Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна половине произведения периметра основания на высоту призмы.
Сначала докажем теорему для прямоугольной призмы, а затем –для произвольной прямой призмы.
Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA1B1C1 с объёмом V и высотой h.
Проведем такую высоту треугольника ABC (на рис. BD),которая разделяет этот треугольник на два треугольника.
Плоскость BB1D разделяет данную призму на 2 призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC.
Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны S ABD ·h и S BDC ·h. По свойству 2° объемов V=V1 +V2, т.е V=SABD ·h=(SABD+SBDC) · h.
Таким образом, V= SABC ·h.
Теорема для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S.
Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. На рис. изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы.
Выразим объем каждой прямоугольной призмы по формуле V= SABC ·h и сложим эти объемы. Мы вынесем за скобки общий множитель h, потом получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы.
Таким образом, объем исходной призмы равен произведению S · h.
Принцип Кавальери —Если любая плоскость, параллельная данной, пересекает два тела по фигурам равной площади, то объемы этих тел равны.
4)Решение задач.
1)Объем прямоугольного параллелепипеда равен 2520 см(в кубе),а площадь основания 168 см(в квадрате),и длина на 2 см больше ширины. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.
Итак что такое объем параллелепипеда? Vпар=Sосн*H, где H одно из наших ребер и их всего 4. Покажу на рисунке позже.
H=2520/168=15 см.
Итак мы нашли одно ребро. осталось остальные два, которые получаются их основания.
Sосн=a*b; где a,b - стороны основания параллелепипеда.
Известно что a=b+2
Значит верным будет:
b*(b+2)=168
b2+2b-168=0
Решение квадратных уравнений, быстро и просто.
Ответ: b1 = 12; b2 = -14 (не может быть так как отрицательное)
Отсюда b=12; a=12+2=14
Теперь рисунок.
Для наглядности, я специально обозначил ребра равные a красным цветом. Ребра b зеленым, а высота H осталась черным.
Получается что всего в параллелепипеде по 4 каждого ребра. То есть логично записать что сумма будет равна:
P=4*(a+b+H)=4*(12+14+15)=41*4=164
2)
Достарыңызбен бөлісу: |
