Практикум составлен в соответствии с действующей программой курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и должен помочь более глубокому освоению материала. Он содержит 14 независимых лабораторных

• ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

где – суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J – момент инерции тела относительно той же оси; – угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

где – сила; – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

,

где l – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

а полный момент инерции тела

где dm = dV – масса элемента объема dV; r_i – расстояние до оси вращения;  – плотность вещества в элементе объема dV.

Таким образом, задача нахождения момента инерции тела относительно оси вращения сводится к интегрированию.

Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил , ни от углового ускорения.

Для расчетов моментов инерции относительно произвольной оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей, момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J_c относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу, и часто он определяется экспериментально с помощью основного уравнения динамики вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение:

,

где m – масса материальной точки; – ее скорость; – расстояние от точки до оси вращения.

Момент импульса материальной точки

L = mvr.

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси,

где J – момент инерции тела;  – угловая скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса в замкнутой системе формулируется следующим образом: суммарный момент импульса всех тел замкнутой системы остается постоянным .

Кинетическая энергия вращающегося тела

Здесь оси х, у и z проходят через центр масс перпендикулярно граням со сторонами bс, ас и аb соответственно.

Если тело имеет форму куба, то a = b = c и

.
В данной работе момент инерции определяется методом крутильных колебаний. Если тело, висящее на нерастяжимой нити (так, что направление нити проходит через центр тяжести тела), повернуть в горизонтальной плоскости на некоторый угол , то в результате деформации нити возникнет упругая сила. Она создаст крутящий момент (момент силы) (здесь D – модуль кручения нити подвеса), возвращающий систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные колебания.

Из теории крутильных колебаний следует, что период колебаний

где J – момент инерции.

Так как D неизвестен, для его исключения из формулы (1) следует провести измерения периода колебаний с телом, момент инерции которого относительно оси вращения или легко рассчитывается, или известен. Таким телом может быть, например, куб, момент инерции которого .

В экспериментальной установке предусмотрена рамка для закрепления различных тел, отличающихся массой и размерами.

Пусть J₀, J_р, и J – моменты инерции куба, рамки и параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании формулы (1) можно записать

(2)

где Т_р – период колебаний рамки; Т₀ – период колебаний рамки и куба; Т – период колебаний рамки и параллелепипеда.

Исключая из уравнений (2) D и J_р, получим

. (3)

Экспериментальная установка состоит из массивного основания со штативом. Кронштейны на штативе служат для закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка. На среднем кронштейне закреплена стальная плита, являющаяся основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и шкалы. Положение электромагнита относительно фотоэлектрического датчика указано стрелкой на шкале. Во время колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой поток, в результате чего в электронной схеме генерируются импульсы, которые после усиления подаются на электронный секундомер.

2. Нажатием кнопки «ПУСК» включить электромагнит, который должен удержать рамку прибора.

3. Нажать последовательно кнопки «СБРОС» и «ПУСК», измерить время t десяти колебаний пустой рамки; вычислить период колебания Т = t/N, где N – число колебаний.

4. Повторить измерения не менее 10 раз и вычислить среднее значение t.

5. Установить в рамку куб и повторить пп.2-3 не менее 10 раз.

6. Установить в рамку параллелепипед и повторить пп.2-3 не менее 10 раз (период колебаний параллелепипеда измерить для трех взаимно перпендикулярных осей).

7. Результаты измерений оформить в виде таблицы:
Номер опытаtT m_ma_a12…
8. Обработать результаты измерений. Вычислить момент инерции куба

где m – масса куба, m = 0,962 кг; а – длина ребра куба, а = 5,0 см.

Зная средние значения периодов, по формуле (3) рассчитать , и .

Вычислить средние квадратические ошибки для всех измеренных периодов по формуле

где n – число измерений; – среднее значение соответствующего периода колебаний; – значение периода в i-м опыте.

Вычислить среднюю квадратическую ошибку момента инерции куба по формуле

где – ошибка при измерении массы, = 2 г; – приборная ошибка, = 1 мм.

Рассчитать средние квадратические ошибки для моментов инерции параллелепипеда относительно осей х, у, z. Так как Т » Т_р и Т₀ » Т_р, то формулу для вычисления погрешности можно записать в виде

,

где – средние квадратические ошибки.

Расчеты погрешностей следует провести для всех трех моментов инерции. Окончательные результаты представить в виде .

Контрольные вопросы
1. В чем заключается физический смысл момента инерции? От чего зависит момент инерции?

2. В чем сущность метода крутильных колебаний?

3. Какие параметры влияют на период колебаний крутильного маятника?

4. Почему Т и Т₀ много больше Т_р?

5. Как рассчитать J₀?

6. Почему у параллелепипеда J_x  J_y  J_z,, а у куба J_x = J_y = J_z?

К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы тяжести которого система приводится в движение. На груз действует сила тяжести и сила натяжения , поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать

Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения

где J – момент инерции относительно оси вращения;  – угловое ускорение; r₀ – радиус шкива.

Из уравнений (1) и (2) получим

. (3)

Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением  = а/r₀, то формула (3) принимает вид

где а = 2h/t²; h – путь, пройденный грузом за время t.

Таким образом, с учетом формулы (4) получим

. (5)

Порядок выполнения работы
1. Убедиться, что две неподвижные рамки установлены на вертикальной линейке на расстоянии 40-50 см друг от друга. Измерить радиус шкива r₀.

2. Установить грузы на стержнях на максимальном расстоянии от оси вращения и закрепить их.

3. Включить установку, нажав кнопку «ПУСК».

4. Не отпуская кнопку «ПУСК» нажать кнопку «СБРОС» и намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки выше оптической оси фотоэлектрического датчика.

5. Закрепить груз, нажав кнопку «ПУСК» и обнулить счетчик нажатием кнопки «СБРОС».

6. Опустить груз, отключив электромагнит нажатием кнопки «ПУСК», измерить время t его движения до оптической оси нижней рамки. Взять не менее трех отсчетов t и вычислить .

7. Сместить грузы на стержнях на два деления к центру и повторить пп.4-6, измерить расстояние r от оси вращения до центра масс груза.

8. Повторить измерения для 8-10 положений грузов.

9. Записать результаты экспериментов в табличной форме:
Номер опытаrt J_эJ_р12…Экспериментальные значения момента инерции J_э рассчитать по формуле (5).

10. Обработать результаты измерений. Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой , если считать грузы материальными точками, можно выразить формулой

где J₀ – момент инерции крестовины без грузов.

Из формулы (6) следует, что J = f(r²). Следовательно, если построить график этой функции, то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать ось ординат в некоторой точке, соответствующей J₀. Такое построение можно сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдений позволяют сделать такое построение достаточно точным. Легче всего сделать это с помощью метода наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, что из всех возможных прямых линий надо взять такую, для которой сумма квадратов отклонений каждой точки от прямой будет наименьшей.

Для удобства перепишем формулу (6) в виде

где r² = х и  = K. Согласно методу

где ; N – число опытов; J_i – экспериментальное значение момента инерции J_э, полученное для каждого опыта.

Обработку результатов эксперимента удобно вести в табличной форме:

Номер опытаr_ix_iJ_i x_iJ_i12…

Рассчитав J₀ и K по формулам (8), следует построить зависимость J_р от x по формуле (7). Так как через две точки можно провести только одну прямую, то для построения этой прямой можно взять какие-нибудь две удобные точки. Далее по формуле (7) рассчитать момент инерции J_p для каждого опыта, заполняя последний столбец (см. п.9).

Среднее квадратическое отклонение

11. По данным опыта и расчетов построить график функции в координатах J – r², предварительно обработав данные опыта методом наименьших квадратов, и вычислить доверительный интервал измерения момента инерции в границах .

2. Каков физический смысл основного уравнения динамики вращательного движения? Что такое момент силы?

3. Как выглядит график зависимости момента инерции в координатах  J – r² и  J – r? Почему результаты опыта лучше обрабатывать в координатах  J – r²?

4. Почему график зависимости J = f(r²) не проходит через начало координат? Какой смысл имеет величина J₀?

5. Какой смысл имеет тангенс угла наклона графика к горизонтальной оси?

Работа 6. определение момента инерции

твердых тел с помощью маятника максвелла
Цель работы – изучить устройство маятника Максвелла и определить с его помощью момент инерции твердых тел.

Общие сведения
Маятник Максвелла представляет собой однородный диск С, через центр которого проходит металлический стержень D (рис.1). К концам этого стержня прикреплены две нити. Они тщательно, виток к витку, наматываются на стержень в направлении от его конца к диску. При освобождении маятника возникает поступательное движение вниз и вращательное вокруг оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нити на стержень, диск поднимается, и движение снова повторяется, т.е. возникают колебания.
Выведем расчетную формулу для момента инерции маятника на основе закона сохранения энергии. Когда маятник поднят на высоту h, его полная энергия состоит только из потенциальной энергии E_п = mgh. В наинизшем положении маятника E_п = 0, а полная энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

.

Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия маятника в верхнем и нижнем положениях должна быть одинакова, т.е.

Отсюда момент инерции

Поскольку поступательное движение маятника возникает только за счет вращательного, то угловая () и линейная (v) скорости связаны соотношением

Подставив уравнение (2) в (1), получим

Для равнопеременного движения связь между h, v и t может быть записана в виде

Подставив выражение для v в формулу (3), получим окончательно

Формулу (4) можно было бы вывести и на основе уравнений динамики для поступательного и вращательного движения.

Маятник представляет собой диск 5, закрепленный на оси 6, подвешенной на двух нитях 4 (бифилярный подвес). На диск можно насаживать сменные коль­ца 12, изменяя таким образом момент инерции системы.

Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом 10. Фотоэлектрические датчики 3 и 11 соединены с электронным секундомером 2. Верхний электронный датчик задает момент начала движения маятника, а нижний – момент окончания движения (опускания) маятника.

Порядок выполнения работы
1. Надеть на диск маятника одно из колец (если оно не надето).

2. Включить установку. Нижний край кольца маятника должен быть примерно на 2 мм ниже оптической оси фотоэлектрического датчика, ось маятника должна быть горизонтальной.

3. Намотать на ось маятника нить подвески до фиксации маятника в верхнем положении электромагнитом.

4. Измерить время падения маятника по прибору.

5. Повторить пп.3-4 еще 10 раз.

6. Провести измерения с другими кольцами.

7. По измеренным значениям времени определить среднее значение времени падения маятника

.

8. По шкале на вертикальной колонке прибора измерить длину маятника h.

9. Измерить радиусы оси (R_о), диска (R_д) и колец (R_к).

10. Записать массы оси (m_о), диска (m_д) и колец (m_к), вычислить общую массу маятника . Результаты измерений и вычислений зафиксировать в табличной форме:

где J_о – момент инерции оси маятника, ; J_к – момент инерции кольца, надетого на диск, ; J_д – момент инерции диска, ; R_д и R_к – радиусы диска и кольца соответственно.

Для полученного экспериментально значения момента инерции вычислить среднюю квадратическую погрешность

.

Погрешность измерения времени _t определить по результатам измерений (_t = t), погрешность массы _m принять равной 1 г, погрешности _h и оценить по цене деления используемых измерительных приборов.

12. Записать окончательный результат в форме , сравнить экспериментальное значение J с теоретическим J_т.

Контрольные вопросы
1. Что такое момент инерции материальной точки?

2. Что такое момент инерции твердого тела?

3. От чего зависит величина момента инерции твердого тела?

4. Каков принцип действия маятника Максвелла?

5. Какие силы вызывают поступательное движение маятника?

6. Момент каких сил вызывает вращательное движение маятника?

7. Вывести формулу для определения момента инерции с помощью маятника Максвелла.

Работа 7. измерение скорости полета пули с помощью баллистического маятника
Цель работы – определить скорость полета пули с помощью крутильных колебаний баллистического маятника.

Общие сведения
Скорость полета пули может достигать значительной величины, поэтому ее прямое измерение, т.е. определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, требует специальной аппаратуры. Разработаны и косвенные измерения скорости полета пули. Можно, например, использовать явление неупругого соударения.
Если летящая пуля испытывает неупругий удар с неподвижным телом большей массы, их скорость после удара будет существенно меньше первоначальной скорости пули и ее можно будет измерить достаточно простыми методами, например, с помощью крутильных колебаний баллистического маятника, представляющего собой два стержня 1, подвешенных на вертикально натянутой проволоке 3 (рис.1). На стержнях закреплены мисочки с пластилином 2 и перемещаемые грузы 4. При попадании пули в мисочку с пластилином, маятник начинает поворачиваться вокруг своей вертикальной оси. Если пренебречь силами трения можно воспользоваться законами сохранения.

На основании закона сохранения момента импульса можно написать

где m – масса пули; v – ее скорость; l – расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули;  – угловая скорость маятника; J – момент инерции маятника.

Согласно закону сохранения механической энергии при повороте кинетическая энергия маятника переходит в потенциальную энергию закручивающейся проволоки:

, (2)

где – наибольший угол поворота маятника; D – модуль кручения проволоки.

Из уравнений (1) и (2) можно получить

. (3)

Так как момент инерции пули существенно меньше момента инерции маятника J, то выражение (3) можно привести к виду

Тогда скорость пули

Модуль кручения проволоки D определим, измерив период крутильных колебаний маятника Т. Так как при малых углах отклонения , то

Подставив выражение (5) в уравнение (4), найдем

Для определения J измерим периоды колебаний маятника Т₁ и Т₂ при различных положениях грузов. Из формулы (5) следует

Момент инерции маятника

где М – масса одного неподвижного груза; R – расстояние от центра масс груза до оси вращения; J₀ – момент инерции маятника без грузов.

Для различных положений грузов, т.е. различных расстояниях от центра масс груза до оси вращения R₁ и R₂:

откуда

Решая систему уравнений (7) и (8), найдем

Запишем формулу (6) для положения грузов R₁:

и, подставив вместо J₁ выражение (9), получим окончательно расчетную формулу

Общий вид баллистического маятника показан на рис.2. В основании 2, снабженном регулирующими ножками 1, позволяющими выравнивать прибор, закреплена колонка 3 с тремя кронштейнами: верхним (8), средним (4) и нижним (14). К кронштейну 4 прикреплено стреляющее устройство 9, прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой 10 и фотоэлектрический датчик 12. Кронштейны 4 и 8 имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки 13, на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек 6, наполненных пластилином, двух перемещаемых грузов 7, двух стержней 5 и «водилки» 11. Фотоэлектрический датчик соединен разъемом с привинченным к основанию миллисекундомером.

2. Зарядить пулей стреляющее устройство и произвести выстрел.

3. Измерить максимальный угол отклонения _max маятника.

4. Повторить 3 раза пп.2, 3 и найти среднее значение _max.

5. Включить установку.

6. Отклонить маятник на угол _max и отпустить его; измерить время 10 колебаний и вычислить период Т₁. Повторить измерения периода 5 раз.

7. Установить минимальное расстояние между грузами и измерить R₂.

8. Отклонить маятник на угол _max и отпустить его; измерить время 10 колебаний и вычислить период Т₂. Повторить измерения периода 5 раз.

9. Результаты эксперимента оформить в виде таблицы:
Номер опытаR₁R₁R₂R₂T₁T₁T₂T₂_maxMM12…

10. Рассчитать скорость пули по формуле (10), подставив значение _max в радианах.

11. Вывести самостоятельно формулу для расчета v и вычислить абсолютную погрешность. Погрешность T определить по результатам измерений периода, погрешность R и  – по цене деления измерительных приборов, погрешность M принять равной 1 г.

12. Записать результат для скорости пули в виде

2. От каких параметров установки зависит период колебаний баллистического маятника?

3. От чего зависит амплитуда колебаний баллистического маятника?

4. При каких упрощающих предположениях выведена формула (9)?

5. Можно ли пользоваться формулой (9), если удар пули о мишень происходит под углом, отличным от прямого?

Работа 8. Определение ускорения

свободного падения при помощи

универсального маятника
Цель работы – определить ускорение свободного падения с помощью универсального маятника.

Общие сведения
Наиболее точные измерения ускорения свободного падения выполняются с помощью косвенных методов. Многие из них основаны на использовании формул для периода колебаний математического и физического маятников.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити и совершающая колебание в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Период колебаний математического маятника

, (1)

где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Ускорение g можно вычислить, измерив Т и l. Погрешность определения g в этом случае связана с тем, что реальный маятник, используемый в лабораторных условиях, может только с некоторым приближением рассматриваться как математический (чем больше l, тем точнее измерения).

Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

Период колебаний физического маятника

, (2)
где J – момент инерции маятника относительно оси качаний (точки подвеса); m – его масса; l – расстояние от центра тяжести до оси качаний.

Величину L = J/(ml) называют приведенной длиной физического маятника. Она равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Зная T, m, и J можно по формуле (2) найти ускорение свободного падения g. Массу маятника и период его колебаний можно измерить с очень высокой точностью, но точно измерить момент инерции не удается. Указанного недостатка лишен метод оборотного маятника, который позволяет исключить момент инерции из расчетной формулы для g.

Метод оборотного маятника основан на том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за одну или другую, период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину данного маятника.

Оборотный маятник (рис.1) состоит обычно из металлического стержня А, по которому могут передвигаться и закрепляться в том или ином положении грузы В₁ и В₂ и опорные призмы С₁ и С₂. Центр масс маятника – точка О. Период колебаний маятника можно менять, перемещая грузы или опорные призмы. Маятник подвешивают вначале на призме С₁ и измеряют период его колебаний Т₁. Затем маятник подвешивают на призме С₂ и измеряют период колебаний Т₂.

Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов, при котором периоды колебаний маятников Т₁ и Т₂ около призм С₁ и С₂ совпадают, т.е.

Отсюда

По теореме Штейнера

где J₀ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной оси качаний.

С учетом формул (3) и (4) можно записать

или

Тогда

и

. (5)

Формула (5) аналогична формуле (1) для математического маятника. Следовательно, L = l₁ + l₂ – приведенная длина физического маятника, которая, как видно из рис.1, равна расстоянию между призмами С₁ и С₂, когда Т₁ = Т₂. Это расстояние легко может быть измерено с большой точностью.

Итак, измерение ускорения свободного падения g с помощью оборотного маятника сводится к измерению периодов Т₁ и Т₂ относительно призм С₁ и С₂, достижению их равенства (с помощью перемещения призм), измерению расстояния L = l₁ + l₂ между призмами и вычислению по формуле

Чтобы пояснить, как достичь равенства периодов Т₁ и Т₂, исследуем, как зависит период колебаний от расстояния l между центром масс и осью качаний маятника. Согласно формулам (2) и (4), имеем

Период минимален при l_min = (рис.2). При Т  Т_min одно и то же значение Т достигается при двух разных значениях l, одно из них больше, а другое меньше l_min. Эти значения l₁ и l₂ и входят в формулу (5).

Вначале измеряется период колебаний маятника Т₁ относительно призмы С₁. Затем маятник переворачивается и измеряется период колебаний Т₂ относительно призмы С₂. Если при этом получится , то этому будет соответствовать . И для того, чтобы приблизить и Т₁, надо увеличить . Для этого надо призму С₂ передвинуть от середины стержня к краю. Если получится < Т₁, то призму С₂ надо будет передвинуть к середине стержня.
Анализ точности измерения g методом оборотного маятника показывает, что погрешность измерения слабо зависит от точности, с которой выполняется равенство Т₁ = Т₂. Достаточно добиться того, чтобы периоды оказались равны друг другу с точностью 0,5 %.

Кроме того, для получения достаточной точности измерения отношение l₁/l₂ не должно быть ни слишком малым, ни слишком большим, желательно, чтобы 1,5 < l₁ / l₂ < 3.

Длину математического маятника можно регулировать винтом 3 и определять при помощи шкалы на колонке.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором крепятся две призмы (ножа) С₁ и С₂ и два диска 6. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки. Фотоэлектрический датчик соединен с универсальным электронным секундомером 11, который измеряет число колебаний n и общее время этих колебаний t. Период колебаний T = t/n.

Порядок выполнения работы
Измерения с математическим маятником проводятся в следующем порядке:

1) поместить над датчиком математический маятник, повернув соответствующим образом верхний кронштейн и установить длину математического маятника так, что бы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотоэлектрического датчика;

2) отклонить маятник на угол примерно 5 и придерживать шарик рукой;

3) отпустить шарик (маятник придет в движение);

4) измерить время 10 колебаний (n = 10);

5) повторить 10 раз пп.1-4;

6) по шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника.

7) определить период колебаний математического маятника T = t/n, вычислить ускорение свободного падения по формуле (6) для каждого измерения и среднее значение ускорения . По результатам опыта составить таблицу:

8) рассчитать среднюю квадратическую ошибку

и записать окончательный результат в виде .

Измерения с оборотным маятником проводятся в следующем порядке:

1) поместить над датчиком оборотный маятник, повернув верхний кронштейн на 180;

2) зафиксировать диски на стержне, чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины;

3) закрепить маятник на верхнем кронштейне на призме, находящейся вблизи конца стержня, так чтобы конец стержня пересекал оптическую ось фотоэлектрического датчика;

4) отклонить маятник примерно на 5 от положения равновесия и придерживать его рукой;

5) отпустить маятник (маятник придет в движение);

6) измерить время 10 колебаний маятника t;

7) определить период колебаний оборотного маятника T₁ = t/n;

8) снять маятник и закрепить его на второй призме;

9) измерить период Т₂, повторив пп.4-7;

10) сравнить периоды Т₂ и T₁; если Т₂ > T₁, вторую призму переместить в направлении диска, находящегося в конце стержня; если Т₂ < T₁, переместить ее в направлении середины стержня (положение дисков и первой призмы не менять);

11) снова измерить период Т₂ и сравнить его с величиной T₁; менять положение второй призмы до тех пор, пока значение периода Т₂ не станет равным значению периода T₁ с точностью до 0,5 %;

12) определить приведенную длину оборотного маятника L, измерив расстояние между призмами (по числу нарезок, которые нанесены через каждые 10 мм).

13) обработать результаты эксперимента, вычислив ускорение свободного падения по формуле (6) при Т = Т₁ = Т₂, среднюю квадратическую ошибку (здесь – погрешность измерения времени, оцениваемая исходя из точности прибора) и среднюю квадратическую ошибку

где – погрешность измерения длины, оцениваемая по цене деления измерительной линейки.

14) записать окончательный результат в виде .

Контрольные вопросы
1. Что такое математический маятник?

2. Что такое физический маятник?

3. Как с помощью маятников можно измерить ускорение свободного падения?

4. С чем связана погрешность определения g с помощью математического маятника?

5. С чем связана погрешность определения g с помощью физического маятника и как ее устранить?

6. В чем заключается метод оборотного маятника?

Рассмотрим гироскоп, основным элементом которого является диск D, вращающийся со скоростью вокруг горизонтальной оси ОО' (см. рисунок). Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке C. Прибор снабжен противовесом K. Если противовес установлен так, что точка C является центром масс системы (m – масса гироскопа; m₀ – масса противовеса K; масса стержня пренебрежимо мала), то без учета трения можно записать:

т.е. результирующий момент сил, действующий на систему, равен нулю. Тогда справедлив закон сохранения момента импульса :

Иными словами, в этом случае const (здесь J – момент инерции гироскопа, – собственная угловая скорость вращения гироскопа).

Поскольку момент инерции диска относительно его оси симметрии есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также остается постоянным как по величине, так и по направлению. Вектор направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Таким образом, ось свободного гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменным.

Если к противовесу K добавить еще один с массой m₁, то центр масс системы сместится и возникнет вращающий момент направленный перпендикулярно оси ОО' в горизонтальной плоскости. Согласно уравнению моментов, . Под действием этого вращающего момента вектор момента импульса получит приращение , совпадающее по направлению с вектором :

Спустя время момент импульса гироскопа изменится на величину :

Таким образом, вектор изменяет свое направление в пространстве, все время оставаясь в горизонтальной плоскости. Учитывая, что вектор момента импульса гироскопа направлен вдоль оси вращения, поворот вектора на некоторый угол d за время dt означает поворот оси вращения на тот же угол. В результате ось симметрии гироскопа начнет вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси ВВ' с угловой скоростью:

Такое движение называется регулярной прецессией, а величина – угловой скоростью прецессии.

Выясним зависимость угловой скорости прецессии гироскопа от основных параметров системы. Из формул (1) получим

При малых углах поворота из геометрических соображений (см. рисунок) , тогда , и угловая скорость прецессии

Подвижный элемент гироскопа представляет собой массивный маховик (диск), закрепленный на оси электродвигателя. Вдоль оси маховика закреплена планка с линейной метрической шкалой. Вдоль планки может перемещаться противовес.

Угол поворота оси двигателя в горизонтальной плоскости и время движения измеряются электронной схемой с фотоэлектрическим датчиком. Кроме того, угол поворота гироскопа можно считывать по нанесенной на основании подвижной части угловой шкале. По окружности основания через каждые 5 нанесены отверстия, которые служат для считывания угла поворота при помощи фотоэлектрического датчика. На лицевой панели блока управления расположены индикаторные табло угла и времени поворота, а также кнопки «СЕТЬ», «СБРОС», «СТОП», и рукоятка регулятора скорости вращения «РЕГ. СКОРОСТИ».
Порядок выполнения работы
1. Перемещая противовес K вдоль планки, уравновесить систему (ось должна принять горизонтальное положение); измерить и записать расстояние l₀ от центра масс противовеса до оси вращения – точки С (см. рисунок).

2. Включить установку, двигатель и довести угловую скорость вращения  до 1000 мин^–1.

3. Подвесить к противовесу перегруз m₁ и дать гироскопу свободно прецессировать, записать значение m₁.

4. После поворота гироскопа на некоторый угол в пределах 30 <  < 100 записать угол  и время t поворота.

5. Повторить пп.2-4 при данной угловой скорости ротора не менее 5 раз.

6. Провести измерения для пяти-шести режимов вращения ротора, меняя угловую скорость через 1000 мин^–1 от 1000 до 6000 мин^–1. Перед каждым повторным измерением устанавливать ось гироскопа горизонтально.

7. Результаты измерений записать в таблицу:
Номер опытаНомер

измеренияttJJ112…5 2…

8. Обработать результаты эксперимента. Вычислить угловую скорость прецессии гироскопа  = /t для всех значений угловой скорости  (вращение в данном случае равномерное) и вычислить среднее значение для каждого режима вращения двигателя. Найти ошибку измерений  по разбросу результатов и построить график зависимости (1/). Сделать вывод относительно выполнения зависимости (2).

Рассчитать момент инерции гироскопа в каждом случае (k – номер измерения,  и  выразить в радианах в секунду)

и вычислить среднее значение .

Определить среднюю арифметическую ошибку результата J (формулу вывести самостоятельно). Погрешность l₀ и  определить по цене деления измерительных приборов, погрешность m = 1 г.

9. Результат измерений представить в виде .

2. Какими свойствами обладает гироскоп? Какими физическими законами обусловлены эти свойства?

3. Почему возникает регулярная прецессия гироскопа?

4. От каких параметров системы зависит угловая скорость прецессии?