Решение уравнений в целых числах
Пример. Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1. Решение
жүктеу/скачать 0.6 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример. Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7. Решение.
- Метод полного перебора всех возможных значений переменных
- Решение уравнений методом разложения на множители.
- Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.
- Методы, основанные на выделении полного квадрата.
- Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных.
- Оценка выражений, входящих в уравнение.
Пример.Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1. Решение.1. 37 = 15 ∙ 2 + 7, 15 = 7 ∙ 2 + 1. 2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2), т.е. х = 5, у = -2 - решение данного уравнения. Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет. Для доказательства теоремы достаточно предположить противное. Пример.Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7. Решение.(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет. Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с d, то оно равносильно уравнению а х + b у = с , в котором НОД(а , b ) = 1. При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно. Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: х = х с + bt, у = y c-at, где х , y - целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число. При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах. Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1: 1. Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей); 2.
Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д. Пример.Найти целые решения уравнения 407х - 2816у = 33. Решение. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х - 256у = 3. Решаем уравнение 37х - 256у = 1. 256 = 37∙ 6 + 34, 37 = 34 ∙1 + 3, 34 = 3 ∙11 + 1. 1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 = = 37∙(-83) - 256∙(-12), т.е. х = -83, y = -12. Общий вид всех целых решений данного уравнения: х = -83∙3 - 256t = -249 - 256t, у = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t. Положив t = -1, получим х = 7, у = 1 и общие формулы решений примут вид: х = 7 - 256t, у = 1-37t. Нами были решены нижеприведенные уравнения в целых числах, используя возможность представления наибольшего общего делителя двух чисел в виде их линейной комбинации:
Метод полного перебора всех возможных значений переменных,входящих в уравнение. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602. Решение: Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10 . Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7. Ответ: (5;7). Решение уравнений методом разложения на множители.Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно. Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Решить уравнение в целых числах: х2 + 23 = у2 Решение: Перепишем уравнение в виде: у2 - х2 = 23, (у - х)(у + х) = 23 Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи: Решая полученные системы, находим: Ответ: (-11;12);(11;12);(11;-12);(-11;-12). Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.Решить уравнение в целых числах: х2 + ху – у – 2 = 0. Решение: Выразим из данного уравнения у через х: у(х - 1) =2 - х2, у = = – = – = – + = -(х + 1) + , (х 1) Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом. Это возможно, если х – 1 = 1) 2) Ответ: (0;-2);(2;-2). Методы, основанные на выделении полного квадрата.Найдите все целочисленные решения уравнения: х2 - 6ху + 13у2 = 29. Решение: Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты, х2 - 6ху + 13у2 = (х2 - 6ху + 9у2) + 4у2 = (х - 3у)2 + (2у)2 = 29, значит (2у)2 29. Получаем, что у может быть равен 0; . 1. у = 0, (х - 0)2 = 29. Не имеет решений в целых числах. 2. у = -1, (х + 3)2 + 4 = 29, (х + 3)2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5 х=2 х=-8 3. у = 1, (х - 3)2 +4 =29, (х - 3)2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5 х = 8 х = -2 4. у = -2, (х + 6)2 + 16 = 29, (х + 6)2 = 13. Нет решений в целых числах. у=2, (х-6)2+16=29, (х-6)2=13. Нет решений в целых числах. Ответ: (2;-1); (-8;-1); (8;1); (-2;1). Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных.Решить уравнение в целых числах: 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0. Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: 5х2 + (8у - 2)х + 5у2 + 2у + 2 = 0 D = (8у - 2)2 - 4·5(5у2 + 2у + 2) = 64у2 - 32у + 4 = -100у2 - 40у – 40 = = -36(у2 + 2у + 1) = -36(у + 1)2 Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0. -36(у + 1)2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1. Ответ: (1;-1). Оценка выражений, входящих в уравнение.Решить в целых числах уравнение: (х2 + 4)(у2 + 1) = 8ху Решение: Заметим, что если (х ;у ) – решение уравнения, то (-х ;-у ) – тоже решение. И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим: ∙ = 8, (х + )(у + ) = 8. Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши, х + = 4, у + = 2, тогда их произведение (х + )(у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2. Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение. Ответ: (2;1); (-2;-1) жүктеу/скачать 0.6 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|