Реферат Тақырыбы: «Логарифмдік және көрсеткіштік теңдеулер»
жүктеу/скачать 386.62 Kb.
|
| 2 Негізгі бөлім
2.1. Логарифмдік функция және олардың қасиеттері Логарифм (logos — қатынас және arіthmos — сан), N санының негізі бойынша логарифмі — N санын алу үшін а саны m дәреже (Логарифм негізі), бұл logaN түрінде белгіленеді. Сонымен, егер am=N болса, m=logaN. а<0 болғанда шексіз көп оң сандардың нақты логарифмі болмас еді, сондықтан да a>0 деп алынады. Логарифмдік функциялардың қасиеті бойынша, кез келген оң санның берілген негізі бойынша бір ғана нақты Логарифмі болады (теріс санның Логарифмі Логарифмді ойлап тапқан және логарифмдік кесте құрастырған ғалым туралы қысқаша айта кетейік. Джон Непер – шотландияда туған. 16 жасында континентке кетіп, 5 жыл Европаның әртүрлі университеттерінде оқып, математиканы игерген. Кейін астрономия және математикамен терең айналысқан. Логарифмдік есептеулер идеясына Непер 16-ғасырдың 80-жылдарында келген, дегенмен өзінің кестесін 25 жыл есептеулерден кейін 1614 жылы ғана жариялаған. Ол «Логарифмдік керемет кестелер сипаты» деген атпен шыққан. «Логарифм» деген терминнің өзін де Непер ұсынған, ол оны «қолдан жасалған сан» деп аударған. Непердің кестелері мен идеялары тез таралып, қолданықа түскен. «Непер ережесін» және «Непер аналогияларын» сфералық тригонометрияда кездестіруге болады. логарифмдік терминнің («сандардың қатынасы»деген мағынаны білдіреді) тұңғыш ұсынған ғалым. Гректің екі сөзінің бірігуінен құралған: -сан және - қатынас. Бюрги және Непер еңбектері есептеу жұмыстары анағұрлым жеңілденді. Уақыт өте келе, ол кең етек жая бастады. Логарифм көбінесе физикалық есептерді шығарғанда және химиялық, биологиялық басқа да процестерге математикалық сипаттама берген кезде қолданылады. Логарифмдік функциялардың қасиеттеріне түрлендірулер жүргізген кезде, сондай-ақ теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешуде қолданылуда. 1.b санының негізі а болғандағы логарифмі дегеніміз - b саны шығу үшін негіз шығарылатын дәреже көрсеткіш.a негіздегі b санының логарифмі loga b деп белгіленеді. 2. Егер a > 0, a ≠ 1, b > 0, онда теңдігі логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі деп атайды. Мысалы, 3. Ондық логарифмді log10 b, мұндағы b- кез-келген оң сан, lg b деп жазады. Логарифмдік функция, қасиеттері 1. (мұндағы a > 0, a ≠ 1) N > 0 үшін ғана орындалады. 2. loga N - негізі a > 1 әрі N > 1 болса, онда логарифмнен оң сандар, ал 0 < N < 1 болса, онда теріс сандар шығады. Мысалы, 3. loga N – негізі 0 < a < 1 әрі N > 1 болса, онда логарифмнен теріс сандар, ал a < N < 1 болса, онда оң сандар шығады. Мысалы, 4. Егер a > 1, онда loga N1 < loga N2 теңсіздігінен N1 > N2 екені шығады. Мысалы: log37 > log35 осыдан 7>5. 6. Егер 0 < a < 1, онда loga N1 < loga N2 теңсіздігінен екені шығады. Мысалы: осыдан 9>7. 7. loga1 = 0 (a>0, a ≠ 1). 8. logaa = 1 (a>0, a ≠ 1). y = loga x функциясының қасиеттері, егер a>1: А) D(f) = R+; Б) E(f) = R; В) функция өспелі; Г) егер x = 1болса, онда loga x = 0; Д) егер 0 < x < 1 болса, онда loga x < 0; Е) егер x > 1 болса, онда loga x > 0. y = loga x функциясының қасиеттері, егер 0 < a < 1: А) D(f) = R+; Б) E(f) = R; В) функция кемімелі; Г) егер x = 1 болса, онда loga x = 0; Д) егер 0 < x < 1 болса, онда loga x > 0; Е) егер x > 1 болса, онда loga x < 0. Логарифм формулалары Логарифмнің негізгі қасиеттері: loga(МN)=logaМ+logaN; loga(M/N)=logaM–logaN; logaNk= =klogaN; (яғни сандарды көбейту және бөлу Л-ін олардың Л-дерін қосу мен алуға, ал дәрежеге шығару мен түбір табу Логарифмін сол дәреже немесе түбір көрсеткішіне көбейту мен бөлуге, яғни барынша қарапайым амалдарға келтіруге мүмкіндік береді). Егер a негізі белгілі болса, анықталған Логарифм жүйесі туралы айтуға болады. Әдетте lgN түрінде белгіленетін ондық Логарифм (a=10) көбірек қолданылады. 10k (k — бүтін сан) санынан басқа рационал санның ондық Логарифмі ондық бөлшек түрінде жуықтап өрнектелетін трансцендент сан. Ондық Логарифмнің бүтін бөлігін сипаттамасы, ал бөлшек бөлігін мантиссасы деп атайды. lg(10 kN)=k+lgN болғандықтан, 10k көбейткішімен ерекшеленетін сандардың ондық Логарифмінің мантиссасы бірдей, тек сипаттамалары әр түрлі болады. Логарифм кестелері осы қасиетке негізделіп жасалған, онда бүтін сандардың тек мантиссалары ғана берілген. Негізі e=2,71828... трансцендент сан болатын натурал Логарифмнің де маңызы зор; ол lnN түрінде белгіленеді. Логарифмнің бір негізінен екінші негізіне ауысу үшін logbN=logaN/logab формуласы қолданылады. 1/logab көбейткіші a негізден b негізге ауысу (өту) модулі деп аталады. Натурал Логарифмнен ондық Логарифмге немесе керісінше өту lnN=lgN/lge, lgN=lnN/ln10; 1/lge=2,30258; 1/ln10=0,43429... формулалары арқылы жүзеге асырылады. Логарифм атауын Дж. Непер ұсынған. Логарифм ең алдымен 16 ғасырда астрономияның тез дамуымен, астрономия бақылауларды анықтай түсуге және астрономия есептеулердің күрделілене түсуіне байланысты ашылды. Алғашқы Логарифм кестелерінің авторлары геометриялық прогрессия қасиеттері мен оның мүшелерінің дәреже көрсеткіштерінен құрастырылған арифметикалық прогрессия қасиеттерінің арасындағы тәуелділікті пайдаланған. Бұл тәуелділіктерді б.з.б. 3 ғасырда Архимед ішінара байқаған болатын, 1484 ж. Н.Шюке, 1544 ж. М.Штифель оларды жақсы білген. Алғашқы Логарифм кестелерін 1614 — 1619 ж. Дж.Непер мен 1620 ж. Й.Бюрги бір-біріне тәуелсіз және бір мезгілде құрастырған. Логарифмді теория тұрғыдан зерттеуде Бельгия математигі Григорий мен Л.Эйлер (1707 —1783) еңбектерінің маңызы зор Логарифмдік функция — x = e^y көрсеткіштік функциясына кері y=lnx функциясы. х аргументінің белгілі бір мәніне сәйкес келетін у Логарифмдік функцияның мәні х санының натурал логарифмі деп аталады. Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттері көрсеткіштік функция мен логарифмдердің қасиеттерінен шығады. Математика анализ курсында \log_a x = y\, (мұндағы x>0, а>0, a \ne 1) Логарифмдік функциясы қарастырылады. Бұл функция y=lnx Логарифмдік функциямен қатынасы арқылы байланысады. \log_a x\, Логарифмдік функциясы x>0 болғанда анықталған, бірсарынды (монотонды) (а>1 болғанда өседі, 0<а<1 болғанда кемиді), үзіліссіз және шексіз дифференциалданады. Логарифмдік функция өзінің анықталу облысындағы әрбір нүктенің маңайында дәрежелік қатарға жіктелуі мүмкін. Қарапайым логарифмдік теңдеу және теңсіздіктің мәндес өзгерісінің орындалу схемасы ( болғандықтан, онда және сондықтан ақырғы теңдеудің (ММЖ) (ОДЗ) автоматты түрде ескеріледі.) немесе , мұнда онда Теңсіздің таңбасы өзгермейді және (ММЖ) (ОДЗ) есептеледі онда Теңсіздің таңбасы өзгереді және (ММЖ) (ОДЗ) есептеледі Осы бөлімде оң санның логарифмінің анықтамасы мен логарифмнің қасиеттерін қарастырамыз. Аталған анықтама мен қасиеттерді білу логарифмдік өрнектерді түрлендірулерге, логарифдік функцияларды зерттеуге, логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешуге қатысты есептерді қарастырғанда қажет болады. «Логарифм» тақырыбы 11-сыныптың материалы екендігін білеміз және бұл тақырыпты түсіну үшін 7-сыныпта өткен дәреже мен оның қасиеттерін жақсы білудің маңызды екендігін атап кетеміз. Анықтама. Оң санының негізі бойынша логарифмі деп санын алу үшін а санын дәрежелеу керек болатын с дәреже көрсеткіші аталады: а – логарифм негізі, – логарифмденетін сан. Мұндағы а санының оң болу себебі: егер а теріс болса, онда, мысалы, а1/2 өрнегінің мағынасы жоқ, себебі теріс санның квадраттық түбірі анықталмаған; ал егер а=0 болса, онда, мысалы а-1 өрнегінің мағынасы жоқ, себебі нөлге бөлуге болмайды ғой! саны да оң сан болады, себебі ол оң а санының дәрежесі, ал оң санның кез келген дәрежесі оң сан болатындығын біз білеміз. – негізгі логарифмдік теңбе-теңдік. 1 0 негізі бойынша алынған логарифм ондық логарифм деп аталып, былай белгіленеді: е негізі бойынша алынған логарифм натурал логарифм деп аталып, былай белгіленеді: . е санының рөлі (яғни ғылым мен техникада алатын орны) π санының рөлінен артық болмаса, кем емес екендігін атап кетеміз. Жаңа негізге көшу формуласы: Жаңа негізге көшу формуласының дербес жағдайы: Егер b=c болса, онда Соңғы теңдіктен logab∙logba=1 теңдігін аламыз, бұл logab және logba сандары өзара кері сандар дегенді білдіреді (екі санның көбейтіндісі 1-ге тең болса, олар өзара кері сандар деп аталатындығын еске сала кетеміз), бұдан өз кезегінде logab және 1/logba сандары өзара кері сандар екендігі шығады. Натурал және ондық логарифмдер Натурал логарифм – негізі e=2,71826… саны болатын логарифм. N санының Натурал логарифмі lnN деп белгіленеді. 1-ден 1000-ға дейінгі сандардың Натурал логарифмінің алғашқы таблицасын Дж.Спейдель жасаған (1619).Натурал логарифм атауын 1659 жылы П.Менголи (1625 – 1686) және 1668 жылы Н.Меркатор (1620 – 1687), ал ln белгіленуін 1893 ж. А.Прингсхейм (1850 – 1941) енгізген. Натурал логарифм-нен ондық логарифмге lnNlgN/lge және керісінше lgNlnN/ln10 формулалары арқылы өтеді. Ол жоғары математикада кеңінен қолданылады. жүктеу/скачать 386.62 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|