Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1)



жүктеу 85.75 Kb.
Дата22.06.2016
өлшемі85.75 Kb.





2. Затухающие колебания

2.1.1. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время 1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний



, (1)

где А(t)  амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T)  значение амплитуды через один период колебания,   коэффициент затухания.

2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания, переписав его следующим образом

. (2)

3. Воспользовавшись соотношениями (2) определим искомое время, соответствующее уменьшению амплитуды в восемь раз



. (3)
2.1.2. Логарифмический декремент маятника = 0,003. Определите число полных колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза.
Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса, воспользовавшись уравнением



, (1)

где N  число полных колебаний, соответствующих моменту времени .

2. Из уравнения (1) определим искомую величину

. (2)
2.1.3. Определите период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы без потерь равен Т0 = 1с, а логарифмический декремент составляет  = 0,628.
Решение

1. Период затухающих колебаний



, (1)

откуда


, (2)

. (3)
2.1.4. Известно, что при затухающих колебаниях за  = 0,25 Т смещение тела составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8 с, логарифмический декремент  = 0,8. Начальная фаза колебаний равна  = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и представить его графически.
Решение

1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний



. (1)

2. Коэффициент затухания  определим из уравнения логарифмического декремента



. (2)

3. Значение амплитуды колебаний для момента времени  определим, воспользовавшись уравнением затухающих колебаний



, (3)

(4)

. (5)

4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным



. (6)

5. Для построение графика колебаний вычислим значение x(t) для моментов времени: 1 = T/4 = 2 c; 2 = T/2 = 4 c; 3 =3T/4 = 6 c; 4 = T = 8 c; 5 = 5T/4 = 10 c; 6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины времени, кратные Т/4, последовательно подставим в уравнение (6)




, с

2

4

6

8

10

12

х(), см

4,5

0

 3

0

1,98

0






2.1.5. Задано уравнение затухающих колебаний точки

,

Найти зависимость скорости движения точки в функции времени, представить зависимость графически.

Решение

1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота  = (/3) рад/с, коэффициент затухания   = 0,1 с 1, начальная фаза равна нулю.

2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по времени заданное уравнение движения

, (1)

. (2)

3. Определим период колебаний



. (3)

4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени:

t1 =0,

; (4)

t2 = T/4 = 1,5 с



; (5)

t3 = T/2 = 3 c



; (6)

t4 = T = 6 с



; (7)

t5 = 5T/4 = 7,5 с



; (8)

t6 = 3T/2 = 9 c



; (9)

t7 = 2T = 12 c






2.1.6. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину логарифмического декремента = 0,5. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний по истечении одного полного периода колебаний?
Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде



. (1)

2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника уравнение (1) необходимо переписать при условии sin(t + 0) = 1



, (2)

. (3)
1.2.7. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м.
Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний



. (1)

2. Определим период незатухающих колебаний маятника



. (2)

3. Перепишем уравнение (1) с учётом заданных значений величин и найденного периода



. (3)
2.1.8. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом затухания = 0,045.Определить время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз.
Решение

1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать, представив отклонение грузика в угловых величинах



, (1)

где   частота затухающих колебаний.

2. Запишем уравнение (1) применительно к амплитудным значениям отклонения

. (2)

3. Определим, используя уравнения (2) отношение амплитуд



. (3)
2.1.9. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с коэффициентом затухания  = 0,3 с 1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными?
Решение

1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний



, (1)

из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания соответствует max = 0, или



. (2)

2. Коэффициент затухания должен увеличиться в  - раз



. (3)
2.1.10. Амплитуда затухающих колебаний за время 1 = 100 с уменьшилась в n1 = 20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за время 2 = 200 с?
Решение

1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний



. (1)

2. В данном случае



. (2)

3. Запишем уравнение, аналогичное (2) для момента времени t = 2



, (3)

4. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно величины n2, получим



, (4)

откуда


. (5)
2.1.11. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) = 100exp(0,01t)cos8t, мм. Определить амплитуду после того, как будут выполнены N = 100 полных колебаний.
Решение

1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний составляет  = 3 рад/с; коэффициент затухания   = 0,01 с 1; начальная амплитуда колебаний  100 см.

2. Определим период колебаний и логарифмический декремент

, . (1)

3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так



. (2)
2.1.12. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в среде с потерями, за время  = 10 мин потерял 50 % своей энергии. Определить логарифмический декремент маятника.
Решение

1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды



(1)

2. По условию задачи



. (2)

3. Совместим условие (2) в системой уравнений (1)



(3)

. (4)

4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно приближённо определить уравнением



. (5)

5. Логарифмический декремент колебаний определится как



. (6)
2.1.13. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементом = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в  = 10 раз. Какое время  прошло при этом с момента начала колебаний?
Решение

1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную амплитуду



; (1)

2. Подставим в уравнение (2) соотношение для периода колебаний



; (2)

3. Для того чтобы связать величины  и  необходимо проанализировать уравнение энергии колебательного движения



; (3)

; (4)

. (5)
2.1.14.. Определите число полных колебаний N, в течение которых энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент колебаний  = 0,01.
Решение

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.2



. (1)
2.1.15. Найти период затухающих колебаний математического маятника если период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а логарифмический декремент равен  = 0,628
Решение

1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника



. (1)

2. Определим коэффициент затухания



. (2)

3. Найдём период затухающих колебаний



1,0054 с. (3)
2.1.16. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие колебания. За первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите коэффициент сопротивления среды.
Решение

1. Определим коэффициент затухания  из следующих соображений



, (1)

. (2)

2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется тело



. (3)


2.1.17. Некое тело массой m = 1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело соединено с двумя одинаковыми недеформированными пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания.
Решение

1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись уравнением (3) предыдущей задачи



. (1)

2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих колебаний системы с учётом того, то пружины соединены параллельно



. (2)

. (3)

3. Логарифмический декремент колебаний



. (4)


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет