ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ

7 
𝑣(𝑡) = lim
𝑡→𝑡
0
𝑠(𝑡
1
)−𝑠(𝑡
0
)
𝑡
1
−𝑡
0
, (1.1) 
т.е. значение скорости равно пределу отношения (1.1), при промежутке 
времени, стремящемся к нулю. 
Наблюдатель выяснил, что при первом приближении средняя скорость 
движения спутника величина постоянная. Используя формулу (1.1), 
получаем: 
𝑠(𝑡
1
) = 𝑠(𝑡
0
) + 𝑣
ср
(𝑡 − 𝑡
0
), 
непосредственные наблюдения 𝑡
0
, 
𝑠(𝑡
0
), 𝑣
ср
предоставляют возможность 
вычислений местоположения спутника в любой промежуток времени 𝑡 = 𝑡
1
. 
Скорость 𝑣(𝑡) – функция времени 𝑡, она является функцией, 
производной от функции пути 𝑠(𝑡). Данная функция зависит от 𝑠(𝑡) и 
полностью определяется 𝑠(𝑡). В этом заключается физический смысл 
производной. 
Определение: «пусть функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) определена в некоторой 
окрестности точки 𝑥
0
∈ 𝑅 и пусть 𝑥 – произвольная точка этой окрестности. 
Если отношение 
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥
0
имеет предел при 
𝑥 → 𝑥
0
, то этот предел 
называется производной функции 𝑓 в точке 𝑥
0
или при 
𝑥 = 𝑥
0
и обозначается 
𝑓′(𝑥
0
) » [7, с.270]: 
𝑓′(𝑥
0
) = lim
△𝑥→0
△ 𝑓(𝑥)
△ 𝑥
. 
Определение производной предполагает следующие утверждения»[7]: 
1. 
Функция может иметь производную в точке 𝑥
0
в том случае, если 
она определена в некоторой окрестности точки 𝑥
0
, включая эту точку. 
2. 
Необходимое условие существования производной функции в 
данной точке – непрерывность функции в этой точке. 
3. 
Вычисление 
производной 
функции 
𝑓(𝑥) 
называется 
дифференцированием данной функции. 

8 
4. 
Для производной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) существуют определенные 
правила дифференцирования: 
а) фиксируем значение аргумента 𝑥 и находим 𝑓(𝑥); 
б) даем аргументу 𝑥 приращение △ 𝑥 и находим 𝑓(𝑥 +△ 𝑥); 
в) находим приращение функции △ 𝑓 = 𝑓(𝑥 +△ 𝑥) − 𝑓(𝑥); 
г) делим приращение функции △ 𝑓 на приращение аргумента △ 𝑥: 
△ 𝑓
△ 𝑥
=
𝑓(𝑥 +△ 𝑥) − 𝑓(𝑥)
△ 𝑥
; 
д) находим предел отношения при △ 𝑥 → 0: 
lim
△𝑥→0
△ 𝑓
△ 𝑥
= lim
△𝑥→0
𝑓(𝑥 +△ 𝑥) − 𝑓(𝑥)
△ 𝑥
= 𝑓׳(𝑥).  
5. 
Производная постоянной функции равна нулю: с׳ = 0, 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 
6. 
Производная функции 𝑦 = 𝑥 равна 1: 𝑥׳ = 1. 
Раскроем понятие геометрического смысла производной функции в 
определенной точке. Для этого решим задачу построения касательной к 
кривой в данной точке [2]. Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) уравнение кривой (рис.1).
Необходимо построить касательную к данной кривой в точке 𝑀(𝑥
1
; 𝑦
1
). 
Чтобы решить задачу, необходимо определить угол касания 𝜑, который 
образует касательная и ось абсцисс. 
Рис. 1.1.1 – График касательной к кривой 
Отметим на кривой точку 𝑁(𝑥
2
; 𝑦
2
), которая расположена рядом с 
точкой 𝑀. Секущая 𝑀𝑁 образует с осью абсцисс угол 𝛼. Проведем 𝑀𝐾 ∥ 𝑂𝐴

9 
и получим прямоугольный треугольник 𝑀𝐾𝑁. Угол 𝑁𝑀𝐾 равен углу 𝛼. 
Получим равенство: 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐾𝑁
𝑀𝐾
=
𝐵𝑁−𝐵𝐾
𝐴𝐵
=
𝐵𝑁−𝐵𝐾
𝑂𝐵−𝑂𝐴
=
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
.
По мере приближения по кривой точки 𝑁 к точке 𝑀, секущая 𝑁𝑀 
поворачивается вокруг точки 𝑀 и приближается к некоторой прямой 𝑀𝑇. 
Данная прямая является (по определению) касательной к кривой в точке 𝑀. 
Угол 𝛼 при этом стремится к углу 𝜑. Все условия выполняются при разности 
𝑥
2
− 𝑥
1
→ 0, т. е. 𝑥
2
стремится к 
𝑥
1
. 
𝑡𝑔 𝜑 = lim 𝑡𝑔 𝛼 = lim
𝑥
2
→𝑥
1
𝑦
2
− 𝑦
1
𝑥
2
− 𝑥
1
. 
Рассмотрим основные правила дифференцирования и выведем 
формулу суммы двух функций. 
Теорема 1. «Производная суммы (разности) двух функций равна сумме 
(разности) производных этих функций:
(𝑢 ± 𝑣)׳ = 𝑢׳ ± 𝑣׳»[13, с. 142]. 
Доказательство. Приращение △ 𝑥 является аргументом для 𝑥. Функции 
𝑢 = 𝑢 (𝑥), 𝑣 = 𝑣 (𝑥), 𝑦 = 𝑦 (𝑥) имеют, соответственно, приращения △ 𝑢, △
𝑣, △ 𝑦. Связь функций выражается в следующем равенстве:
△ 𝑦 = △ 𝑢 ± △ 𝑣,
так как 
△ 𝑦 = 𝑦 (𝑥 + △ 𝑥) − 𝑦 (𝑥) = [𝑢 (𝑥 + △ 𝑥) ± 𝑣 (𝑥 + △ 𝑥)] −
[𝑢 (𝑥) ± ±𝑣 (𝑥)] = [𝑢 (𝑥 + △ 𝑥) − 𝑢 (𝑥)] ± [𝑣 (𝑥 + △ 𝑥) − 𝑣 (𝑥)] = △
𝑢 ± △ 𝑣.  
Далее получается
△ 𝑦
△ 𝑥
=
△ 𝑢
△ 𝑥
±
△ 𝑣
△ 𝑥
при переходе к приделу воспользуемся теоремой о пределе суммы [18, с.107] 
и получим равенство 
lim
△𝑥→0
△ 𝑦
△ 𝑥
= lim
△𝑥→0
△ 𝑢
△ 𝑥
± lim
△𝑥→0
△ 𝑣
△ 𝑥
. 

10 
Теорема 2. «Производная произведения двух функций равна: (𝑢 ∙ 𝑣)׳ =
= 𝑢׳ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣׳»[13, c.142]. 
Доказательство[12]. Придадим переменной 𝑥 приращение △ 𝑥. Тогда 
приращение 𝑢 будет △ 𝑢, а 𝑣 имеет приращение △ 𝑣. Получаем следующее 
равенство 
(𝑢 ∙ 𝑣)׳ = lim
△𝑥→0
△ (𝑢 ∙ 𝑣)
△ 𝑥
= lim
△𝑥→0
(𝑢 +△ 𝑢)(𝑣 +△ 𝑣) − 𝑢 ∙ 𝑣
△ 𝑥
=  
= lim
△𝑥→0
△ 𝑣
△ 𝑥
+ lim
△𝑥→0
△ 𝑢
△ 𝑥
+ lim
△𝑥→0
△ 𝑢
△ 𝑥
△ 𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣׳ + 𝑢׳ ∙ 𝑣. 
Теорема 3. «Производная частного (дроби) 𝑦 =
𝑢
𝑣
равна дроби,
у которой знаменатель есть 𝑣
2
, а числитель равен разности между 
произведением знаменателя на производную числителя и произведением 
числителя на производную знаменателя:[18, с.144]» 
𝑦׳ = (
𝑢
𝑣
) ׳ =
𝑣 ∙ 𝑢׳ − 𝑢 ∙ 𝑣׳
𝑣
2
.  
 Доказательство [14]. 
𝑦 =
𝑢
𝑣
. Тогда
𝑦׳ = lim
△𝑥→0
𝑢(𝑥 + △ 𝑥)
𝑣(𝑥 + △ 𝑥)
−
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
△ 𝑥
= lim
△𝑥→0
𝑢(𝑥) + △ 𝑢
𝑣(𝑥) + △ 𝑣
−
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
△ 𝑥
=
= lim
△𝑥→0
𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑣(𝑥) ∙△ 𝑢 − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ⋅△ 𝑣
△ 𝑥
=
= lim
△𝑥→0
𝑣 ∙△ 𝑢 − 𝑢 ⋅△ 𝑣
△ 𝑥 ⋅ (𝑣
2
+ 𝑣 ⋅△ 𝑣)
= lim
△𝑥→0
𝑣 ⋅
△ 𝑢
△ 𝑥
− 𝑢 ⋅
△ 𝑣
△ 𝑥
𝑣
2
+ 𝑣 ⋅△ 𝑣
=
𝑣 ⋅ lim
△𝑥→0
△ 𝑢
△ 𝑥
− 𝑢 ⋅ lim
△𝑥→0
△ 𝑣
△ 𝑥
𝑣
2
+ 𝑣 ⋅ lim
△𝑥→0
△ 𝑣
=
𝑢׳𝑣 − 𝑢𝑣׳
𝑣
2
. 
Вычисление производной сложной функции: рассмотрим 𝑦 как 
функцию от 𝑢 ∶ 𝑦 = 𝑓(𝑢), где 𝑢 = 𝜑(𝑥), получили сложную функцию 𝑦 =
𝑓(𝜑(𝑥)), 𝑢 - промежуточный аргумент, 𝑥 – независимый аргумент. 

11 
Производная сложной функции – произведение ее производной по 
промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой 
переменной: 𝑦׳
𝑥
= 𝑦׳
𝑢
∙ 𝑢׳
𝑥
[6]. 
Из условия lim
△𝑢→0
△𝑦
△𝑢
= 𝑦׳
𝑢
. Используя теорему о связи функции, ее 
предела и бесконечно малой функции, получаем 
△ 𝑦 = 𝑦׳
𝑢
⋅△ 𝑢 + 𝛼 ⋅△ 𝑢, где 𝛼 → 0 при ∆𝑢 → 0. (1.2) 
Производная функции 𝑢 = 𝜑(𝑥)в точке 𝑥 выглядит следующим 
образом: lim
∆𝑥→0
∆𝑢
∆𝑥
= 𝑢׳
𝑥
, а ∆𝑢 = 𝑢׳
𝑥
∙ ∆𝑥 + 𝛽 ∙ ∆𝑥 , где 𝛽 → 0 при ∆𝑥 → 0. 
Подставим ∆ 𝑢 в (1.2) и получим равенство: 
∆𝑦 = 𝑦׳
𝑢
(𝑢׳
𝑥
∙ ∆𝑥 + 𝛽 ∙ ∆𝑥) + 𝛼(𝑢׳
𝑥
∙ ∆𝑥 + 𝛽 ∙ ∆𝑥), 
т.е. ∆𝑦 = 𝑦׳
𝑢
∙ 𝑢׳
𝑥
∙ ∆𝑥 + 𝑦׳
𝑢
∙ 𝛽 ∙ ∆𝑥 + 𝑢׳
𝑥
∙ 𝛼 ∙ ∆𝑥 + 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ ∆𝑥. 

жүктеу/скачать 2.47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: