Пәнінен оқыту-әдістемелік кешені

F(x) функциясының белгілі мәндері келесі таблицаны құрсын.

Әдетте функцияның аналитикалық өрнегі берілсе, онда х-тің орнына мәнін қойып функция мәнін есептей салуға болатын. Кей жағдайда функцияның аналитикалық өрнегі мүлде белгісіз болуы немесе есептеуге көп уақытты қажет етуі мүмкін. Осындай жағдайларда берілген таблица бойынша f функциясына жуық F жуықтаушы функцияны құрады:

f(x)=F(x) (2)

Құрылған жуықтаушы функция келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

F(x₀)=y₀, F(x₁)=y₁, F(x₂)=y₂, …. , F(x_n)=y_n (3)

Мұндай есепті функцияны интерполяциялау есебі деп атайды. Ал х₀, x₁, x₂, … , x_n нүктелерін – интерполяциялау тораптары немесе түйіндері деп атайды.

F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрінде іздейді: Лагранж, Ньютон, Гаусс, Бессель, Стирлинг, т.б.

Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтықтары тұрақты емес болса, Лагранждың көпмүшелігі, тұрақты болса – Ньютоннның көпмүшеліктері қолданылады.

1. 
   Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі.
   

Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, x_j=at_j+b j=0,1,…,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (1)-формула келесі түрге келеді:

15-ші дәріс: Ньютоннның интерполяциялық формулалары

Дәріс жоспары:

Ньютоннның интерполяциялық формулалары.Бұл формулалардың екіге бөлінуі.

Шектік айырымдар таблицасы.

. Ньютоннның интерполяциялық формулалары.

Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:

1. 
   Алдыға қарай интерполяциялау
   
2. 
   Кері интерполяциялау
   

Мұндағы

Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның соңғы жағянда жатса, 2-формула қолданылады:

(2)

X			y
X0	Y0
X1	Y1
X2	Y2
X3	Y3
X4	Y4
X5	Y5

Қателіктерін бағалау:

1-формула үшін мына формула қолданылады:

,

немесе

2-формула үшін мына формула қолданылады:

,

3. Машықтану және зертханалық сабақтар:

Тапсырмалар

1. Берілген теңдеулердің түбір жатқан аралығын тауып, жоғарыда келтірілген сандық әдістермен түбірлерін анықтау. Әр түрлі әдіспен анықталған түбірлерді бір бірімен салыстырып қателіктерін көрсету. Дәлдікті өздеріңіз таңдап алыңыздар.

№		Теңдеулер
1
2	xsin(x)-1=0
3	8cos(x)-x=6
4	Sin(x)-0,2x=0
5	10cos(x)-0,1x2
6	2lg(x+7)-5sin(x)=0
7	4cos(x)+0,3x=0
8	5sin(2x)=
9	1.2x4+2x3-24.1=13x2+14.2x
10	2x2-5=2x

№		Жүйелер	Қосымша шарт
1			x>0, y>0, , k=0.1*m, m=0,1,2,3,4.
2			x>0, y>0, , k=0.6+0.1*m, m=0,1,2,3,4.

2. Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер, Зейдель, қарапайым итерация әдістерін қолданып төмендегі жүйелерді шешу.

1.

№2 №3

№ 4 №5

2.f(x) функциясының мәндері таблицамен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.

3. 
   1.50911; b) 1.50820; c) 1.50253; d) 1.50192; e) 1.59513; f) 1.59575; i) 1.59614; j) 1.59728.
   

4. 
   1.113; b) 1.219; c) 1.321; d) 1.428; e) 1.9592; f) 1.9675; i) 1.9728; j) 1.9819.
   

5. 
   0.01928; b) 0.01392; c) 0.02713; d) 0.47113; e) 0.47531; f) 0.48398; k) 0.48675
   

1. Қателіктер теориясы

х₁=2,1370,011 және х₂=2,0730,011 сандар айырымының қателіктерін табу керек.

Шешуі. Шарт бойынша

Демек,

яғни айырымның шектік салыстырмалы қателігі өте үлкен шама екенін байқаймыз.

Демек,

Тапсырмалар

1. Берілген теңдеулердің түбір жатқан аралығын тауып, жоғарыда келтірілген сандық әдістермен түбірлерін анықтау. Әр түрлі әдіспен анықталған түбірлерді бір бірімен салыстырып қателіктерін көрсету. Дәлдікті өздеріңіз таңдап алыңыздар.

№		Теңдеулер	түсіндірме
1	(0,2x)3=cos(x)
2	x-10sin(x)=0
3	2-x=sin(x)		X<10
4	2x-2cos(x)=0		x>-10
5	Lg(x+5)=cos(x)		X<5

1.1. Берілген сызықты емес теңдеулер жүйелерінің түбірлерін Ньютон, Зейдель, қарапайым итерация әдістерімен анықтау.

№		Жүйелер	Қосымша шарт
1
2			Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген облыстағы түбірлерін табу.
3			Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген облыстағы түбірлерін табу.
4			Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген облыстағы түбірлерін табу.
5			Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген облыстағы түбірлерін табу.

2. Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер, Зейдель, қарапайым итерация әдістерін қолданып төмендегі жүйелерді шешу.
№1 №2

№3 №4

№5

a) 1,52 b) 1,55 c) 1,58 d) 1,61 e) 1,67.

1. 
   Функцияның мәндер таблицасы берілген:
   

a) 2,22 b) 2,41 c) 2,78 d) 3,34 e) 3,75, f) 3,88.

3. sin(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=/12 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

4. Cos(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=/5 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

5. y=e^x функциясының мәндері таблицамен берілген. Сызықты интерполяциялау формуласын қолданып функцияның берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.

X		0.50	0.51	0.52	0.53	0.54	0.55	0.56	0.57	0.58	0.59	0.60
ex	1.6487		1.6653	1.6820	1.6989	1.7160	1.7333	1.7507	1.7683	1.7860	1.8040	1.8221

6. 
   0,507; b) 0,512; c) 0,523; d) 0,535; e) 0,541;
   
7. 
   f) 0,556; i) 0,568; j) 0,571; k) 0,589; l) 0,594.
   

4.1.Өздік жұмысты ұйымдастыру бойынша әдістемелік нұсқаулар: студенттің өздік жұмысы (СӨЖ) реферат түрінде орындалады және студенттердің өздік жұмысын қойлатын талаптарға сәйкес тапсырылады.

Өздік жұмысты бақылау келесі формада өтуі мүмкін:

– жасалған жұмысты көрсету;

– өздік меңгерген тақырып бойынша баяндама;

– аудиториялық сабақтарды немесе ОБСӨЖ-де ауызша сұрау;

– жазбаша орындалған тапсырмаларды қорғау.

Өздік жұмысының нәтижелерін тапсырмаған студент қорытынды аттестацияға жіберілмейді.

Өз бетімен меңгерген материал оқытушумен бірге меңгерілген материалмен қоса қорытынды бақылауға шығарылады.
1. CӨЖ сұрақтары:

1. 
   Бір өлшемді сызықты емес теңдеулерді шешудің сандық әдістері.
   
2. 
   Кесіндіні қақ бөлу әдісі. Жинақтылығы.
   
3. 
   Итерация әдісі. Жинақтылығы.
   
4. 
   Сызықты емес теңдеулерді итерациялық түрге келтіру.
   
5. 
   Сызықты емес теңдеулерді шешудің хорда және қиюшылар әдістері.
   
6. 
   Жанамалар әдісі. Жинақтылығы.
   
7. 
   Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің (САТЖ) шешімінің бар және жалғыздығы.
   
8. 
   САТЖ шешімінің жалғыздығының теоремалары.
   
9. 
   САТЖ шешімінің бар болу теоремалары
   
10. 
    САТЖны шешудің тура немесе дәл әдістері
    
11. 
    САТЖны шешудің итерациялық әдістері.
    
12. 
    САТЖны итерациялық шешу әдістерінің жинақтылығы.
    
13. 
    САТЖне итерациялық түрге келтіру.
    

$$$1.

1. 
   санның сол жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлге тең барлық цифрлары
   
2. 
   санның сол жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлден өзгеше барлық цифрлары
   
3. 
   санның оң жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлден өзгеше барлық цифрлары
   
4. 
   санның оң жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлге тең барлық цифрлары
   
5. 
   санның оң жақтағы екінші цифрынан бастағандағы нөлге тең барлық цифрлары
   

Х=2,36029 санының неше цифры мәнді?

1. 
   барлық цифрлары күмәнді
   
2. 
   5 цифры мәнді
   
3. 
   Барлық цифрлары мәнді
   
4. 
   1 цифры мәнді
   
5. 
   4 цифры мәнді
   

Санның мәнді цифры қалай аталады?

1. 
   дұрыс цифр
   
2. 
   дұрыс емес цифр
   
3. 
   күмәнді цифр
   
4. 
   нөлдік цифр
   
5. 
   бірлік цифр
   

А=0,155 жуық санының абсолютті қателігін анықта. Санның дәл мәні а=0,1545.

А=0,155 жуық санының салыстырмалы қателігін анықта. Санның дәл мәні а=0,1545.

1. 
   0,3*10
   
2. 
   0,32*10
   
3. 
   0,5*10
   
4. 
   0,1*10
   
5. 
   1
   

$$$6.

1. 
   қосылғыштардың салыстырмалы қателігінің қосындысына
   
2. 
   қосындының салыстырмалы қателігінің қосындысына
   
3. 
   осы сандардың абсолютті қателіктерінің қосындысына
   
4. 
   қосылғыштардың қосындысына
   
5. 
   санның дұрыс цифрларының қосындысына
   

Жуық сандардың алгебралық қосындысының абсолютті қателігін анықтайтын формуланың дұрысын тап

A.

B.

C.

D.

E.

$$$8.

1. 
   2.2748
   
2. 
   2.27475
   
3. 
   2.275
   
4. 
   2.27
   
5. 
   2.3
   

$$$12.

1. 
   жүйені итерациялық түрге келтіру
   
2. 
   жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру
   
3. 
   жүйенің матрицасын симметриялық түрге келтіру
   
4. 
   жүйені біртіндеп жуықтап шешу
   
5. 
   белгілілерді жою
   

Гаусс әдісі қай әдіс түріне жатады?

1. 
   біртіндеп жуықтау әдісіне
   
2. 
   итерациялық әдіске
   
3. 
   тура немесе дәл әдіске
   
4. 
   дәл емес әдіске
   
5. 
   анықталмаған әдіске
   

Ах=b жүйесінің шешімі жалғыз болады, егер матрица...

1. 
   үш диагональды болса
   
2. 
   симметриялы болса
   
3. 
   квадрат емес болса
   
4. 
   ерекше емес болса
   
5. 
   ерекше болса
   

Сызықты алгебралық жүйенің шешімі дегеніміз –

1. 
   жүйенің барлық теңдіктерін дұрыс теңдікке айналдыратын реттелген сандар тізбегі
   
2. 
   жүйенің тек қана бір теңдеуін дұрыс теңдікке айналдыратын реттелген сандар тізбегі
   
3. 
   жүйенің барлық теңдіктерін теңсіздікке айналдыратын реттелген сандар тізбегі
   
4. 
   анықталған функция
   
5. 
   анықталмаған функция
   

Гаусс әдісінің тура жолында ...

1. 
   жүйенің шешімдері табылады
   
2. 
   жүйенің матрицасы үшбұрышты түрге келтіріледі
   
3. 
   жүйенің матрицасы транспонирленеді
   
4. 
   біртіндеп жуықтаулар орындалады
   
5. 
   жуық шешімдер табылады
   

Гаусс әдісінің кері жолында …

1. 
   жүйенің шешімдері табылады
   
2. 
   жүйенің матрицасы үшбұрышты түрге келтіріледі
   
3. 
   жүйенің матрицасы транспонирленеді
   
4. 
   біртіндеп жуықтаулар орындалады
   
5. 
   жуық шешімдер табылады
   

$$$18

1. 
   тура әдіс
   
2. 
   дәл әдіс
   
3. 
   итерациялық әдіс
   
4. 
   белгісіздерді біртіндеп жою әдісі
   
5. 
   кері әдіс
   

САТЖ-ны шешудің квадрат тұбірлер әдісі қандай жүйеге қолданылады?

1. 
   Диагональдық элементтері басым жүйеге
   
2. 
   Матрицасы квадрат емес жүйеге
   
3. 
   Сызықты емес теңдеулер жүйесіне
   
4. 
   Симметриялық матрицалы жүйеге
   
5. 
   Дифференциалдық теңдеулер жүйесіне
   

$$$20.

1. 
   Жүйе матрицасы нөлдермен толтырылады
   
2. 
   Жүйенің шешімдері табылады
   
3. 
   Жүйе матриасы бірлермен толтырылады
   
4. 
   Шешімге бастапқы жуықтаулар табылады
   
5. 
   Жүйенің матрицасы өзара транспонирленген екі үшбұрышты матрицалардың көбейтіндісіне жіктеледі
   

Квадрат түбірлер әдісінің кері жолында не орындалады?

1. 
   Жүйе матрицасы нөлдермен толтырылады
   
2. 
   Жүйенің шешімдері табылады
   
3. 
   Жүйе матриасы бірлермен толтырылады
   
4. 
   Шешімге бастапқы жуықтаулар табылады
   
5. 
   Жүйенің матрицасы өзара транспонирленген екі үшбұрышты матрицалардың көбейтіндісіне жіктеледі
   

Егер САТЖ-ның матрицасында диагональдық басымдылық бар болса қай әдіс қолданылады?

1. 
   Жордан – Гаусс
   
2. 
   Гаусс
   
3. 
   Қарапайым итерация
   
4. 
   Белгісіздерді біртіндеп жою
   
5. 
   релаксация
   

САТЖ-ның матрицасы симметриялы болса қай әдіс қолданылады?

1. 
   Жордан – Гаусс
   
2. 
   Гаусс
   
3. 
   Қарапайым итерация
   
4. 
   Белгісіздерді біртіндеп жою
   
5. 
   Зейдель
   

1. 
   сызықты
   
2. 
   дәл емес
   
3. 
   дәл
   
4. 
   итерациялық емес
   
5. 
   итерациялық
   

САТЖ-ны жуықтап шешу уақытында не белгілі болуы керек?

1. 
   Бьастапқы жуықтаулар
   
2. 
   Белгісіздердің ең соңғы мәндері
   
3. 
   Белгісіздер алдындағы коэффициенттер
   
4. 
   Бос мүшелер
   
5. 
   Барлық белгісіздердің мәндері
   

САТЖ-ны шешудің Зейдель әдісі қандай матрицалы жүйеге қолданылады?

1. 
   Матрица элементтері үшін , i=1,2,…n шарт орындалса
   
2. 
   Ерекше матрицалы
   
3. 
   Диагональды матрицалы
   
4. 
   Симметриялы элементті матрицалы
   
5. 
   А, B, D жауаптары дұрыс
   

САТЖ-ны шешудің қапарайым итерация әдісі қандай матрицалы жүйеге қолданылады?

1. 
   Матрица элементтері үшін , i=1,2,…n шарт орындалса
   
2. 
   Ерекше матрицалы
   
3. 
   Диагональды матрицалы
   
4. 
   Симметриялық матрицалы
   
5. 
   А, D жауаптары дұрыс
   

САТЖ-ның шешімі өзінің жалғыз шешіміне қай шарт орындалғанда жинақталады?

1. 
   >1, >1, >1
   
2. 
   <1, <1, <1
   
3. 
   <, <, <
   
4. 
   >, >, >
   
5. 
   <2, <2, <2
   

САТЖ-ны шешудің итерациялық процесін құруда бастапқы жуықтаулар ретінде не алынады?

1. 
   Белгісіздер алдындағы коэфициенттер
   
2. 
   Белгісіздерден құралған вектор
   
3. 
   Бос мүшелер
   
4. 
   Коэффициенттер квадраты
   
5. 
   Коэффициенттер кубы
   

Қай тұжырымдама дұрыс емес?

A. Қателік – функция мәндерін есептеуде жіберілетін қате

B. Қателік – сандарды мәнді цифрларын жоғалту арқылы дөңгелектеу

C. Қателік – нәтиженің дәлдігін бағалайтын шама

D. Қателік – ЭЕМ көмегімен есептеу уақытында жіберілетін қателіктер

E. Қателік – есептеудің дәл мәні

$$$ 31.

A. дұрыс цифрлардан

B. дөңгелектеу ережелері мен есепті сандық шешу алгоритмінен

C. берілген дәлдік дәрежесінен

D. қолданылатын алгоритм түрлерінен

E. Есеп коэффициенттерінен

$$$ 32.

Қосындының салыстырмалы қателігі

B.

C.

D.

E.

$$$ 33.

A.

B.

C.

D.

Е.

$$$34.

Көбейтіндінің абсолютті қателігі

B.

C.

D.

E.

$$$35.

A.

B.

C.

D.

E.

$$$36

Қателіктің қай түрі жоқ?

B. шеттетілмейтін қателік

C. абсолютті және салыстырмалы қателіктер

D. есептеу қателігі

E. туынды қателік

$$$37

A. сандардың абсолютті және салыстырмалы қателіктерінен

B. әртүрлі әсерлер принципінен

C. оң, дұрыс мәнді цифрлардан

D. таңдалынған алгоритмнің орнықтылығы мен орнықсыздығынан

E. нәтиженің теріс таңбасынан

Салыстырмалы қателік – бұл

A. шартын қанағаттандыратын шамасы

B. шартын қанағаттандыратын шамасы

C. шартын қанағаттандыратын шамасы

D. шартын қанағаттандыратын шамасы

E. шартын қанағаттандыратын шамасы

$$$39

A.

B.

C.

D.

E.

Бөлшектің абсолютті қателігі

A.

B.

C.

D.

E.

$$$45

A. Берілген есепті ЭЕМ-нен шығаруға ыңғайлы болатындай жуықтау және алмастыру

B. Берілген есепті ЭЕМ-нен шығаруға ыңғайлы болатындай аппроксимациялау және дискреттеу

C. Кез келген есепті шешуді САТЖ-ны шешуге келтіру

D. Жауабы А және В.

E. Классикалық формулалар көмегімен дәл нәтиже алу

$$$46

Сандық интегралдау есебін келесі жағдайда қолданады

1. 
   Интегралды аналитикалық түрде есептеу мүмкіндігі болмаса
   
2. 
   Интеграл астындағы функция таблицалық түрде берілсе
   

3. Интегралдың аналитикалық түрі жеткілікті дәрежеде күрделі болса

4. 
   Дұрыс жауап А, В және С
   
5. 
   Интеграл астындағы функция дифференциалданбайтын болса
   

Ньютонның I-ші интерполяциялық формуласы қолданылады:

1. 
   Егер х аргументі [х₀ х_n ] интерполяциялау аралығының бастапқы нүктесіне жақын жатса, және оны алдыға қарай интерполяциялау деп атайды.
   
2. 
   Егер х аргументі [х₀ х_n ] , интерполяциялау аралығының соңғы нүктесіне жақын орналасса, және оны кері интерполяциялау деп атайды.
   
3. 
   Егер х аргументінің мәні [х₀ х_n ] , интерполяциялау аралығында жатпаса.
   
4. 
   Жауабы В, С
   
5. 
   Егер интерполяциялау түйіндері бірдей қашықтықта орналаспаса
   

Бірінші ретті шекті айырым деп:

1. 
   Көршілес интерполяциялау түйіндердегі функция мәндерінің айырымын айтады.
   
2. 
   Көршілес интерполяциялау түйіндердегі функция мәндерінің шекті айырымдарының айырымы
   
3. 
   формуласымен есептелінетін шама, мұндағы y_i, y_i+1 функцияның x_i , i=0,1,2,… түйіндеріндегі мәндері
   
4. 
   Жауабы: А және С;
   
5. 
   формуласымен есептелінетін шама, мұндағы y_i, y_i+1 функцияның x_i , i=0,1,2,… түйіндеріндегі мәндері
   

$$$49

1. 
   Лагранж
   
2. 
   Ньютон
   
3. 
   Гаусс
   
4. 
   Стирлинг
   
5. 
   Эйткен
   

$$$62

A. Кесінді ұзындығы -ден кіші болғанға дейін

В. Кесінді ұзындығы -ден кіші болғанға дейін

C. Кесінді ұзындығы -ден артық болғанға дейін

D. Кесінді ұзындығы -ден кіші болғанға дейін

E. Кесінді ұзындығы -ден кіші болғанға дейін

$$$63

Сызықты емес теңдеудің түбірінің [a,b] аралығында бар екендігін қай шартпен тексереді?

B. егер шарты орындалса

C. егер шарты орындалса

D. егер шарты орындалса

E. егер шарты орындалса

$$$64

A. түбірдің мәнін дәл есептеп табу үшін

B. түбір жатқан аралықты анықтау үшін

C. интегралды есептеу үшін

D. функция таңбасын анықтау үшін

E. интегралдау аралығын анықтау үшін

$$$65

САТЖ- ны тура шешу әдістеріне тән қасиеттер

B. Жүйенің оң жағы және козффициенттері жуықтап берілген.

C. жүйенің белгісіздері дәл анықталып беріледі

D. жүйенің белгісіздері жуықтап беріледі

E. жүйенің матрицасы итерациялық түрге келтірілген болады

$$$66

1. 
   Белгісіздер алдындағы коэффиценттерден құралған матрицаны үшбұрышты түрге келтіріп, кері әдіспен белгісіздерді табу
   
2. 
   Белгісіздер алдындағы коэфф-ден құралған матрицаны екі үшбұрышты матрицалар көбейтіндісіне жіктер, екі системаны шешу арқылы белгісіздерді табу.
   
3. 
   Матрицада диагональды элементтердің басымдылығына жеткізіп, системаны итерациялық түрге келтіру және бастапқы жуықтаулар арқылы белгісіздерді табу
   
4. 
   Бастапқы жуықтауларды анықтау
   
5. 
   Итерация санын анықтау
   

Итерациялық әдістердің жинақталу шарттары мен жылдамдығы неден тәуелді ?

1. 
   Система матрицаның қасиеттерінен
   
2. 
   Бастапқы жуықтауларды таңдаудан
   
3. 
   Матрица нормасымен
   
4. 
   Дұрыс жауаптар A, B, C
   
5. 
   Коэффиценттердің мәндерінен
   

Зейдель әдісінің қарапайым итерация әдісінен айырмашылығы немен түсіндіріледі?

1. 
   Айырмашылығы итерациялық процестің әр қадамы бастапқы жуықтаулардан жаңа жуықтауларға көшу барысында алдыңғы жуықтауларды қолданудан тұратындығында
   
2. 
   Итерациялық процестің әр қадамы бастапқы жуықтау арқылы табылып қойған белгісіздерді қолданбай келесі жуықтауларды табуда
   
3. 
   Итерациялық Зейдель процесі өзінің жалғыз шешіміне кез-келген бастапқы жуықтауларда жинақталатынында
   
4. 
   Итерациялық Зейдель процесі өзінің жалғыз шешіміне кез-келген бастапқы жуықтауларда жинақталмайтындығында
   
5. 
   
   жүктеу/скачать 1.39 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: