Жазық электрмагниттік толқындар

бұл жерде - таралу комплекстік козффициенті, β - фаза коэффициенті немесе толқындық сан, α - әлсірету коэффициенті.

Гельмгольц теңдеудің жеке шешімі бір қалыпты жазықтық толқынды суреттейді. Егер ол координаттар декарттік жүйесінің 2 өсі бойында таралса, онда аталған шешімнің түрі мынадай.

(3.2)

Бірінші қосылғыш z мәндерінің оң жаққа қарай таралатын тікелей (құламалы) толқынға сәйкес, екінші қосылғыш z мәндерінің керіс жаққа қарай таралатын (шағылыс) толқыңға сәйкес.

Егср және белгілі болса, онда β және αмына формула арқылы табуға болады

бұлжерде -комплекстік санның модулі;

Жоғарғы жиіліктерде көпшілік орталардың магниттік қасиеттері нашар білінеді. Сондықтан μ_а = μ₀ деп санауға болады.

Комплекстік таралу коэффициентінің түрі мынадай

(3.3)

β деген фаза коэффициенті толқындар таралу кезіндегі гармоникалық тербелістер фазасының өзгеруін сипаттайды. Фаза 2π радианға өзгерілетін алыстықты толқынның ұзындығы деп аталынады

Тең фазалардың жазықтығын толқынның фазалық фронты деп атайды, ал бұл жазықтықтың жылжу жылдамдығын фазалық жылдамдық деп атайды

Фаза және әлсірету коэффициенттері мына формулалармен жазылады

Сонымен бұлардың арасында мына қатыстық пайда болады α=βtg(δ/2). Фазалық жылдамдық

толқын ұзындығы

Жазықтық толқын жағдайда және векторлардың комплекстік амплитудалары ортанық сипаттамалық кедергісімен байланысты

Z_c=??_a/?= (3.9)

сондыңтан

Мысал 3.2 Бастапкы жазықтықта z=0 жазық элекірмагниттік толқынның электр өрісі кернеулік векторының амплитудасы Е_т(0)=700 В/м. Жазықтық амплитуданы Е_m(400) есептеңіз. Погондық өшу Δ_nor=0,2 дБ/м. Таралу жолы бойындағы толқынның толық өшуі 0.2·400=80 дБ, яғни Lg[E_m(0)/E_m(400)]=80/20=4. Антилогарифмді есептеп

Е_m(400)=E_m(0)/10⁴=0,07 В/м табамыз. Өріс амплитудасының едәуір (10 000 есе) азайғанына көңіл аударыңыз.

Мысал 3.3 Параметрлері ε=5; μ=7; шығынсыз ортадағы f=200 МГц жиілігі бар толқын ұзындығын λ табыңыз.

Фазалық жылдамдық м/с. Бұл жерде толқын ұзындығы λ=υ_ф/f=0,2535м.

Мысал 3.4 Полистиролда таралатын жиілігі f=40 ГГц біртекті жазық электрмагниттік толқынның фазалық коэффициенті β, толқын ұзындығын λ және погонды өшуін табу керек. Кең көлемде қолданылатын бұл диэлектриктің параметрлері: ε=2,56; tgδ=3·10^-4

Полистиролдағы толқын ұзындығы

λ=2π/β=6,28/1340=4,69·10^-3 м =4,69 мм.

Өшу коэффициенті:

Бұл жерден погонды өшу

Δ_пог = 8,686а = 1,75дБ/м.
3.3 Өз бетінше шөшуте арналған есептер
3.5 Вакуумда 30 МГц жиілікпен жазықты электрмагниттік толқын таралынады. 2520° және 270° толқын фазасының өзгерілетін алыстықтарын анықтау керек.

3.6 Шығынсыз ортадағы таралынатын электрмагниттік толқынның фазалық жылдамдығын және ұзыңдығын анықтау керек, егер оның жиілігі 10 МГц, қатыстық өтімділіктері ε = µ = 10 болса.

3.7 Ортанық сипаттамалық кедергісі 1508 Ом, қатыстық диэлектрлік өтімділігі ε = 1.

Ортанық қатыстық магниттік өтімділігін анықтау керек.

3.8 ε = 4, µ = 1, σ = 0 параметрлері бар ортада жазықты электрмагниттік толқын таралынады. Ζ=0 жазықтыктағы электрмагнит өрісінін кернеулік векторынан комплекстік амплитудасы .

Магнит өрісінің кернеулік векторының комплекстік амплитудасын анықтау керек, егер толқын z координатының өсу бағытында таралынатын болса.

3.9 10 кГц және 1 МГц жиіліктердегі µ = 1 қатыстық магнит өтімділігі және 6·10⁷ См/м меншікті электр өткізгіштігі бар металлдың сипаттамалық кедергісін анықтау керек.

3.10 х және у көлденең координаталарына тәуелсіз, және тек Е_z Н_z проекциялары нөльге тең болмайтын таза бойлық электрмагнит толқыңдарының болуының принцип бойынша мүмкін емес екенін дәлелдеңіз.

Нұсқау: декарттік координаталар жүйесінде жазылған Максвеллдің алғашқы екі теңдеуін пайдаланықыздар.

3.11 Қандайда бір шығынсыз материалдық ортада таралған жиілігі f=80МГц жазық гармоникалық толқынның ұзындығы λ=0,7м. Осы толқынның фазалық жылдамдығын есептеңдер.

3.12 z координатасының өсу бағытымен таралатын жазық толқынның комплекстік амплитудасы V+(z)=200ехр(-γz), мұндағы γ=0,3+j0,5м^-1. Толқындык процесстің жиілігі ω=8·10⁴с^-1 мезетінде z=5м жазықтығындағы υ(z,t) функциясының лездік мәнін есептеп табыңыз.

3.13 Біртекті жазық толқынның погонды өшуі 0,45 дБ/м. Қандай қашыктықта бастапқы деңгеймен салыстырғанда толқынның амплитудасы 10⁶ есе азайады.

3.14 Атмосфералық ауанық қалыпты жағдайда электрлік тесілуі тек электр өрісі кернеулігнің мәні 3·10⁶ В/м жеткенде байқалады. Ауада таралатын жазық электрмагнит толқынның Пойнтинг векторы модулінің орта мәнінің рұқсат етілген шегін табыңыз.

3.15 Уақыт бойынша гармоникаша өзгеретін біртекті жазық электрмагнит толқыны параметрлері ε=4,5, µ=1 шығынсыз ортада таралған. Электр өрісінің кернеулік векторының амплитудасы Е_m=30 В/м. Магнит өрісінің кернеулік векторының амплитудасына және Пойнтинг векторының орта мәнінің модулін табыңыз.

3.16 Пойнтинг векторы орта мәнінің модулі П_ор=0,8 Вт/м² болатын жазық гармоникалық электрмагниттік толқын вакуумде таралған. Берілген толқынның электрлік ығысуы D_m және магнит индукциясы В_m векторларының амплитудалық мәндерін есептеңдер.

3.17 Параметрлері ε=4, µ=7, tgδ=3·10³ материалдық ортанық сипаттамалық кедергісін Z_с табыңыз.

3.18 Шығынды ортада таралған жазық толқынның өшу коэффициенті α=0,015м^-1. Толқынның таралу бағыты z>0, z=0 болғандағы Пойнтинг векторы орта мәнінін модулі П_ор(0)=60 Вт/м². Координаты z=100 м жазықтықтағы П_ор мәнін есептеп табыңыз.

3.19 Жиілігі ω=10⁶ с^-1 жазық электрмагниттік толқынның параметрлері ε=2, µ=3, σ=2·10^-5 См/м материалдық ортадағы фаза коэфициентін β және өшу коэфицентін α табыңыз.

3.20 Параметрлері ε=2.1, µ=Т, tgδ=4·10^-4 диэлектриктегі жиілігі f=3 ГГц жазық электрмагниттік толқынның өшу коэфицентін α табыңыз.

3.21 Эллипстік поляризацияланған жазық электрмагниттік толқын вакуумде z координатасының кему бағытымен таралған. Толқынның электр өрісі кернеулік векторының комплекстік амплитудасы В/м. Осы толқынның векторының комплекстік амплитудасын табыңыз.

3.22 Жазық толқынның толқындық векторы декарттік координата жүйесіндегі х, у, z өстерінің оң бағыттарымен бірдей Ө бұрыш құрайды. Бұл қаңдай бұрыш?
4 Электрмагниттік өріс векторлары үшін шекаралық шарттар
4.1 Теориядағы негізді мәлімдер
Магниттік өріс векторларының тангенциалды және нормалды құраушылары үшін шекаралық жағдайлар келесі формула арқылы анықталады.

(4.1)

Электрлік өріс векторларының тангенциалды және нормалды құраушылары үшін шекаралық жағдайлар мына формуламен есептелінеді

Егер σ₁ меншікті тығыздығы бар электрлік сыртбетті заряд шекара бөлуде бір қалыпты үлестірілсе, онда

4.2 Типті есептердің шығару мысалдары

Шекаралық шарттарды пайдаланайық.

Е_1τ =Е_2τ, D_1n= D_2n, немесе Е₁sinθ₁= Е₂sinθ₂,

ε₁E₁cosθ₁= ε₂E₂cosθ₂. Бірінші теңдеуді екіншіге бөлейік (1/ε₁)tgθ₁=(1/ε₂)tgθ₂, яғни θ₂=arctg((ε₂/ε₁) tgθ₁).

Егер ε₂→∞, онда θ₂→π/2, яғни бірінші ортадағы электр өрісінің бағытына тәуелсіз екенін айта кеткені жөн.
4.3 Өз бетінше шөшуге арналған есептер
4.2 Декарттық координаталар жүйесінде ХОҮ жазықтығының әрбір нүктесінде Е=7і_х+4і_у+3і_z векторы берілген. Осы вектордың нормаль Е_n және жанама Е_τ құраушыларын табыңыз.

4.3 Радиусы 12 мм идеал өткізгіш цилиндрі бойымен амплитудасы 2А айнымалы ток жүріп тұр. Бет тогының тығыздық векторының амплитудалық мәнін табыңыз.

4.4 Декарттік координат жүйесіндегі кеңістіктің бір жартысы z>0 ауамен, ал екінші жартысы z<0 параметрі σ₂=2·10⁷ См/м өткізгіш затпен толтырылған. В/м.

Табыңыз:

б) жылу шығынының меншікті қуат тығыздығын.

яғни әлсірету коэффииценті және фаза коэффициенті жиілікке тәуелді болады.

Фазалық жылдамдықта жиілікке тәуелді

(5.2)

Толқын ұзындығы

жиілікке кері пропорционалды. Толқындык кедергі

Металл ұқсастық ортадағы жазықтың толқындар амплитудасы алғашкы мен салыстырғанда 1=2,718 рет есе d алыстықта кішірейді. Осы d алыстықты еңу терендігі немесе сырт беткі қабатын қалындығы деп атайды.

Плазма және оның электрдинамикалық параметрлері. Плазма бұл бейтарап атомдар мен молекулалардан және оң мен теріс зарядталған бөлшектерден тұратын иондалған газ.

Ne(м^-3)≈10¹² м^-3 жерлік ионосферадағы электрондардың орт саңы. Плазманың қатыстық диэлектрлік өтімділігі

(5.6)

бұл жерде е, m - электронның массасы және заряды;

ν - бейтарап бөлшектері бар электроннын соғылысу жиілігі, с^-1.
5.2 Типті есептердің шығару мысалдары
Мысал 5.1 σ=5,7·10⁷ См/м, μ_ам=μ₀=4π·10^-7 Гн/м деп алып 100 МГц жиілікте мыстағы фазалық жылдамдықты және толқын ұзындығын табыңдар.

м/с;

м.

Көңіл аударалық бір жай, радиодиапазон жиіліктерінде жазық толқындарының жылдамдығы вакуумдегіге қарағанда металлдарда біршама аз болады.

Мысал 5.2. Соқтығыспайтын плазмадағы электрондардың концентрациясы N_c = 2·10¹¹ м^-3. Осы плазманың сипаттамалық кедергісі

600 Ом болатын электрмагниттік әрістің жиілігін табыңдар.

түбірі оң

Бұл жерден с^-1 немесе f = 4,978 МГц.

Мысал 5.3 f = 15 МГц жиілікте, электрондардың концентрациясы N_с=10¹⁸ м^-3 болғанда қалындығы d=0,03 м плазмалық қабықтағы электрмагниттік толқынның әлсізденуіп есептеп табындар.

Плазмалық жиілік f=8,98=8,98 ГГц. f_пл/f=600 қатынасы таралудың шектен шыққан режим екенін қажетті денгейде көрсетіп тұр. Көрсетілген жиіліктегі жазық толқынның вакуумдегі фазалық коэффициенті β₀=0,314 м^-1. Плазмадағы толқынның әлсіздену коэффициенті

Логарифмдік бірлікте

Δ_пог= 8,686а = 1637дБ/м.

Сонымен, егер Е_mвх және Е_mвых - қабаттық кірісі мен шығысындағы электр өрісі кернеулігінің амплитудалары болса, онда

Мысал 5.4 Электрондар концентрациясы N_е =2·10¹² м^-3 соқтығыспайтын плазмада (ионосфера) ұзындығы L=150 км сол бір трассаны ұзақтығы τ_и=100 мкс бірдей екі тікбұрышты радиоимпульс басып өтеді. Импульстердің тасымалдаушы жиіліктері f₀₁=15 МГц, f₀₂=28 МГц сәйкесінше. Импульстердің сол трассаны басып өту уақыттарының айырмасын – Δt шамасын анықтандар.

Бірінші радиоимпульстің спектрлік тығыздығы 5 МГЦ жиіліктің айналасына шоғырланған. Спектрлік диаграмманның бірінші нольдерінің арасындағы жиілік интервалы, яғни бірінші радиоимпульстің спектр ені, Δf≈2/τ_и=20 кГц. Екінші импульсте 28 МГц жиілігі айналасына шоғырланған, спектр ені бірінші импульстікімен бірдей. Салыстырмалы спектр ені (Δf/f_01,2~10^-3 қажетті шамада аз болғандықтан, импульстердің таралу жылдамдықтары олардың сәйкесінше топталған жылдамдықтарына тең болады. Алдымен Ленгмюр жиілігін есептейміз f_пл=12,7 МГц.

м/с

м/с

мкс.

Бұл жерден импульстердің ұзақтығынан 4 есе шамасындай артық.

f_а=f₀+Δf/2=32,8 МГц

f_н=f₀ - Δf/2=31,2 МГц

Спектр ені бойынша бағаланған импульс ұзақтығы

τ_и=1/Δf=0,625 мкс

Екі шеткі топтың таралу уақытының айырмасы нс, егер L=1 км болса, Δt=0,73 мкс, егер L=100 км болса.

Бірінші жағдайда Δt<<τ_и, болғандықтан, дисперсиялық өзгеруді ескермей қоюға да болады. Ал ұзын трассада Δt≈τ_u, сондықтан импульстің "шайылу" әсері әжептеуір байқалады.
5 3 Өз бетінше шөшуге арналған есептер
5.6 АСЖ (аса жоғары жиілікті) - құрылғыларда омдық шығындарды азайту үшін ток өткізетін беттерді жұқа күміс қабатымен қаптайтыны белгілі. Металл - ауа бөлгіш шекарасындағы өріс кернеулігімен салыстырғанда ішкі беттердегі электр өрісі кернеулігін 200 есе азайтатын күміс қабатының қалындығын табыңдар. Тербеліс жиілігі 30 ГГц.

5.7 Теніз суының салыстырмалы диэлектрлік өтімділігі ε=75, салыстырмалы магнит өтімділігі μ=1, σ=2 См/м (мәліметтер әлем мұхиттарының көп нүктелерін орталау жолымен алынған). 300 МГц төмен жиілікте мұндай ортада өткізгіштік тогымен салыстырғанда ығысу тогын ескермесе де болатынын көрсетіндер. 100 кГц және 30 МГц жиіліктерінде элекірмагниттік толқындардың теңіз суына ену терендігін есептендер.

5.8 Соқтығыспайтын плазманың Ленгмюр жиілігіс^-1. Жиілігі (ω=3·10⁷ с^-1 жазық сызықты поляризацияланған электрмагниттік толқынның кеңістіктің қандай да бір нүктесіндегі электр өрісі векторының х өсіне түсірілген проекциясының комплекстік амплитудасы Е_х=180ехр(j60°) В/м. Осы нүктедегі өрістің магнит векторының γ-проекциясының комплекстік амплитудасын табыңыз.

5.9 Жиіліктің ω қандай мәнінде параметрлері N_е =3·10¹⁷ м^-3, ν=5·10⁹ с^-1 электроңды плазманың абсолют диэлектрлік өтімділігінің нақты бөлігі нөльге айналатынын табыңдар.

5.10 Жазық электрмагниттік толқын Ленгмюр жиілігі ω_пл=7·10⁸ с^-1 және соқтығысу жиілігі ν= 3,5 10⁸ с^-1 плазмада таралады. Плазмалық ортаның δ диэлектрлік шығынның бұрышы 45° болғандығы өріс жиілігінің ω мәнін есептеп табындар.

5.11 Параметрлері Nе =5·10⁸ м^-3, ν=3·10¹⁰ с^-1 біртекті иондалған ортада таралған жазық электрмагниттік толқынның фазалық жылдамдығын табыңдар. Өріс тербелісінің жиілігі f= 22 ГГц.

Бұл толқындардың комплекстік амплитудалары құламалы толқынның комплекстік амплитудасымен шағылыс коэффициенттермен байланысты.

және сыну коэффициенттермен

Егер кұламалы толқынның Пойнтиш векторы бөлу шекараға перпеңдикулярлы болса, онда

Шекаралық жағдайлардан мынадай қорытынды шығып отыр: құламалы φ_қ шағылыс φ_ш және сыну φ_с бұрыштық айналық шағылыс заңмен φ_қ = φ_ш және Снелли заңмен байланысты болып отыр

Егер құламалы жазықтыда болса, онда

Егер құламалы жазықтыққа перпендикүлярлы болса, онда

Магниттіксіз орталар үшін Брюстер бұрыш мәнін мына қатыстықтан табуға болады

Сипаттамалық диэлектрлік кедергісі Ом. Пойнтинг векторларының орташаланған модулі (Вт/м2)

Вакуумнен диэлектрикке электрмагниттік толқынның барлық қуаты өтетінін қарастырып отырған оқиғадан оңай байқауға болады.

Мысал 6.2 ε=3.8, μ=1 параметрлерінен тұратын, диэлектрлік бөлігінің шекарасында φ=60° бұрышпен, жазық электрмагниттік толқын перпендикуляр поляризациялануы ауадан құлады. Амплитудалық вектор кернеулігінің электрлік кеңістікте құлауы Е_mпад=0,4 В/м. Сыну толқынының және шағылысқан магниттік кеңістігтнің кернеулік векторының амплитудасын табу керек.

Сипаттамалық диэлектрлік кедергісі

Сонда

Мысал 6.3 Табу керек фазалық жылдамдықты және біртексіз жазық толқынның терендігінің өтімділігін, құлаудан пайда болған жазық электрмагниттік толқынның 1-ші ортадағы көрсеткіштері ε₁=3,4, μ₁=1, ал 2-ші ортадағы шекарасының белігі ε₂=1, μ₂=1 көрсеткіштерінен тұрады. Құлау бұрышы φ=45°, өрістің жиілігі f=35 ГГц.

Берілген жағдайдағы толық бұрыштың ішкі шағылысуы

φ > φ_пво болғандықтан, яғни біртексіз жазық толқындары 2 ортада пайда болады.

Комплекстік бұрыштың сынуын есептеу үшш, Снелл заңын колданамыз.

осыдан салыстырмалы α теңдеуін аламыз:

сһа=1/2(е^α+е^-α)=163.

Бұл трансцендеyттік теңдеуін шөшу үшін, келесі түрге келтіреміз:

α=ln(2.6 – е^-α).

α=0 мәндік түбірін нольге жақын етіп алып және микрокалькуляторда тізбектіr интеграция қатарына келтіріп, жуықтап алынған мәнінің түбірі α=0,756.

Осы тәсілмен, сыну бұрышы

ψ=π/2+j0,756.

2 ортада біртекті жазық толқынның фазалық коэффициенгі

β₂=ω/с=733 м^-3

Беттік толқынның фазалық коэффициенті