Формирование системы уравнений динамики

3. Формирование системы уравнений динамики

где L = (K - P) - функция Лагранжа, K и P - кинетическая и потенциальная энергия манипулятора; ?_k - момент обобщенных сил в k-ом шарнире, обусловленный работой привода и воздействием внешних нагрузок.

Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа, необходимо вычислить кинетическую и потенциальную энергию манипулятора.

Для вычисления кинетической энергии воспользуемся формулой:

K = К_i, К_i = (3.2)

где К_i - кинетическая энергия i-ого звена манипулятора; dК_i - ки­нетическая энергия элемента массы dm_i i-ого звена:

Преобразуем выражение для V_i из соотношения (2.7):

где r_p = (i=1,..,n)

Обозначим w^p = V_ps q_s?; тогда (3.3) можно представить в виде:

dК_i =1/2 (w^p r_p , w^l r_l) dm_i = 1/2 Tr (w^p r_p r_l^Tw^{l T}) dm_i;

здесь Tr(A) - след матрицы А.

Тогда К_i = 1/2 Tr (w^p ?_pl w^{l T}), где ?_pl = (3.4)

причем ?_pl = (3.5)

(здесь r_C,i - центр масс i-ого звена в СК S_i;

J_i - матрица инерции i-ого звена манипулятора;

см. приложение I)

С учетом (3.4) выражение для кинетической энергии манипулятора примет вид:

K = К_i = 1/2 Tr (w^p ?_pl w^{l T}).

Теперь определим потенциальную энергию манипулятора как сумму потенциальных энергий его звеньев:

P = P_i; P_i = - m_i (g, r_C,i⁰ ) = - m_i (g, C_1p l_p + C_1i r_C,i);

Найдем выражение для части уравнений (3.1), в которые вхо­дит кинетическая энергия манипулятора:

[Tr () + Tr () –

Tr ()]

Заметим, что первое и третье слагаемые выражения в квадратных скобках равны между собой. Действительно,

= (3.6)

где обозначено .

Т.к. из определения величин V_pk и V_pks следует, что V_pks = V_psk, то формулы (3.6) и (3.7) совпадают.

Итак, необходимо вычислить значение:

Tr () (3.8)

Т.к. =V_pk, а == = + ,

то (3.8) можно представить в виде:

[ Tr () + Tr ()]

Подставив значения ?_pl из формул (3.5) и сделав, где это необходимо, переход от функции Тr к скалярному произведению, получим:

где r_p = (i=1,..,n)

Потенциальная энергия манипулятора входит в уравнения динамики (3.1) в виде:

(3.10)

Перегруппировав компоненты в формулах (3.9)-(3.10), можно полу­чить уравнения динамики в виде:

или в матричной форме:

В уравнениях (3.11) D(q) - симметричная, положительно определенная матрица инерции манипулятора [60] с элементами:

Итак, получены уравнения динамики манипулятора в форме Лагранжа. Они позволяют решать прямую и обратную задачи динамики. Система динамических уравнений замкнута и представлена в аналитическом виде.

J_i =

Компоненты этой матрицы можно выразить через компоненты (I_i)_ps тензора инерции i-ого звена [23]:

(J_i)_ps = (I_i)_ps, при p?s

(J_i)₁₁ = 1/2 [-(I_i)₁₁ + (I_i)₂₂ + (I_i)₃₃]

(J_i)₂₂ = 1/2 [ (I_i)₁₁ - (I_i)₂₂ + (I_i)₃₃]

(J_i)₃₃ = 1/2 [ (I_i)₁₁ + (I_i)₂₂ - (I_i)₃₃]

4. Оценка вычислительной эффективности уравнений динамики
В [1, 5] и других работах, связанных с исследованием мето­дов формирования уравнений динамики манипуляторов, отмечается, что с вычислительной точки зрения уравнения в форме Лагранжа неэффективны по сравнению с другими способами описания динамики. При этом наиболее эффективные алгоритмы не представимы в замкну­том, матричном виде, что усложняет их использование в задачах управления роботами с учетом динамики.

Представленный в разделе 3 метод описания динамики, имеет мат­ричную структуру и обладает довольно высокой вычислительной эф­фективностью. Для ее оценки необходимо определить число арифметических операций, требуемых для реализации алгоритма, а также количество обращений к тригонометрическим функциям.

Распределение вычислительных затрат, необходимых при моделировании динамики манипулятора, представлено в таблице 2. Для указано число операций, которые необходимо выполнить дополнительно после расчета d_ks. При оценивании объемов вычислений принимались во внимание известные свойства матриц D(q) и H_k = {} [45]: d_ks = d_sk; = 0 при k=s?t; = ; = - при k,s?t.

Отметим, что в суммарный объем вычислений входят также затраты на решение прямой задачи кинематики и расчет элементов матрицы Якоби манипулятора. Число обращений к тригонометрическим функциям - 2n.

Компоненты уравнений динамики	Число операций умножения	N=6	Число операций сложения	N=6
dks		13/6 n3 + 35n2 + 71/6 n – 9	1790	11/6 n3 + 53/2 n2 + 11/3 n - 3	1369
		13/12 n4 + 43/6 n3 – 139/12 n2 + 10/3 n	2555	11/12 n4 + 16/3 n3 – 119/12 n2 + 20/3 n – 3	2020
pk		1/2 n2 + 3/2 n + 3	30	1/2 n2 – 1/2 n + 2	17
dks pk		13/12 n4 + 28/3 n3 + 287/12 n2 + 50/3 n - 6	4375	11/12 n4 + 43/6 n3 + 205/12 n2 + 59/6 n - 4	3406
D(q), , p		13/12 n4 + 59/6 n3 + 299/12 n2 + 97/6 n - 6	4516	11/12 n4 + 23/3 n3 + 193/12 n2 + 28/3 n - 6	3476

Таблица 2.

Для манипулятора БКМ вычислительные затраты на расчет полной модели динамики составляют 3479 опера­ций умножения и 2503 операции сложения. Программная реализация алгоритма расчета уравнений динамики позволяет учитывать особенности геометрии и распределения масс для конкретных манипулято­ров, что повышает вычислительную эффективность алгоритма.

Выражения для пары (R_G ,С_G), которая определяет решение пря­мой кинематической задачи, будут иметь тот же вид, только теперь матрица преобразования систем координат соседних звеньев С_i бу­дет единичной матрицей, если i-ый шарнир - поступательный, а век­тора l_i не будут постоянными в СК S_i i-ого звена:

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.69 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: