Математиканы оқытудың теориясы

ңарасты райы қ. Бүл түж ы ры м кез келген натурал сан үш ін 
ақ и қ ат. Теореманың ш арты А  (п саны ны ң циф рлары ны ң 
қосынды сы 9-ға бөлінеді), ңоры ты ндысы В  (я саны 9-ға 
бөлінеді).
Е нді ш арт пен ң о р ы ты н д ы н ы оры н дары м ен алмас- 
т ы р с а қ , б ер іл ген т ү ж ы р ы м ғ а к е р і т ү ж ы р ы м ал ам ы з: 
«Егер п саны 9-ға бөлінсе, онда осы санның циф рлары ны ң 
қосындысы 9-ға бөлінеді», яғни В  (п саны 9-ға бөлінеді) ,А  
(п саны ны ң циф рлары ны ң қосындысы 9-ға бөлінеді).
Берілген түж ы ры м ға кері түж ы ры м : «Егер п саны ның 
ц и ф р л ар ы н ы ң ңосы нды сы 9-ға бөлінбесе, онда санны ң 
өзі де 9-ға бөлінбейді», к е р і тү ж ы р ы м ға қарам а-ң арсы
түж ы ры м : «Егер п саны 9-ға бөлінбесе, онда осы санның 
циф рлары ны ң қосынды сы 9-ға бөлінбейді».
Мектеп курсындағы теоремалар көбінесе им пликативті
(егер 
онда ...... ) н ем есе т и я н а қ т ы тү р д е б ер іл ед і.
Қ үры лы м ы н (ш арты , қоры ты нды ж әне т.б.) көрсету үш ін 
теореманы и м п ли кати вті түрде берген тиімді. Ж оғарыда 
қар асты р ы лған м ы салдағы тү ж ы р ы м д ар и м п ли кати вті 
түрде берілген.
Сонымен ЛМ Т-дың оры ндалуы төмендегі пункттердін 
оры ндалуын көздейді:
• түж ы ры м дам аны ң формасын аны ңтау;
• қ а ж е т ж ағд ай д а тү ж ы р ы м д ы и м п л и к ати в ті түрге 
келтіру;
• т ео р ем ан ы ң қ ү р ы л ы м ы н ж а з у , я ғн и қ а р а п а й ы м
п ік ір лер д і ж ән е қү р ы л ы м д ы элем ен ттерін ің м азм үны н 
бөле отырып түсіндірме бөлігін, ш арты н, қорытынды ны
аж ы рату;
• түрін аны ңтау (қарапайы м немесе күрделі);
• берілген т ү ж ы р ы м г а к е р і, б ер іл ген т ү ж ы р ы м ға
қарам а-қарсы ж әне қарам а-ңарсы ға кері түж ы ры м дарды
беру (олардың ақи қатты ғы мен ж алғанды ғы н аны қтау).
2 
- м ы с а л. «С ы байлас б ү р ы ш тар д ы ң қосы нды сы
180°-ңа тең» теоремасына талдау ж асау ж әне а) берілген 
тео р ем аға к е р і; ә) б ер іл ген т е о р е м а ға қ а р а м а -қ а р с ы ;
б) керіге ңарам а-қарсы түж ы ры м дарды беру.
Теорема наңты түрде берілген.
а) 
Импликативті түрде берілген теореманың түжырымы: 
«Егер бүрыштар сыбайлас болса, онда олардың ңосындысы 
180°-қа тең». Пайым ж алпы түрде қабылданған, сондықтан
140

түж ы ры м ды наңты лайм ы з: «Егер кез келген екі бүрыш
сыбайлас болса, онда олардың қосынды сы 180°-қа тең » .
ә) Берілген түж ы ры м ға кері түж ы ры м : «Егер бүрыш- 
тарды ң ңосындысы 180°-қа тең болса, онда сыбайлас бо­
лады» . П айы м ж алпы түрде қабы лданған.
б) Берілген түж ы ры м ға қарам а-қарсы түж ы ры м : «Егер 
бүры ш тар сыбайлас болмаса, онда оларды ң қосы нды сы
180°-қа тең б о л м ай д ы » . П ай ы м ж а л п ы түрд е т е р іс к е
ш ы гаруға ж атады .
в) Қ ар ам а-ң ар сы т ү ж ы р ы м ға к ер і тү ж ы р ы м : «Егер 
бүры ш тарды ң қосындысы 180°-қа тең болмаса, онда сы ­
байлас болмайды ». П айы м ж ал п ы түрде қабы лданған.
М ектеп м атем ати ка курсы н д а тура ж эн е кері теоре- 
м а л а р д ы ң а р а ң а т ы н а с ы н б іл у , о ң у ш ы л а р д ы ң м ате- 
м атикалы ң үғы мдарды ң белгісі мен ңасиеттері, «қаж етті 
ш арты », «ж еткілікті ш арты », «қаж етті ж әне ж етк іл ік ті 
ш арттары », н үктелердің геом етри ялы қ орны т.б. мәсе- 
лелерді саналы түсінуіне м үм кіндік береді.
Тура теоремалардың не ақи қат, не ж алған болатындығы 
си яқты кері теоремалар да ақ и қ ат немесе ж алған болады. 
Кейде тура теорема дүрыс болганымен, оған кері теорема 
дүрыс болмауы мүмкін. М ысалы, ж огарыда қарастырылган 
мы салда берілгенге кері теорема әр у ақы тта ақ и қ ат бол­
майды, ңосындысы 180°-ңа тең бүры ш тар бар, біраң олар 
әруақы тта сыбайлас бола бермейді (6-сурет).
6-сурет
Тағы б ір мысал. «Егер төртбүрыш тіктөртбүры ш болса, 
онда оның диагональдары тең болады» — ақиңат түжырым. 
Б ерілген теорем ага к ер і теорема: «Егер төртбүры ш ты ң 
д и агон альдары өзара тең болса, онда ол тіктөртбүры ш
болады». Түж ырым тура емес, оган теңбүйірлі трапецияны 
мы салга келтіруге болады.
141

Егер тура ж эн е к е р і тео р ем ал ар а ң и қ а т болса, онда 
о л а р д ы ө за р а к е р і т е о р е м а л а р деп а т а й д ы . О лард ы ң
белгіленуі: В => А  < = > А => В.
М ектеп м а тем ати к а о ң у л ы қ т ар ы н д а тура ж эн е кері 
теоремалар түж ы ры м далы п , олар дәлелденгенімен өзара 
к е р і тео р ем ал ар д ы ң м ә н -м ағы н асы а ш ы л м ай ң ал ад ы . 
М атем атикада өзара кері теоремаларды ң м аңы зы ерекш е. 
М ысалы, «П араллелограмның диагональдары қиылы сады
ж ә н е қ и ы л ы с у н ү к т е с ін д е ң аң б ө л ін ед і» тео р ем асы н
а л а й ы қ . Б ү л тео р ем а д ү р ы с ж ә н е оны и м п л и к а т и в т і 
түрде қ а й т а тү ж ы р ы м д а у га болады : «Егер төртбүры ш
параллелограмм болса, онда оның диагональдары ңиылысу 
н ү к те с ін д е ң а қ б ө л ін ед і» . Е н ді м ы н ад ай заң д ы сү р ақ
туы ндайды : «Кез келген төртбүры ш ты ң диагональдары
қи ы л ы сы п ж әне қ и ы л ы су нүктесінде ң ақ бөлінсе, онда 
ол тек қ а н а п ар ал л ел о гр ам м бола м а ? ». Б үл сүраң ты ң
ж ауабы «Егер төртбүры ш ты ң диагональдары қиы лы сы п 
ж ән е қ и ы л ы с у н ү к тесін д е ң а қ бөлінсе, онда бүл төрт- 
бүры ш п араллелограм м болады» деген кері теореманың 
дүры сты ғы н дәлелдеумен бірдей. Кері теореманы дәлелдеу 
диагональдары қиы лы сы п ж әне ки ы лы су нүктесінде ңақ 
бөлінетін төртбүры ш ты ң ңарам а-ңарсы ңабы ргалары ны ң 
п а р ал л е л ь ек ен д ігін көрсетум ен бірдей болғанды ңтан, 
төртбүры ш ты ң параллелограмм екені дәлелденеді. Демек, 
ж огары да қойылган сүраңңа бірмәнді «Егер төртбүрыштың 
диагональдары бір нүктеде қиылы сып, ңиылысу нүктесінде 
ңақ бөлінсе, онда ол параллелограм м ган а болады» деген 
ж ауап алы нады .
П ар ал л ел о гр ам м ү ғы м ы , әдетте, төртбүры ш тарды ң
іш ін д е г і « қ а р а м а -ң а р с ы қ а б ы р г а л а р ы қ о с-қ о стан п а ­
раллель» деген сипатты ң қ аси еті (ан ы ң там ан ы ң ңүры- 
л ы м д ы қ к о м п о н е н ті) б о й ы н ш а а н ы ң т а л а д ы . Төртбү- 
р ы ш ты ң осы си п атты қ қ аси еті параллелограм ды басңа 
т ө р тб ү р ы ш та р д а н а ж ы р а т а т ы н ер ек ш е бел гісі болып 
табы лады . П араллелограм м үғы мы н төртбүрыш тар жиы- 
н ы н ан бөліп а л у га болаты н п а р а л л е л о гр а м н ы ң басңа 
белгілері бар. Ж о гар ы д а тү ж ы р ы м д ал ган кері теорема 
п араллелограм ны ң белгісі, ал «П араллелограмның диаго­
н а л ь д а р ы қ и ы л ы с а д ы ж ә н е қ и ы л ы с у н ү к тес ін д е ңаң 
бөлінеді» теоремасы параллелограм ны ң ңасиеті болады.
142

М атем ати к ан ы о қ ы ту б ар ы сы н д а ө зар а к е р і теоре- 
м а л а р д ы ң қ а й с ы с ы п а р а л л е л о г р а м н ы ң қ а с и е т ін , ал 
қай сы сы ү ғы м ы н беретінін ай ы р а білуге о қ у ш ы л ар д ы
үйрету өте м аңы зды .
Ол оқы ту процесінде оқуш ы лард ы өзара к ер і теоре- 
маларды ң м ағы насы н аш у ж әне төменде келтірілген іс- 
әрекеттерді үйы мдастыруды ңаж ет етеді:
• теореманың ш арты мен қоры ты нды сы н аж ы рата алу, 
қаж ет ж ағдайда нақты дан ш артты түрге көш у;
• берілген теоремаға кері теореманы түж ы ры м дау;
• кері теореманы ң ақи қатты ғы н дәлелдеу;
• теорема ү ғы м ы н ы ң белгісі мен ү ғы м н ы ң қ аси етін
аньщ тау;
• тура ж әне кері теоремаларды есептер ш ы ғару кезінде 
қолдану.
Ж ал п ы теоремамен ж үм ы с істеу төмендегідей кезең- 
дерден түрады:

жүктеу/скачать 5.94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: