убывающей на объединении 
промежутков (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Поэтому промежутки возрастания лучше 
перечислять, и для этого использовать точку, точку с запятой или союз «и», 
но не знак объединения множеств. Данный совет пригодится в том случае, 
если появится задача на исследование функций во второй части ЕГЭ по 
математике.
При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего 
значений функции, непрерывной на отрезке, необходимо найти ее значения 
не только в точках экстремума, принадлежащих данному отрезку, но и 
значения на концах этого отрезка. Из всех выбрать наибольшее (наименьшее) 
значение, оно и будет наибольшим (наименьшим) значением функции на 
данном отрезке. При исследовании функции, непрерывной на интервале, 
подобное утверждение не всегда справедливо. Для примера рассмотрим 
функцию 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 на интервале (0; 1). На этом интервале функция не имеет 
ни наибольшего, ни наименьшего значений. Действительно, если 

43 
предположить, что в точке 𝑥
0
функция достигает, например, наибольшего 
значения, то это наибольшее значение равно 𝑦(𝑥
0
) = 𝑥
0
. Но тогда очевидно, 
что в любой точке 𝑥
1
∈ (𝑥
0
; 1)значение функции окажется больше, чем 𝑥
0
, 
поскольку функция 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 является возрастающей. 
Для обозначения наибольшего и наименьшего значений функции 𝑦 =
𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎; 𝑏] обычно используют символы
max
[𝑎;𝑏]
𝑓(𝑥) и min
[𝑎;𝑏]
𝑓(𝑥) 
Используя теорему о промежуточных значениях непрерывной на 
отрезке функции, можем сделать вывод: если наибольшее значение функции 
на данном отрезке равно числу М, а наименьшее - m, то множеством 
значений функции на этом отрезке является отрезок [m; M]. Итак, при 
решении задач на нахождение множества значений функции, непрерывной на 
отрезке, можно также применять алгоритм нахождения наибольшего и 
наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке функции.
Рассмотрим еще один пример. Исследуя на монотонность 
непрерывную и дифференцируемую на R функцию ℝ функции 𝑦 = 3𝑥
4
−
4𝑥
3
в ответе необходимо записать только два промежутка монотонности: 
(
−∞;1]- промежуток убывания и [1; +∞) — промежуток, на котором функция 
возрастает. В точке 0, которая хоть и является критической, но так как 
производная в этой точке не меняет знак, поэтому она и не будет концом 
промежутка монотонности.
Исследуя же функцию 𝑦 =
1
𝑥
2
−
2
𝑥
, в результате получаем три 
промежутка монотонности: (−∞;0) и [1;+∞)— промежутки возрастания, (0; 
1] — промежуток убывания. 
Не всегда значение в точке минимума функции, принадлежащей 
отрезку, является наименьшим значением функции на этом отрезке. Так, для 
функции 𝑦 = 𝑥
5
− 5𝑥 наименьшим значением на отрезке [-3;2] является не 
𝑦(1) = −4 (значение в точке минимума), а 𝑦(−3) = −228. Справедливо 
подобное замечание и для точек максимума. 

44 
Решая данную задачу можно использовать следующее свойство 
непрерывных функций: если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) имеет на промежутке I 
единственную точку экстремума 𝑥
0
и эта точка является точкой минимума, 
то в ней достигается наименьшее значение функции на данном промежутке. 
Подобное утверждение справедливо для точки минимума и наименьшего 
значения функции. Допустим, если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥), непрерывная на 
отрезке [𝑎; 𝑏], имеет на промежутке (a;b) единственную точку экстремума 𝑥
0
и эта точка является точкой максимума функции, то наибольшее значение 
функции на отрезке [𝑎; 𝑏] равно 𝑓(𝑥
0
). 
Встречаются задачи на исследование функций, при решении которых 
оказывается, что точки экстремума на данном промежутке отсутствуют. Это 
значит, что производная на данном промежутке принимает значения одного 
знака, а функция является монотонной на этом промежутке. Очевидно также, 
что если функция убывает на отрезке, то наибольшее значение на нем 
достигается в левом конце отрезка, а наименьшее — в правом, а если 
функция возрастает на отрезке, то наибольшее значение на нем достигается в 
правом конце отрезка, а наименьшее— в левом.
Рассмотрим пример: найти наибольшее значение функции 
𝑦 = 6√2𝑠𝑖𝑛𝑥 −
40
𝜋
𝑥 + 49 
на отрезке [
𝜋
4
;
𝜋
3
]. Производная этой функции есть 𝑦
׳
= 6√2𝑐𝑜𝑠𝑥 −
40
𝜋
. 
Поскольку 
𝜋 < 4, получим, что 
40
𝜋
> 10. 
Но 
6√2𝑐𝑜𝑠𝑥 = √72𝑐𝑜𝑠𝑥 <
√81 cos 𝑥, т. е. 6√2 cos 𝑥 < 9 cos 𝑥 ≤ 9. 
Поэтому 𝑦
׳
< 0 при любом действительном значении аргумента. 
Значит, функция является убывающей на всей числовой прямой и своего 
наибольшего значения на отрезке [
𝜋
4
;
𝜋
3
] достигает в точке 𝑥 =
𝜋
4
. Таким 
образом, 
max
[
𝜋
4
;
𝜋
3
]
𝑦(𝑥) = 𝑦 (
𝜋
4
) = 6√2 ∙
√2
2
−
40
𝜋
∙
𝜋
4
+ 49 = 45. 

45 

жүктеу/скачать 2.47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: