Применение производной к исследованию функций в школьном курсе математики

24 
Рис. 2.2.2 решение задания 2.1 
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 ∠𝐵𝐴𝐶 =
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
6
3
= 2. 
Значение производной функции приравнивается значению 𝑡𝑔𝛼 или 
угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику. Ответ: 2. 
Задание 2.2. 
Рис. 2.2.3 к заданию 2.2 
Решение: так как касательная проходит через начало координат, 
уравнение имеет вид 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏. Вторая точка – А(8;10). Вычислим значение 
коэффициента 𝑘, 𝑘 =
10
8
=
5
4
= 1,25. В связи с тем, что 𝑓
׳
(𝑥) = 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑘 =
𝑓(8), ответ 1,25. 

25 
Рис. 2.2.4 решение задания 2.2 
В других заданиях требуется по графику функции выбрать точки, в 
которых производная имеет определенный знак 
Задание 3.1 𝑓
׳
(𝑥) > 0 
Рис. 2.2.5 к заданию 3.1 
Решение: рассмотрим график функции, производная положительна на 
промежутках возрастания, отметим точки и посчитаем их количество. 
Запишем ответ: 4. 
Рис. 2.2.6 к решению задания 3.1 

26 
Задание 3.2 𝑓
׳
(𝑥) < 0 
Рис. 2.2.7 к заданию 3.2 
Решение: производная отрицательна на тех интервалах, где функция 
убывает. Отметим и посчитаем количество точек. Запишем ответ: 7 
Рис. 2.2.8 к решению задания 3.2 
Следующий тип заданий на нахождение абсциссы точки касания, если 
дано уравнение прямой параллельной касательной к определенному графику 
функции.
Задания 4.1 Дано уравнение прямой 𝑦 = 7𝑥 − 5 и графика функции 𝑦 =
𝑥
2
+ 6𝑥 − 8.
Решение: прямая параллельна касательной к графику в том случае, если 
в какой-то точке 𝑥
0
, угловой коэффициент (в данной задаче 7) равен 
значению производной функции в данной точке. Найдем производную 𝑦 =
2𝑥 + 6. Получаем уравнение 2𝑥 + 6 = 7. Следовательно, 𝑥 = 0,5. 

27 
Задание 4.2 Уравнение прямой 𝑦 = −4𝑥 − 11 и графика функции 𝑦 =
𝑥
3
+ 7𝑥
2
+ 7𝑥 − 6.
Решение: если прямая является касательной к графику, то ее угловой 
коэффициент должен быть равен значению производной функции в точке 
касания, откуда имеем 3𝑥
2
+ 14𝑥 + 7 = −4, то есть 3𝑥
2
+ 14𝑥 + 11 = 0. Это 
квадратное уравнение имеет два корня: −3
2
3
и 
−1. Таким образом, есть две 
точки, в которых касательная к графику функции имеет угловой 
коэффициент, равный −4. Для того чтобы определить, в какой из этих двух 
точек прямая 𝑦 = −4𝑥 − 11 касается графика функции, вычислим значения 
функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению 
касательной. Значение функции в точке −3
2
3
равно 
13
4
27
, а значение в точке 
−1 равно −7. Заметим, что точка с координатами (−3
2
3
; 
13
4
27
) не 
удовлетворяет уравнению касательной. А вот точка (−1; −7) уравнению 
касательной удовлетворяет. Значит, искомая абсцисса точки касания равна 
−1. 
Задание 4.3 Уравнение прямой 𝑦 = 3𝑥 + 1 и графика функции 𝑎𝑥
2
+
2𝑥 + 3. Вычислите коэффициент 𝑎. 
Решение: угловой коэффициент равен производной функции в точке 
касания, исходя из этих данных, составим систему уравнений и решим ее: 
{
2𝑎𝑥 + 2 = 3
𝑎𝑥
2
+ 2𝑥 + 3 = 3𝑥 + 1
<=> {
2𝑎𝑥 = 1
𝑎𝑥
2
− 𝑥 + 2 = 0
<=> {
𝑥 = 4
𝑎 = 0,125
Рассмотрим задания, в которых дан график производной на 
определенном интервале. Необходимо найти в какой точке заданного отрезка 
функция принимает наибольшее или наименьшее значение. 
Задание 5.1 интервал (-6;5), отрезок [-1;3], 𝑓(𝑥) наибольшее 

28 
 
Рис. 2.2.9 к заданию 5.1 
Решение: отметим на графике заданный отрезок. Если производная 
функции выше оси 𝑜𝑥, то ее значения положительны. Функция на заданном 
отрезке возрастает, и, следовательно, наибольшее значение будет принимать 
в правой границе точке 3. 
Рис. 2.2.10 к решению задания 5.1 
Задание 5.2 интервал (-8;4), отрезок [-7;-3], 𝑓(𝑥) наименьшее
Рис. 2.2.11 к заданию 5.2 

29 
Решение: в заданном отрезке производная выше оси 𝑜𝑥, следовательно, 
она принимает положительные значения. Поэтому функция на данном 
отрезке возрастает и наименьшее значение принимает в левой границе или в 
точке -7. 
Рис. 2.2.12 к решению задания 5.2 
Задание №12 из КИМов профильного уровня относится ко второй 
части. В этих заданиях требуется найти либо точки экстремума функций, 
заданных аналитически, либо наибольшее или наименьшее значение 
функций на отрезке или в области определения функции.
Найдите точку максимума функции:
Задание 6.1 𝑦 = 𝑥
3
− 75𝑥 + 23 
Решение:
1) найдем производную функции: 𝑦
׳
= 3 𝑥
2
− 75. 
2) приравняем значение производной к нулю: 3 𝑥
2
− 75 = 0 <=>
[
𝑥=−5
𝑥=5
3) определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.13 к решению задания 6.1 
Ответ: -5 

30 
Задание 6.2 y = −
𝑥
2
+36
𝑥
Решение:
1) найдем производную функции: 𝑦
׳
= −
2𝑥∙𝑥−1∙(𝑥
2
+36)
𝑥
2
= −
𝑥
2
−36
𝑥
2
. 
2) приравняем значение производной к нулю: −
𝑥
2
−36
𝑥
2
= 0 <=> [
𝑥=−6
𝑥=6
3) определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.14 к решению задания 6.2 
Ответ: 6
Задание 6.3 𝑦 = 6 + 15𝑥 − 4𝑥√𝑥 
Решение:
1) найдем производную функции: 𝑦
׳
= 15 − (4 𝑥
3
2
)
׳
= 15 − 4 ∙
3
2
𝑥
3
2
−1
=
15 − 6√𝑥. 
2) приравняем значение производной к нулю: 15 − 6√𝑥 = 0 <=>
6√𝑥 = 15 <=> √𝑥 =
5
2
<=> 𝑥 =
25
4
<=> 𝑥 = 6,25 
3) определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.15 к решению задания 6.3 
Ответ: 6,25 
Задание 6.4 𝑦 = −
2
3
𝑥
3
2
+ 8𝑥 + 19 

31 
Решение:
1) найдем производную функции: 𝑦
׳
= −
2
3
∙
3
2
𝑥
3
2
−1
+ 8 = −√𝑥 + 8. 
2) приравняем значение производной к нулю: −√𝑥 + 8 = 0 <=> √𝑥 =
8 <=> 𝑥 = 64 
3) определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.16 к решению задания 6.4 
Ответ: 64 
Задание 6.5 𝑦 = √4 − 4𝑥 − 𝑥
2
= (4 − 4𝑥 − 𝑥
2
)
1
2
Решение:
1) найдем производную функции: 𝑦
׳
=
1
2
(4 − 4𝑥 − 𝑥
2
)
−
1
2
∙ (4 − 4𝑥 −
𝑥
2
)
׳
=
1
2
(4 − 4𝑥 − 𝑥
2
)
−
1
2
∙ (−4 − 2𝑥) = −
2+𝑥
√4−4𝑥−𝑥
2
2) приравняем значение производной к нулю: −
2+𝑥
√4−4𝑥−𝑥
2
= 0 <=>
2 + 𝑥 = 0 <=> 𝑥 = −2 
3) определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.17 к решению задания 6.5 
Ответ: -2 
Задание 6.6 𝑦 = (24 − 𝑥)𝑒
𝑥+24
Решение:

32 
1) 
найдем производную функции: 𝑦
׳
= −1 ∙ 𝑒
𝑥+24
+ (24 − 𝑥) ∙
𝑒
𝑥+24
∙ 1 = (24 − 𝑥)𝑒
𝑥+24
− 𝑒
𝑥+24
= 𝑒
𝑥+24
(23 − 𝑥)
2) 
приравняем значение производной к нулю: 𝑒
𝑥+24
(23 − 𝑥) = 0 <
=> [
𝑒
𝑥+24
≠0 
23−𝑥=0
<=> 𝑥 = 23 
3) определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.18 к решению задания 6.6 
Ответ: 23. 
Найдите точку минимума:
Задание 7.1 𝑦 = 𝑥
3
− 192𝑥 + 14 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 3𝑥
2
− 192 
2) Приравняем значение производной к нулю: 3𝑥
2
− 192 = 0 <=>
𝑥
2
= 64 <=> [
𝑥=−8
𝑥= 8
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.19 к решению задания 7.1
Ответ: 8 
Задание 7.2 𝑦 = (𝑥 + 9)𝑒
𝑥−9

33 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 1 ∙ 𝑒
𝑥−9
+ (𝑥 + 9) ∙ 𝑒
𝑥−9
∙ 1 =
𝑒
𝑥−9
(𝑥 + 10) 
2) Приравняем значение производной к нулю: [
𝑒
𝑥−9
≠0
𝑥+10=0
<=> 𝑥 = −10 
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.20 к решению задания 7.2 
Ответ: -10. 
Задание 7.3 𝑦 = (𝑥 − 3)
2
∙ 𝑒
𝑥−7
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 2(𝑥 − 3) ∙ 𝑒
𝑥−7
+ (𝑥 − 3)
2
∙
𝑒
𝑥−7
∙ 1 = 𝑒
𝑥−7
∙ (2𝑥 − 6 + 𝑥
2
− 6𝑥 + 9) = 𝑒
𝑥−7
∙ (𝑥
2
− 4𝑥 + 3) 
2) Приравняем значение производной к нулю: [
𝑒
𝑥−7
≠0
𝑥
2
−4𝑥+3=0
<=> [
𝑥=1
𝑥= 3
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.21 к решению 7.3
Ответ: 3. 
Задание 7.4 𝑦 = 10𝑥 − ln(𝑥 + 11) + 3 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 10 −
1
𝑥+11

34 
2) Приравняем значение производной к нулю: 10 −
1
𝑥+11
= 0 <=>
10(𝑥 + 11) = 1 <=> 𝑥 = −10,9 
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.22 к заданию 7.4 
Ответ: -10,9. 
Задание 7.5 𝑦 = log
5
(𝑥
2
− 6𝑥 + 12) + 2 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
=
1
(𝑥
2
−6𝑥+12)∙𝑙𝑛5
∙ (2𝑥 − 6) 
2) Приравняем значение производной к нулю: [
(𝑥
2
−6𝑥+12)∙𝑙𝑛5≠0
2𝑥−6=0
<=>
𝑥 = 3 
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.23 к решению задания 7.5 
Ответ: 3. 
Задание 7.6 𝑦 = (0,5 − 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 на интервале (0;
𝜋
2
) 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= −𝑐𝑜𝑠𝑥 + (0,5 − 𝑥)(−𝑠𝑖𝑛𝑥) +
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥 − 0,5) 

35 
2) Приравняем значение производной к нулю: [
𝑠𝑖𝑛𝑥=0
𝑥−0,5=0
<=> [
𝑥=𝜋𝑛,𝑛∈𝑍
𝑥=0,5.
Заданному интервалу принадлежит только решение второго уравнение, 
то есть точка 0,5 
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
Рис. 2.2.24 к решению задания 7.6 
Ответ: 0,5. 
Найдите наибольшее значение функции: 
Задание 8.1 𝑦 = (𝑥 − 8)
2
(𝑥 − 9) + 1 на отрезке [−4; 8,5] [21]. 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 2(𝑥 − 8)(𝑥 − 9) + (𝑥 − 8)
2
=
2𝑥
2
− 18𝑥 − 16𝑥 + 144 = 2𝑥
2
− 34𝑥 + 144 
2) Приравняем значение производной к нулю: 2𝑥
2
− 34𝑥 + 144 = 0 <
=> 𝑥
2
− 17𝑥 + 72 = 0 <=> [
𝑥=8
𝑥=9
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.25 к решению задания 8.1 
4) Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума 
𝑦(8) = 1 
Ответ: 1 
Задание 8.2 𝑓(𝑥) = −𝑥
3
+ 3𝑥
2
+ 9𝑥 − 29 на отрезке [−1; 4]. 

36 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= −3𝑥
2
+ 6𝑥 + 9 
2) Приравняем значение производной к нулю: −3𝑥
2
+ 6𝑥 + 9 = 0 <=>
𝑥
2
− 2𝑥 − 3 = 0 <=> [
𝑥=−2
𝑥= 3
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.26 к решению задания 8.2 
4) Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума 
𝑦(3) = −27 + 27 + 27 − 29 = −2 
Ответ: −2 
Задание 8.3 𝑦 = −
4
3
𝑥√𝑥 + 6𝑥 + 13 на отрезке [4;16] [23] 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= −
4
3
∙
3
2
√𝑥 + 6 = −2√𝑥 + 6
2) Приравняем значение производной к нулю: −2√𝑥 + 6 = 0 <=>
√𝑥 = 3 <=> 𝑥 = 9 
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.27 к решению задания 8.3 
4) Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума 
𝑦(9) = −
4
3
∙ 9 ∙ 3 + 54 + 13 = −36 + 67 = 31 
Ответ: 31 

37 
Задание 8.4 𝑦 = 28√2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 28𝑥 + 7𝜋 + 15 на отрезке [0;
𝜋
2
]. 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 28√2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 28
2) Приравняем значение производной к нулю: 28√2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 28 = 0 <=
> 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
√2
2
<=> [
𝑥=
𝜋
4
+2𝜋𝑛,𝑛∈𝑍
𝑥=−
𝜋
4
+2𝜋𝑛,𝑛∈𝑍
 
3) Отрезку принадлежит точка 
𝜋
4
4)Определим значения функции на границах отрезка и в найденной 
точке экстремума, в ответ запишем наибольшее значение 
𝑦(0) = 28√2𝑠𝑖𝑛0 + 7𝜋 + 15 = 7𝜋 + 15 
𝑦 (
𝜋
4
) = 28√2𝑠𝑖𝑛
𝜋
4
− 28
𝜋
4
+ 7𝜋 + 15 = 28 + 15 = 43 
𝑦 (
𝜋
2
) = 28√2𝑠𝑖𝑛
𝜋
2
− 28
𝜋
2
+ 7𝜋 + 15 = 28√2 − 14𝜋 + 7𝜋 + 15
= 28√2 − 7𝜋 + 15 
Ответ: 43 
Задание 8.5 𝑦 = 𝑥
2
− 13𝑥 + 11𝑙𝑛𝑥 + 12 на отрезке [
13
14
;
15
14
] 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 2𝑥 − 13 +
11
𝑥
=
2𝑥
2
−13𝑥+11
𝑥
2) Приравняем значение производной к нулю: 2𝑥
2
− 13𝑥 + 11 = 0 <=
> [
𝑥=1
𝑥=5,5
3) Определим знаки производной на полученных интервалах и 
изобразим на координатной прямой 
 
Рис. 2.2.28 к решению задания 8.5 
4) Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума 

38 
𝑦(1) = 1 − 13 + 12 = 0 
Ответ: 0 
Найдите наименьшее значение функции:
Задание 9.1 𝑦 = 5𝑥 − ln(5𝑥) + 12 на отрезке [
1
10
;
1
2
] [23] 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 5 −
1
5𝑥
2) Приравняем значение производной к нулю: 5 −
1
5𝑥
= 0 <=> 25𝑥 =
1 <=> 𝑥 =
1
25
3) Точка экстремума 𝑥 =
1
25
не входит в заданный отрезок, проверим 
значение функции при 𝑥
1
=
1
10
, 𝑥
2
=
1
2
𝑦 (
1
10
) = 5 ∙
1
10
− ln (
1
2
) + 12 = 12,5 − 2,3 = 10,2 
𝑦 (
1
2
) = 5 ∙
1
2
− ln (
5
2
) + 12 = 14,5 − 0,92 = 13,58 
Ответ: 10,2 
Задание 9.2 𝑦 =
6
3𝑥−𝑥
2
−3
[15] 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
=
−3+2𝑥
(3𝑥−𝑥
2
−3)
2
2) Приравняем значение производной к нулю: −3 + 2𝑥 = 0 <=> 𝑥 =
1,5 
3) Точка экстремума 𝑥 =
1
25
не входит в заданный отрезок, проверим 
значение функции при 𝑥
1
=
1
10
, 𝑥
2
=
1
2
𝑦 (
1
10
) = 5 ∙
1
10
− ln (
1
2
) + 12 = 12,5 − 2,3 = 10,2 
𝑦 (
1
2
) = 5 ∙
1
2
− ln (
5
2
) + 12 = 14,5 − 0,92 = 13,58 
Ответ: 10,2 
Задание 9.3 𝑦 = 𝑒
2𝑥
− 9𝑒
𝑥
− 2 на отрезке [1; 3]

39 
Решение:
1) Найдем производную функции: 𝑦
׳
= 2𝑒
2𝑥
− 9𝑒
𝑥
=
𝑒
𝑥
(2𝑒
𝑥
− 9) 
2) Приравняем значение производной к нулю: 𝑒
𝑥
(2𝑒
𝑥
− 9) = 0 <=>
2𝑒
𝑥
= 9 <=> 𝑒
𝑥 
= 4,5 <=> 𝑥 = 𝑙𝑛4,5 
3) 
𝑦(1) = 𝑒
2
− 9𝑒
1
− 2  
𝑦(𝑙𝑛4,5) = 20,25 − 9 ∗ 4,5 + 12 = −8,25 
𝑦(3) = 𝑒
6
− 9𝑒
3
− 2 
Ответ: -8,25 
Решенные типовые задания являются примерами для последующего 
выполнения заданий на ЕГЭ. Были вычислены производные степенных, 
иррациональных, тригонометрических, логарифмических функций, а так же 
произведение и частное сложных функций. В приложении представлены 
задания для самостоятельного решения. 

жүктеу/скачать 2.47 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: