Анализ сходимости итерационного процесса

Анализ сходимости итерационного процесса

В примитивном случае мощность множества последовательностей сравнима с , где n – число участвовавших в процессе альтернатив. Это просто число перестановок n элементов между собой. Но если учесть, что рейтинги могут быть равны (в точности, или при допущении некоторой погрешности/нечеткости в результате), и можно дать несколько первых «мест», то все пространство выходных последовательностей можно представить как n-мерное дискретное, имеющее по каждому измерению ровно n значений, мощность такого множества .Тогда сам результат задается вектором длины n с дискретными значениями от 1 до n. Для таких векторов можно использовать понятия меры (длины) и расстояния, вычисляемых по обычным пифагоровым формулам.

Самым, пожалуй, удобным случаем будет случай, в котором начиная с какого-то шага итераций последовательность альтернатив в результате применения метода будет оставаться постоянной (соответствующей конкретной точке пространства). Тогда в сходимости метода сомневаться нет причин, особенно если в результате решения задачи принятия решения нам нужны только соотношения предпочтения между альтернативами (какая «лучше», какая «хуже»), и искомым и единственно существующим решением задачи является эта самая терминальная последовательность.

Чуть более сложной будет ситуация, при которой на соседних шагах с большим номером итераций будут получаться разные последовательности, но «близкие» по норме в пространстве. Некая неустойчивость может быть заложена в самом процессе вычисления, поэтому отвергать метод не стоит. В качестве искомого решения можно выбрать любую из получаемых последовательностей, «близких» к результатам соседних шагов, либо каким-то образом усреднять результат (что тоже не может вывести нас далеко от расчетных решений). Единственная неясность здесь – определение самого понятия «близость», но при большом числе альтернатив можно доверить ЛПР задание разумного порога близости.

Однако, может случиться, что получаемые результаты ни при каких допустимых порогах не будут оставаться в окрестности какой-то точки, могут пробегать совершенно отстоящие друг от друга точки пространства последовательностей с различными частотами на больших номерах шагов. Так как в пространстве векторов, соответствующих последовательностям альтернатив, отсутствуют отношения «больше/меньше», то отдать предпочтение какому-то из получившихся результатов невозможно. К тому же, усреднять в таком случае по пространственной метрике эти решения не имеет всякого смысла.

Для сравнения: пусть на четных шагах процесса первой альтернативе отдается 5-е место, а на нечетных – 1-е. Предположим, что «эффективность» результата решения задачи как функция последовательностей зависит от рейтинга первой альтернативы (от её положения среди других), к примеру, как , тогда множитель при константе в полученном методом случае равен 4, а при усреднении, если отдать в результате данной альтернативе компромиссное 3-е место, получается (о ужас!) нулевая эффективность. В большей степени это замечание имеет отношение не к обычным задачам выбора лучшей альтернативы, а, например, к расстановке приоритетов при запуске новых проектов компании. В таком случае далекие друг от друга, может быть, даже противоположные последовательности дадут оптимальный результат, в то время как попытка усреднить эти последовательности приводит к провалу.

Но никто не запрещает в таком случае объявить о наличии нескольких «неблизких» результатов. Если мы будем фиксировать частоту появления того или иного результата на очередном шаге, отнесенное к номеру текущего шага, то при больших n, ( а в пределе при ) получим некое подобие вероятностного пространства, где каждому элементарному событию соответствует конкретная последовательность альтернатив, получившаяся в результате применения данного метода, а вероятности этого события – относительная эффективность конкретной последовательности.

1. 
   Эту сетку вероятностей можно предоставить ЛПР для выбора оптимального решения (тут сыграть может даже простое большинство, особых усилий от самого ЛПР не требуется),
   
2. 
   либо объявить какой-то порог сравнимости и выдать несколько последовательностей как неразличимые, «одинаково оптимальные» в решении данной задачи,
   
3. 
   либо назначить правило отбора эффективных решений,
   
4. 
   либо сузить число альтернатив, отбросив заведомо неэффективные (или оставив только наиболее эффективные, если это возможно по результату), и начинать решение снова.
   

Число итераций, которой необходимо выполнить перед окончательным принятием решения, можно рассчитать на основе теории принятия статистических гипотез. Рассматриваемая сетка частот появления в результате той или иной последовательности, если ее рассматривать как вероятностное пространство, позволяет построить подходящую статистическую модель и рассчитать необходимые параметры.

К преимуществам этого способа анализа сходимости стоит отнести следующее:

1) Если в результате применения метода получаются несколько эффективных решений исходной задачи, они все будут продемонстрированы ЛПР вместе с их «приоритетами» (иначе, степенью эффективности). Отбрасывать то или иное решение из-за отклонения от сходимости не приходится.

2) вплоть до последнего шага процесс полностью автоматизирован, от ЛПР не требуется контролировать каждую итерацию, и его участие на решающем этапе сведено к минимуму.

3) В простых (более-менее) задачах, все-таки, сходимость будет ограничиваться первым случаем, когда начиная с какого-то времени последовательности результатов не будут меняться при переходе от одного шага к другому.

4) Относительно просто работать с дискретными последовательностями, для этого потребуется ограниченный объем памяти, несложные вычисления и довольно примитивный математический аппарат

Нельзя закрывать глаза и на недостатки:

1) Если в методе изначально есть предпосылки к неопределенности, и небольшие изменения промежуточных данных будут приводить к серьезным отклонениям в области результатов, решения получатся слишком «размазанными» по всему пространству последовательностей, будет трудно (или даже невозможно) выделить те из них, которые наиболее эффективны.

2) Невозможно избавиться от участия ЛПР.

3) При анализе дискретных последовательностей можно потерять некоторую информацию о решении, которая извлекается из непрерывных результатов работы метода. Непрерывный анализ дает более точные результаты.

Пара слов о непрерывном анализе:

В вещественных пространствах результатов гораздо сложнее пришлось с определением понятия «расстояния», «близости», «окрестности», это потребовало бы априорного знания многих параметров применяемого метода (как то: разброс шкалы значений, минимальные, максимальные отклонения результатов от среднего и т. д.)

К тому же, при использовании непрерывных оценок ещё больше велика вероятность совершить ошибку и усреднить результаты по всем итерациям. Как было показано в примере, это может приводить к катастрофическим результатам.

Промежуточные оценки (сводку, статистику по ним) можно предоставлять ЛПР в качестве вспомогательной информации, если возникнут трудности с принятием решения на основе анализа последовательностей.