CG = C1n; Ci = {Cx, Cy, Cz} если i - вращательный шарнир

C_G = C_1n; C_i = {C_x, C_y, C_z} если i - вращательный шарнир

Введем параметр ind_s, характеризующий тип шарнира: ind_s =1 для вращательного шарнира, ind_s = 0 для поступательного. Тогда V_G можно представить в виде:

С учетом этого перепишем выражение для V_G:

Введем в рассмотрение новые матрицы , связанные с V_ps следующими соотношениями:

Тогда для V_G справедливы соотношения, аналогичные по виду (2.3):

Угловая скорость схвата при наличии поступательных шарниров имеет вид:

(5.1) и (5.2) определяют значения компонент матрицы Якоби:

;

Прежде, чем получить соотношения для R_i и V_i - положения и скорости произвольной точки М_i i-ого звена манипулятора - отме­тим, что если i-ый шарнир поступательный, то введенный в разделе 2 вектор не будет постоянным в СК S_i , и, следовательно, выра­жения (2.7) в этом случае не могут быть использованы для формирования кинетической и потенциальной энергии манипулятора, т.к. матрицы J_i = теряют физический смысл. Поэтому в ка­честве будем брать вектор (см. рис. 10).

Заметим, что если i-ый шарнир поступательный, то матрица инерции i-ого звена будет определяться в СК, полученной параллельным переносом S_i в точку О_i+1.

Радиус-вектор точки М_i представим в виде:

Тогда:

где r_p = (i=1,..,n)

Итак, для случая, когда манипулятор содержит поступательные шарниры, мы получили выражения для R_i и V_i в форме, аналогичной (2.7) из 2, когда предполагалось, что манипулятор содержит лишь вращательные шарниры. Поэтому все дальнейшие выкладки будут аналогичны рассмотренным выше при выводе уравнений динамики (отметим только, что в них необходимо использовать новые значения ). Следовательно, предлагаемый метод дает возмож­ность получить уравнения динамики и для манипуляторов с поступа­тельными шарнирами, причем вид этих уравнений совпадает с (3.11) - (3.14). Отметим, что объем вычислений, требуемых для реа­лизации алгоритма, в этом случае сократится, т.к. для поступа­тельных координат структура матриц С_ip и V_ps упрощается.

Для получения символьных выражений используются соотношения (3.12)-(3.14). Входными параметрами программы на языке REDUCE являются кинематические, геометрические и масс-инерционные параметры манипулятора. Результатом работы программы являются урав­нения динамики манипулятора или выражения для коэффициентов мат­рицы инерции и моментов кориолисовых и центробежных сил инерции и силы тяжести в символьном виде. Имеется возможность генерации фрагментов программ расчета динамических параметров на языке ФОРТРАН.

Вычислительная эффективность получаемых соотношений анали­зировалась для моделей 2-х и 3-х степенных манипуляторов. Рассматривались манипуляторы, у которых вектора l_i и r_Ci имеют одну ненулевую компоненту, а матрицы инерции звеньев диагональные с произвольными элементами.

Для 2-степенного манипулятора динамические коэффициенты имеют вид (приведен фрагмент выходного файла, сгенерированного программой символьной обработки):

2*cos(q1)*L1*M2-sin(q1)*sin(q2)*L2*M2))/2; P(2)=(G*L2*M2*(cos(q1)*cos(q2)-sin(q1)*sin(q2)))/2;

2*sin(q2)**2*sin(q3)*L2*L3*M3+

4*sin(q2)*sin(q3)**2*cos(q2)*(-I3X+I3Z)+

2*sin(q2)*cos(q2)*cos(q3)*L2*L3*M3+

2*sin(q2)*cos(q2)*(I2X-I2Z+I3X-I3Z+L2**2*M3)+

2*sin(q3)*cos(q3)*(I3X-I3Z)+sin(q3)*L2*L3*M3)/2; H(1,1,3)=(4*sin(q2)**2*sin(q3)*cos(q3)*(-I3X+I3Z)-

sin(q2)**2*sin(q3)*L2*L3*M3+

4*sin(q2)*sin(q3)**2*cos(q2)*(-I3X+I3Z)+ sin(q2)*cos(q2)*cos(q3)*L2*L3*M3+ 2*sin(q2)*cos(q2)*(I3X-I3Z)+ 2*sin(q3)*cos(q3)*(I3X-I3Z))/2;

sin(q2)*cos(q1)*G*L2*(M2+2*M3)+

sin(q3)*cos(q1)*cos(q2)*G*L3*M3)/2;

P(2)=(-sin(q1)*sin(q2)*sin(q3)*G*L3*M3+

sin(q1)*cos(q2)*cos(q3)*G*L3*M3+

sin(q1)*cos(q2)*G*L2*(M2+2*M3))/2;

P(3)=(-sin(q1)*sin(q2)*sin(q3)*G*L3*M3+

sin(q1)*cos(q2)*cos(q3)*G*L3*M3)/2;
Для 2-степенного манипулятора рассматриваемого класса объем вычислительных затрат составляет 135 и 76 сложений. Для приведенных символьных выражений: 34 и 9, т.о. вычислительная эффективность повысилась в 5 раз. Для 3-степенного манипулятора имеем соответственно 412 и 259 для численной модели и 135 и 47 для символьной; повышение эффективности в 4 раза.

В дальнейшем представляет интерес разработка оптимизацион­ных процедур для повышения вычислительной эффективности символь­ных выражений (предварительный расчет постоянных коэффициентов, расчет тригонометрических произведений, приведение подобных чле­нов). Эти процедуры должны работать в автоматическом режиме, поскольку оптимизация вручную затруднительна при большем числе степеней свободы манипулятора.

Рассмотрим i-ый шарнир манипулятора. Баланс моментов для него имеет вид:

В этих уравнениях и - момент инерции якоря двигателя и развиваемый двигателем электромагнитный момент, приведенные к выходу редуктора: = , , где - передаточное число редуктора, равное отношению угловых скоростей звена и двигателя, - коэффициент пропорциональности момента, - ток в дви­гателе. Коэффициенты матрицы инерции манипулятора , компоненты вектора кориолисовых и центробежных сил , и гравитационных сил рассчитываются по формулам (3.12)-(3.14) соответственно.

Уравнения для двигателя постоянного тока имеют вид:

где - соответственно напряжение, сопротивление и индуктивность в обмотках двигателя; - коэффициент противо­-э.д.с., . Кроме того, для скоростной следящей системы:

где - программная скорость i-ого звена.

Итак, имеем следующую систему уравнений, описывающих движе­ние i-ого звена:

Тогда для манипулятора справедливы векторные уравнения:

Диагональные элементы матрицы равны ; , , и - диагональные матрицы (n x n) с элементами , , и соответственно.

Для позиционно-скоростной следящей системы имеем:

,

где - программное положение i-ого звена.

Тогда справедливы векторные уравнения:

(7.4?)

Здесь - диагональная матрица (n x n) с элементами .

Системы (7.4) и (7.4?) содержат уравнения третьего порядка, однако во многих случаях (см., например, [5]) достаточно рассматривать модели второго порядка для приводов, т.е. пренебрегать членами , т.к. время переходных процессов, связанных с перерегулиро­ванием тока, мало по сравнению с длительностью механических пе­реходных процессов вследствие значительной инерционности манипу­ляционной системы.

Если механические передачи манипулятора обладают люфтом, то для однозначного описания динамики манипулятора в этом случае необходимо ввести дополнительные переменные и , задающие положение и угловую скорость валов двигателей, которые вместе с и W определяют в любой момент состояние манипулятора ( и приведены к выходу редукторов). Обозначим через половину величины люфта на выходе передачи. Тогда для всех i=1,..,n в случае, если люфт не выбран, т.е. при , движение в i-ом шарнире задается уравнениями:

(7.5)

В противном случае, движение будет определяться уравнениями (7.1). Кроме того, для шарниров, в которых выбран люфт, в каждый момент времени необходимо следить за условием сохранения связи ( -момент сил реакции на выходе передаточного механизма), и, в случае его нарушения, переходить к системе (7.5).

Рассмотрим теперь движение манипулятора при наличии моментов сопротивления , создаваемых силами сухого трения на выход­ных валах механических передач (учет сил вязкого трения не пред­ставляет труда, т.к. они входят в уравнения в виде добавочного коэффициента к пропорциональным обобщенным скоростям членам). Система уравнений динамики манипулятора примет вид:

(7.6)

При момент вычисляется по формуле , где - величина предельного момента сил сухого трения в i-ой передаче.

Если в процессе движения станет , то для вычисления нужно сравнить (модуль момента всех сил, действующих в i-ом шарнире), и . Если , то ; в противном случае по i-ой координате будет выполняться условие до мо­мента, пока не станет .

При наличии упругости в шарнирах уравнения (7.1) примут вид:

где - суммарный коэффициент упругости i-ого шарнира. Если в этом случае учесть также люфт в редукторе, то получим систему:

Заметим, что, в отличие от рассмотренной выше модели привода с люфтом без учета упругости, здесь не требуется следить за вели­чиной реакции в передаче для определения момента разрыва связи, т.к. его значение может быть найдено из анализа двух независимых переменных и : при связь окажется нарушенной.

Рассмотрим теперь модель динамики манипулятора, который содержит на выходе редукторов муфты предельного момента, имеющие линейную характеристику с насыщением [47] (рис. 11). Здесь - значение момента в передаче, когда в муфте начнется проскальзывание: если , то и движение манипулятора описывается системой (7.7); в противном случае .

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.69 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: