Подпространство, его базис и размерность



жүктеу 40.96 Kb.
Дата04.07.2016
өлшемі40.96 Kb.

Подпространство, его базис и размерность.

Пусть L – линейное пространство над полем P и A – подмножество из L. Если A само составляет линейное пространство над полем P относительно тех же операций, что и L, то A называют подпространством пространства L.

Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством надо проверить выполнимость в A операций:

1) : ;

2) : ;

и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая



Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и . Множество A тогда и только тогда является подпространством L, когда выполняются следующие требования:

1. : ;

2. : .

Утверждение. Если Ln-мерное линейное пространство и A его подпространство, то A также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n.

Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V2 множество S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат 0x или 0y?

Решение: Пусть , и , . Тогда . Следовательно, S не является подпространством .

Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного пространства V2 векторов-отрезков плоскости множество S всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой l этой плоскости?

Решение.

Если вектор умножить на действительное число k, то получим вектор , также принадлежащий S. Если и – два вектора из S, то (по правилу сложения векторов на прямой). Следовательно, S является подпространством .



Пример 3. Является ли линейным подпространством линейного пространства V2 множество A всех векторов плоскости, концы которых лежат на данной прямой l, (предположить, что начало любого вектора совпадает с началом координат)?

Решение.

В случае, когда прямая l не проходит через начало координат множество А линейным подпространством пространства V2 не является, т.к. .

В случае, когда прямая l проходит через начало координат, множество А является линейным подпространством пространства V2, т.к. и при умножении любого вектора на действительное число α из поля Р получим . Таким образом, требования линейного пространства для множества А выполнены.

Пример 4. Пусть дана система векторов из линейного пространства L над полем P. Доказать, что множество всевозможных линейных комбинаций с коэффициентами из P является подпространством L (это подпространство A называют подпространством, порожденным системой векторов или линейной оболочкой этой системы векторов, и обозначают так: или ).

Решение. Действительно, так как , то для любых элементов xyA имеем: , , где , . Тогда

Так как , то , поэтому .

Проверим выполнимость второго условия теоремы. Если x – любой вектор из A и t – любое число из P, то . Поскольку и ,, то , , поэтому . Таким образом, согласно теореме, множество A – подпространство линейного пространства L.

Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.



Теорема. Всякое подпространство А линейного пространства L над полем является линейной оболочкой некоторой системы векторов.

При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки используют следующую теорему.



Теорема. Базис линейной оболочки совпадает с базисом системы векторов . Размерность линейной оболочки совпадает с рангом системы векторов .

Пример 4. Найти базис и размерность подпространства линейного пространства Р3[x], если , , , .

Решение. Известно, что векторы и их координатные строки (столбцы) обладают одинаковыми свойствами (в отношении линейной зависимости). Составляем матрицу A= из координатных столбцов векторов в базисе .

Найдем ранг матрицы A.



. М3=. .

Следовательно, ранг r(A)=3. Итак, ранг системы векторов равен 3. Значит, размерность подпространства S равна 3, а его базис состоит из трех векторов (т.к. в базисный минор входят координаты только этих векторов).



Пример 5. Доказать, что множество H векторов арифметического пространства , у которых первая и последняя координаты равны 0, составляет линейное подпространство. Найти его базис и размерность.

Решение. Пусть .

Тогда , и . Следовательно, для любых . Если , , то . Таким образом, согласно теореме о линейном подпространстве, множество H является линейным подпространством пространства . Найдем базис H. Рассмотрим следующие векторы из H: , , . Эта система векторов линейно независима. Действительно, пусть .



Тогда



и .

Можно убедиться, что система линейно зависима при любом векторе x из H. Этим доказано, что максимальная линейно независимая система векторов подпространства H, т.е. – базис в H и dimH=n  2.


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет