Пәнінен оқыту-әдістемелік кешені

Мұндағы

Дәріс жоспары:

1. 
   Тура жол алгоритмі
   
2. 
   Кері жол алгоритмі
   

1. 
   Гаусс әдісі.
   

(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.

Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:

1. 
   тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.
   
2. 
   кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.
   

Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.

мұндағы , (2.1.3)

(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х₁ белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-ші теңдеуді а₂₁, а₃₁, ..., а_n1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып a_ij¹ деп белгілейміз:

(2.1.4)

Сонда келесідей жүйе аламыз:

Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а₂₂¹ элементіне бөліп, теңдеу аламыз:

мұндағы , (2.1.7)

х₁ белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х₂ белгісізін (2.1.5) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:

(2.1.8)

мұндағы

(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп

теңдеу аламыз. Мұндағы , (2.1.11)

(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х₃ белгісізін жоямыз.

Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:

(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы x_n-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.

Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.

1. 
   (2.2.1) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
   
2. 
   элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
   

3. 
   Барлық мәндері үшін (2.2.2)
   

4. 
   Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол
   

Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге

айналады.

5. 
   q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М₁ матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
   
6. 
   М₁ матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М₂ матрицасын аламыз.
   
7. 
   Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.
   
8. 
   Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.
   

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.

сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды. Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.

Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.
6-шы дәріс: Квадрат түбір тәсілі.
Квадрат түбірлер әдісі.

(2.3.1)

Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.

A=S^*DS (2.3.2)

мұндағы S^*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица .

SS^*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.

ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:

Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:

Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:

Дәріс жоспары:

1. 
   Ортогонализация тәсілі
   
2. 
   Түрлендіру негіздері
   

Бұл тәсіл бірнеше түрлендірулер арқылы берілген жүйені ортогональ теңдеулер жүйесіне келтіруге мүмкіндік береді.

Бұл жүйе матрицасының жолдары келесі шартты қанағаттандырады:

Түрлендірулер келесі формулалармен жүргізіледі.

Мұндағы

Мұнан соң x₁,x₂ ,…,x_n белгісіздер келесі формуламен есептеледі:

8-ші дәріс: Жай итерация тәсілі. Зейдель тәсілі.

Дәріс жоспары:

1. 
   Қарапайым итерация әдісі.
   
2. 
   Зейдель тәсілі.
   

(1)- жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,

немесе қысқаша жазсақ:

(1.1.) – жүйенің оң жағы n - өлшемді векторлық кеңістікте x(x₁,x₂,…,x_n) нүктесін осы кеңістіктің y(y₁,y_2,…,y_n) нүктесіне айналдыратын бейнелеу болып табылады:

(1.2.)

(1.1.) – жүйені қолданып, бастапқы нүктені таңдап алып n - өлшемді векторлық кеңістікте нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:

(1.3.) – итерациялық тізбек жинақты болса, оның шегі (1.1.) итерациялық жүйенің шешімі болады. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін функционалдық анализдің кейбір ұғымдары керек:

1. 
   – жүйе (1.1.) – итерациялық түрге келтірілсін. Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын еді. Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x₁, x₂, … , x_n деп, ал есептелетін келесі жуықтауларды y₁, y₂, … , y_n деп белгілейік. Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:
   

Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің әр қадамында y_i-дің мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y₁, y₂, … , y_i-1 мәндері қолданылады да (2.1.)– ді ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:

(2.2.)– итерациялық процесінің жинақтылығы үш метрикалық кеңістікте мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:

1. кеңістікте шарты (2.3.)

2. кеңістікте шарты (2.4.)

3. кеңістікте шарты. (2.5.)

Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, (2.2.)– итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.

Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген матрицаға көбейтеді:

А^Т*А*х=A^T*b (2.6.)

Белгілеулер енгіземіз:

A^T*A=C

A^T*b=D

Сонда

(2.7.) – жүйені қалыпты жүйе деп атайды. Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды элементтері нөлден өзгеше болады. Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып (2.2.)– итерациялық жүйеге келтіруге болады.

(2.7.) – қалыпты жүйеге эквивалентті (2.2.)– келтірілген итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің жалғыз шешіміне кез келген бастапқы жуықтауларда жинақталады.

Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс , i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады.

Дәріс жоспары:

1. 
   Сызықты емес теңдеулер түрі
   
2. 
   Сызықты емес теңдеуді сандық шешу тәсілдері.
   
3. 
   Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің тәсілдері.
   
4. 
   Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі
   

Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер» болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.

Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:

1. 
   алгебралық
   
2. 
   трансцендентті.
   

Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.

Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.

1. Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.

2. Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару.

Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.

Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.

1.Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады.

2.Хорда әдісі.

3. Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі

4. Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.

Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі

F(x)=0 (1.1)

Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.
Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a)*f(b)<0, онда осы аралықта (1.1)-теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.

Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.

Дәріс жоспары:

1. 
   Теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі .
   
2. 
   Жай итерация әдісі
   

(1.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі қадамнан тұрады.

1. 
   (1.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу
   
2. 
   Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін
   

формуласымен анықтау.

3. 
   X_n+1-X_n
4. 
   X_ОРТ нүктесіндегі функция мәнін F(X_ОРТ) есептеу.
   
5. 
   Егер оның таңбасы F(X_n) функциясының таңбасымен бірдей болса, X_n нүктесінің орнына X_ОРТ нүктесін қарастырамыз.
   
6. 
   Ал егер F(X_ОРТ) функциясының таңбасы F(X_n+1) функциясының таңбасымен бірдей болса, X_n+1 нүктесінің орнына Х_ОРТ нүктесін қарастырамыз.
   
7. 
   Шыққан аралықтар [X_n,, Х_орт] U [X_орт, X_n+1] белгіленеді.және алдыңғы шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі: F(X_n+1)*F(X_орт)<0 шарты орындалса [X_орт,X_n+1] аралығы қаққа бөлінеді де шыққан нүкте мәні, X_ОРТ2=X_ОРТ+ X _n+1/2 формуласымен есептеледі. F(X_n)*F(Х_ОРТ)<0 шарты орындалса [X_n, X_орт] аралығы қаққа бөлініп, табылған нүкте X_ОРТ2=X_ОРТ+ X _n/2 формуласымен есептеледі.
   
8. 
   Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып, X_ОРТ, X_ОРТ2, X_ОРТ3, …, X_ОРТN тізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын уақытта X_ОРТN - X_ОРТN-1 ОРТ_N нүктесін (1.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.
   

Бұл әдісті қолдану үшін (1.1)-ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып мына түрге келтіру керек:

Сосын теңдеудің түбіріне кез келген Х₀ бастапқы жуықтау беріп k=1,2,… формуласымен х₁, х₂,…,х_n нүктелер тізбегін құрамыз. Бұл тізбек x=z түбіріне жинақталуы керек. Егер limX_k=z болса, онда z нүктесі теңдеуінің түбірі бола алады. Итерация әдісінің жинақтылық шарты және бастапқы жуықтау кез келген болады. Итерациялық процесс берілген дәлдікке жетуі үшін шарты орындалуы керек.

Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де тексерілуі керек:
Теорема1.2.:

теңдеуінің [a,b] аралығында жалғыз түбірі бар және келесі шарттар орындалсын:

1) функциясы [a,b] аралығында анықталған және дифференциалданады;

2) үшін ;

3) барлық үшін болатындай q саны табылсын,

онда , (k=1,2,…) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы жуықтауда жинақталады.
11-ші дәріс: Хорда әдісі .Ньютон әдісі.

Дәріс жоспары:

1. 
   Хорда әдісі. Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақтылығы.
   
2. 
   Ньютон әдісі.Алгоритмі
   
3. 
   Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы.
   

Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.

Алгоритмі:

1. 
   х_n , x_n+1 аралығында f (x) және f (x_n+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.
   
2. 
   Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз.
   

3. 
   х^* нүктесіндегі функция мәнін F(x^*)-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (x_n) және f(x^*) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы x_n+1 және x^* нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (1.4) формуламен табады. Егер f(x_n+1) мен f(x^*) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы x_n және x^* нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (1.4) формуламен есептелінеді.
   
4. 
   x^* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x^* нүктесі (1.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.
   

Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік:

Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек:. Мұндағы М₂ – функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m₁- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз.

12-ші дәріс: Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері. Ньютон әдісі

Дәріс жоспары:

1. 
   Ньютон әдісі
   
2. 
   Әдістің мақсаты, ерекшелігі.
   

Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.5)

Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін анықтау.

Ньютон әдісі

Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x₀, y₀) таңдап аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:

Мұндағы якобиан деп аталады.

Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.

13-ші дәріс: Қарапайым итерация әдісі Жүйені итерациялық түрге келтіру

Дәріс жоспары:

1. 
   Қарапайым итерация әдісі. Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру.
   
2. 
   Жүйені итерациялық түрге келтіру тәсілдерді
   

(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық түрге келтіріп алады: (1.6.)

Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:

n=0,1,2,... (1.7.)

Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.

жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: . Егер:

1) және функциялары облысында анықталған және үзіліссіз болса,

2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса,

3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса:

(1.8)

онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни , .

n=0,1,2,... (1.9)

(1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі тәсілдерді қолданған дұрыс.

Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз:

Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап етуге болады.

Дәріс жоспары:

1. 
   Функцияны интерполяциялау
   
2. 
   F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрде қарастыру
   

Функцияны интерполяциялау