Печатается по решению Редакционно-издательского совета

173
Однако это требование порой игнорируется даже авторами учебников, 
когда они без всяких оговорок называют определениями предложения, 
содержащие такие обороты, как «достаточно близкие», «достаточно боль-
шие», «точка описывает», «отрезок заполняет тело».
Многие учащиеся общеобразовательных школ и первокурсники за-
трудняются в построении определений через род и видовое отличие. Ло-
гическая форма таких определений четко выражена, вполне доступна 
учащимся средней школы. Однако, как правило, при введении новых по-
нятий родо-видовые отношения отрабатываются слабо. Приведем пример.
Учащимся дано задание, в котором среди фигур на плоскости требуется 
найти прямоугольники. Лишь отдельные ученики относили квадраты 
к прямоугольникам. При индивидуальном опросе учащихся эксперимен-
татор, указывая на квадрат, задавал вопрос: «А это не прямоугольник?» 
Многие учащиеся отвечали: «Нет, не прямоугольник, а квадрат». А ведь 
это должно быть отработано еще в начальных классах.
С целью выявления понимания учащимися родо-видовых отношений 
при определении понятий им предлагались два варианта определения од-
ного и того же понятия «квадрат»: «Квадратом называется ромб с прямым 
углом», «Квадратом называется параллелограмм с равными сторонами 
и прямым углом». (Учащимся предлагалось выявить основные свойства, 
на которых основаны эти определения.)
Сравнивая вышеприведенные определения квадрата, только 24 % 
опрошенных учащихся и 35 % первокурсников указали, что во втором 
определении используются два признака «равные стороны» и «прямой 
угол». Небольшая беседа с учащимися, в которой упоминалось, что наи-
более простое определение содержит и наиболее простое характеристи-
ческое свойство, т. е. видовое отличие, позволяла им быстро усваивать 
особенности построения определений понятий.
Усвоение учащимися родо-видовых отношений при построении по-
нятий служит хорошей предпосылкой для реализации не только специ-
альных, но и общих целей обучения и развития.
При определении понятий значительная часть учащихся допускала не-
точность. Так, формулируя определения хорошо известных старшекласс-
никам понятий «середина отрезка», «сумма двух функций», «усеченная 
пирамида», около трети из них забыли указать, что точка (определяемая 
как середина) должна принадлежать отрезку. Неверно определили сумму 
двух функций почти все учащиеся («это функция, имеющая свойства сла-
гаемых функций», «это объединение графиков двух функций»), а также 
четность и нечетность функции. Так, большинство опрошенных забыли 
указать, что функция должна быть определена на симметричном мно-
жестве. (Более детальный анализ неточностей в определении понятий 
школьниками приведен в нашей предыдущей работе.)

174
Остановимся еще на одном моменте, связанном с изучением определений 
в школе. В учебном пособии по геометрии для X–XI классов (изд. 1991 г.) 
сразу после определения скрещивающихся прямых, а также призмы гово-
рится: «Докажем существование скрещивающихся прямых (призмы)». Как 
выяснилось во время бесед, учащиеся не понимают, почему при наличии 
определения требуется доказать существование рассмотренного понятия. 
Вопрос этот довольно деликатный (ведь таким определениям предшествуют 
примеры из окружающей действительности), но чтобы школьники в какой-
то мере согласились с необходимостью доказательств, им следует предложить 
примеры противоречивых определений (в условиях школьной математики). 
Например, «Четырехугольник называется тупоугольником, если у него один 
из углов тупой, а остальные не острые», «Призма называется совершенной, 
если число всех ребер в два раза больше числа ее боковых граней».
На основе анализа таких определений учащиеся убеждаются в необходи-
мости доказательства существования определяемых понятий.
Для того чтобы определить какое-то понятие, надо указать на его место 
в ряду других, выяснить его связи, зависимость от других понятий. Эта 
работа, несомненно, способствует более глубокому пониманию изучаемых 
объектов, фактов, явлений.
Кроме того, учащимся следует предлагать упражнения на разграничение 
определений и пояснительных описаний, знакомить их с принципами фор-
мирования определений.
Большие возможности для установления взаимосвязей понятий, про-
слеживания развития определенных понятий в их иерархических зависи-
мостях появляются при повторении учебного материала. Обобщающее 
повторение на уровне системы должно быть также направлено на выяв-
ление свойств группы понятий и их распространение на другие понятия 
(при этом на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий). 
Сначала следует выделить отношения, устанавливающие связи между 
элементами одного и того же класса математических объектов, затем от-
ношения, устанавливающие связи между элементами различных классов.
Для придания знаниям связности и системности полезно представлять 
изучаемые понятия в виде классификационных схем, сводных таблиц. 
В схемах и таблицах не только выделяются элементы знаний, но и отража-
ются отношения между ними. Учащимся в этом случае легко проследить за 
развитием узловых понятий, увидеть, в какие отношения вступает каждое 
из них с остальными. Схемы выступают как модели структуры материала, 
как средства его лучшего отражения в сознании ученика. Они помогают 
школьникам создать целостное представление об усвоенной теме.
К составлению таблиц и схем учащихся следует подготавливать по-
степенно. На первом этапе учитель демонстрирует готовые схемы и таб-

175
лицы. После уяснения основного назначения и существенных правил их 
составления учащимся предлагают заполнить схемы или таблицы. Этап 
самостоятельного составления таблиц можно считать завершенным.
Примеры схем, которые можно использовать при обобщении и повто-
рении курса математики на уровне системы понятий, приведены в нашей 
работе, как и краткие методические рекомендации для учителя.
Сознательному усвоению учебного материала способствует состав-
ление «родословной» понятий, т. е. построение логического дерева про-
исхождения понятий, целей их введения, роли и места в данной теме, 
учебном предмете, установление межпредметных связей.
Анализ результатов вступительных экзаменов, бесед с выпускниками 
средних общеобразовательных школ показывает, что такие весьма важ-
ные математические понятия, как теорема, необходимое и достаточное 
условие усвоены ими весьма посредственно. Для выяснения наличия 
у учащихся средней школы и первокурсников вузов знаний о теореме, 
мы провели анкетирование. Учащимся X–XI классов и студентам первых 
курсов были предложены следующие вопросы:
1. Что такое теорема? Какие виды теорем Вы знаете?
2. Из каких частей состоит любая теорема?
3. Какая теорема называется обратной данной?
4. Прочитайте теорему Виета. Постройте теорему, обратную ей.
На первый вопрос «Из каких частей состоит теорема?» 92 % школь-
ников и 87 % первокурсников дали либо неверные ответы, либо вообще 
не ответили. Были ответы типа: «Теорема состоит из того, что требуется 
доказать, и доказательства», «Основное в теореме – это доказательство». 
Учащиеся не могли назвать типичную конструкцию теоремы «если..., 
то...». Теорему Виета большинство учащихся приводили в такой форму-
лировке: «Сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффи-
циенту, деленному на первый, и второму со знаком минус, а произведение 
корней равно свободному члену, деленному на первый». Большинство 
учащихся затруднялись в построении, теоремы обратной для теоремы 
Виета. Последующее объяснение структуры теоремы, отработка конструк-
ции теоремы в форме «если..., то...» позволили учащимся сформулировать 
теорему Виета в следующей редакции:
«Если х
1
и х
2
– корни квадратного уравнения ax
2
+ bx + с = 0, то 

жүктеу/скачать 1.97 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: