Применение производной к исследованию функций в школьном курсе математики
Применение производной к исследованию функций
жүктеу/скачать 2.47 Mb. Pdf көрінісі
|
| 1.3
Применение производной к исследованию функций в современных учебниках В настоящее время школы делят по направлению подготовки: базовые, профильные. Для профильной школы можно выделить учебники А. Г. Морд- ковича [10] и С. М. Никольского [11]. В первом учебном пособии тема «Производная» рассматривается во II полугодии 10 класса. Она состоит из 10 разделов, включающих изучение числовой последовательности, предела функций, определения и вычисления производной, дифференцирования сложной и обратной функций, уравнения касательной, исследование на монотонность и экстремумы, построение графиков, нахождение наибольшего и наименьшего значения. Во втором учебнике данная тема изучается в I полугодии 11 класса как обобщение и систематизация свойств различных функций (тригонометрических, логарифмических, степенных и др.). Тема 17 «Производные» включает в себя 12 обязательных разделов, таких же, как и у первого автора и несколько дополнительных: теоремы о среднем, выпуклость графика функций, асимптоты, дробно-линейная функция, формула и ряд Тейлора, замена переменных, интегрирование по частям, приближенное вычисление определенного интеграла [11]. В учебнике А. Г. Мордковича подробно рассматриваются примеры исследования функции на монотонность с доказательством теорем, необходимые и достаточные условия экстремума, а так же предложен алгоритм исследования непрерывной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), включающий следующие пункты: 1) найти производную функции 𝑓 ׳ (𝑥); 2) найти стационарные и критические точки; 3) начертить числовую прямую с отмеченными стационарными и критическими точками и определить знак производной на получившихся промежутках; 4) опираясь на ранее изученные теоремы, сделать вывод о монотонности функции и о точках экстремума. В задачнике данный автор приводит большое количество упражнений для усвоения полученного материала, что дает возможности учителю, в зависимости от уровня знаний учащихся комбинировать задания и давать дополнительные индивидуальные номера отдельным обучающимся. С. М. Никольский предлагает начинать исследование функций постепенно, начиная с точек максимума и минимума и заканчивая построением графиков, но для отработки каждой темы дается небольшое количество заданий, что не дает учащимся подробно разобраться в данной теме. При этом в конце раздела автор не приводит конкретного алгоритма для исследования функций. Сравнительный анализ позволил сделать вывод, что учебник А. Г. Мордковича предлагает теоретический материал на доступном уровне, обучающиеся самостоятельно могут прочитать материал, разобрать примеры, 18 предложенные в учебники и на основании полученных сведений решить необходимое им количество номеров из задачника. Задания расположены по возрастанию сложности, в связи с этим учитель может разграничивать домашнюю работу с учетом желаемой оценки и давать дополнительные задания наиболее успешным по математике школьникам. Среди учебников для изучения математики на базовом уровне можно выделить учебники А. Н. Колмогорова [4] и А. Г. Мерзляка [9]. Оба автора вводят понятие производной во II полугодии 10 класса. А. Н. Колмогоров вводит понятие производной после изучения темы «Приращение функции», А. Г. Мерзляк считает необходимым вначале изучить понятие придела, потом приращения и мгновенной скорости. В первом учебном пособии понятие производной рассматривается как разностное отношение ∆𝑓 ∆𝑥 при 𝑥 стремящемся к нулю. Объем теоретического материала превышает количество заданий по данной теме. Приведен достаточно подробный план для проведения исследования функции, включающий семь пунктов, рассмотрены примеры с таблицей и методическими указаниями. Базовый курс предполагает для изучения темы меньшее количество часов, чем в профильном, в связи с этим в данных учебных пособиях приведено небольшое число упражнений, которых недостаточно для подробного изучения данного раздела. Во втором учебнике автор рассматривает производную как предел приращения функции к соответствующему приращению аргумента. Для вычисления производной прописан определенный алгоритм поиска, состоящий из трех пунктов: 1) придав в точке 𝑥 0 аргументу приращение ∆𝑥, найти соответствующее приращение ∆𝑓 функции: ∆𝑓 = 𝑓(𝑥 0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ); 2) найти отношение ∆𝑓 ∆x ; 19 3) выяснить, к какому числу стремится отношение ∆𝑓 ∆x при ∆𝑥 → 0, то есть найти предел lim ∆𝑥→0 ∆𝑓 ∆x . Изложение теоретического материала в учебнике А. Г. Мерзляка [9] доступно для обучающихся, а практические задания представлены несколькими уровнями сложности. Сравнивая учебники А. Н. Колмогорова и А. Г. Мерзляка, отметим, что они обеспечивают базовую подготовку по разделу «Производная». Работая по обоим учебникам, необходимо спланировать работу так, чтобы найти возможность для увеличения практических заданий и закрепления материала, для формирования прочных знаний, умений и навыков. |