Расчетно-графическая работа №1

Расчетно-графическая работа № 1

Рассматривается движение точки M(x,y) в плоскости Oxy; Oxy – неподвижная декартова система координат. Для задания движения точки координатным способом необходимо дать зависимости изменения координат точки от времени

Эти зависимости называются уравнениями движения точки на плоскости. Одновременно они являются параметрическими уравнениями траектории, где параметр – время t.

Пусть i и j – орты осей Ox и Oy. Радиус-вектор точки r(t) может быть записан через скалярные функции x(t), y(t) в виде

r(t) = x(t) i + y(t) j

Скорость точки M

Таким образом, проекции вектора скорости являются производными от координат движущейся точки по времени v_x = x¢ (t), v_y = y¢ (t).

Величина скорости и ее направление задаются равенствами:

v = ½v½ = , cos (v,i) = x¢ /v, cos (v,j) = y¢ /v

Ускорение точки M

где a_x = x² (t), a_y = y² (t) – проекции ускорения на оси Ox и Oy. Для модуля и направления вектора ускорения имеем равенства

Чтобы получить уравнение траектории в форме зависимости между координатами x и y, надо исключить время t из параметрических уравнений траектории (1.1)

При этом траекторией точки может быть не вся кривая, представленная уравнением (1.2), а только ее часть, соответствующая положительному значению параметра t.

Если траектория точки известна, то задать движение точки можно естественным способом. Для этого задается точка начала отсчета M₀ на траектории, выбирается положительное направление движения и указывается закон движения в виде

s = s(t).

Параметр s является криволинейной координатой. Знак s указывает: по какую сторону от начальной точки M₀ находится на траектории текущая точка M. В каждой точке M плоской траектории можно построить оси естественной системы координат: касательную прямую t и главную нормаль n с ортами t⁰ и n⁰. За положительное направление касательной выбирается направление в сторону роста параметра s по траектории. Главная нормаль направлена в сторону вогнутости траектории под прямым углом к направлению касательной в данной точке. При движении точки M система естественных осей Mtn также движется, и направления осей меняются с течением времени.

При s¢ > 0 точка движется в положительном направлении отсчета s, а при s¢ < 0 – в противоположную сторону. Модуль скорости вычисляется по формуле

Вектор ускорения допускает представление

где r – радиус кривизны траектории в данной точке.

• 
  a_t = s² t⁰ – касательная составляющая ускорения точки;
  
• 
  a_n = v²/r n⁰ – нормальная составляющая ускорения.
  

Величина полного ускорения

где a_t = v_t¢ = s², a_n = v²/r – проекции вектора ускорения на касательную и нормаль. Приведем также формулу для проекции вектора a ускорения на направление вектора скорости v

Заметим, что ½a_v½ = ½a_t½.

Модуль проекции ускорения на касательную характеризует изменение скорости по величине, а знак показывает направление касательной составляющей ускорения:

• 
  если a_tv_t > 0, то движение точки является ускоренным, при этом векторы a_t и v направлены в одну сторону;
  
• 
  если a_tv_t < 0, то движение точки является замедленным, векторы a_t и v направлены в противоположные стороны.
  

Рассмотрим различные частные случаи движения точки.

• 
  Если a_t º 0, то движение точки вдоль траектории является равномерным (v º const); если при этом движение является криволинейным, то a = a_n.
  
• 
  Если a_n º 0, то движение точки является прямолинейным и a = a_t,
  
• 
  Условие a º 0 означает, что движение является равномерным и прямолинейным.
  

Пусть M₁, M₂, ¼, M_n – несколько последовательных положений движущейся точки M на траектории в моменты времени t₁, t₂, ¼, t_n соответственно. Пусть также v₁, v₂, ¼, v_n – векторы скорости точки в те же моменты времени. Перенесем векторы скоростей, не меняя их длин и направлений, в начало координат O₁. Концы векторов будут расположены на некоторой непрерывной линии, которая и называется годографом скорости.

Радиус-вектор = v любой точки на годографе имеет координаты

. (1.3)

Уравнения (1.3) являются параметрическими уравнениями движения точки N по годографу скорости. Если исключить из этих уравнений время t, то получим уравнение годографа скорости в декартовых координатах O₁x₁y₁.

Очевидно, что при равномерном криволинейном движении в плоскости годографом скорости будет окружность с радиусом, равным величине скорости. При прямолинейном переменном движении годографом скорости является отрезок прямой, параллельный траектории точки. В случае равномерного прямолинейного движения годограф скорости вырождается в точку.

Задача

Последовательность выполнения задачи

2. Записать уравнения движения в форме, общей для всех вариантов, заменяя нулями недостающие коэффициенты:

3. Произвести вычислительную часть задачи на компьютере при помощи стандартной программы.

4. Произвести проверку решения в начальный и конечный моменты предложенного Вам интервала времени. Эту часть работы можно выполнить и до того, как Вы обратитесь к компьютеру. В этом случае удобно сравнить полученные “вручную” результаты с результатами последующего счета на компьютере, которые следует представить в печатном виде.

5. Построить на миллиметровой бумаге, пользуясь результатами счета:

1. 
   Траекторию точки.
   
2. 
   График скорости.
   
3. 
   Графики ускорений: полного, касательного, нормального.
   

6. Воспользоваться графиком a) и построить на нем годограф скорости, выбирая значения скоростей в точках разбиения траектории из отпечатанных результатов.

7. Если в Вашем варианте a₁ = b₁ = 0, т. е. в уравнениях движения точки отсутствуют линейные члены, то исключить время из этих уравнений и записать уравнение траектории в неявной форме F(x,y) = 0. При помощи отпечатанных результатов убедиться, что эта кривая соответствует тому, что Вы получили при расчете на компьютере.

8. Получить аналитически уравнения годографа скорости и сравнить полученный результат с соответствующей кривой на графике a).

9. Произвести анализ соответствия трех графиков ускорений в экстремальных точках интервала (t₀, t₁), если таковые есть в Вашем варианте.

10. Оформить работу в соответствии с принятым стандартом. После расчета (пункт 3) создать текстовый файл результатов, в начале которого указать свои данные: фамилию, инициалы и номер группы. Текст файла включить в итоговый отчет о работе.

Пример выполнения задания

Решение

Рис. 1.1

OP = rj = 0,5Rpt/2 = 15pt (см),

или

2. Записываем уравнения движения в форме, требуемой алгоритмом задачи:

3. Производим вычисления на компьютере (пример см. на Рис. 1.2) и получаем результаты в печатном виде для отрезка времени t Î [0, 2].

Рис. 1.2

Вычисляем скорость точки. Для этого вычисляем производные от координат точки

Подставляем сюда начальный и конечный моменты времени. По­лу­ча­ем

Вычисляем ускорения точки M: полное, касательное и нормальное. Сначала вычислим проекции ускорения на координатные оси

Теперь можно найти полное ускорение

Таким образом, полное ускорение точки M остается постоянным по модулю во все время движения. Касательная составляющая уско­ре­ния точки M

Нормальная составляющая ускорения

Радиус кривизны траектории в крайних точках интервала

5. Строим траекторию точки на плоскости (Рис. 1.3). Строим также график зависимости величины скорости (Рис. 1.4), а также графики зависимости полного ускорения (сплошная линия) и его касательной (точки) и нормальной (пунктир) составляющих (Рис. 1.5) от времени.

6. На чертеже Рис. 1.3 в соответствующем масштабе строим касательные векторы скоростей, откладывая их от точек траектории и от начала координат. В последнем случае соединяем концы векторов скоростей, получая таким образом годограф скорости.

7. Поскольку a₁ ¹ 0, запись уравнения траектории в неявной форме в заданном варианте не требуется.

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Исключая из этих уравнений параметр t, получим уравнение годо­гра­фа скорости в неявной форме

Это уравнение окружности радиуса 30p см с центром в точке (15p,0), что подтверждается построенным графиком годографа.

Табл. 1.1

Табл. 1.2

Табл. 1.3