Решение Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний, (1)
жүктеу/скачать 85.75 Kb.
|
2. Затухающие колебания 2.1.1. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время 1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз? Решение 1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний  , (1)
где А(t) амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T) значение амплитуды через один период колебания, коэффициент затухания. 2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания, переписав его следующим образом
3. Воспользовавшись соотношениями (2) определим искомое время, соответствующее уменьшению амплитуды в восемь раз  . (3)
2.1.2. Логарифмический декремент маятника = 0,003. Определите число полных колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза. Решение 1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса, воспользовавшись уравнением  , (1)
где N число полных колебаний, соответствующих моменту времени . 2. Из уравнения (1) определим искомую величину
1. Период затухающих колебаний  , (1)
откуда
 , (2)
 . (3)
2.1.4. Известно, что при затухающих колебаниях за = 0,25 Т смещение тела составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8 с, логарифмический декремент = 0,8. Начальная фаза колебаний равна = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и представить его графически. Решение 1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний  . (1)
2. Коэффициент затухания определим из уравнения логарифмического декремента  . (2)
3. Значение амплитуды колебаний для момента времени определим, воспользовавшись уравнением затухающих колебаний  , (3)
 (4)
 . (5)
4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным  . (6)
5. Для построение графика колебаний вычислим значение x(t) для моментов времени: 1 = T/4 = 2 c; 2 = T/2 = 4 c; 3 =3T/4 = 6 c; 4 = T = 8 c; 5 = 5T/4 = 10 c; 6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины времени, кратные Т/4, последовательно подставим в уравнение (6)
2.1.5. Задано уравнение затухающих колебаний точки  ,
Найти зависимость скорости движения точки в функции времени, представить зависимость графически. Решение 1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота = (/3) рад/с, коэффициент затухания = 0,1 с 1, начальная фаза равна нулю. 2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по времени заданное уравнение движения
3. Определим период колебаний  . (3)
4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени: t1 =0,
t2 = T/4 = 1,5 с  ; (5)
t3 = T/2 = 3 c  ; (6)
t4 = T = 6 с  ; (7)
t5 = 5T/4 = 7,5 с  ; (8)
t6 = 3T/2 = 9 c  ; (9)
t7 = 2T = 12 c 
2.1.6. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину логарифмического декремента = 0,5. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний по истечении одного полного периода колебаний? Решение 1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде  . (1)
2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника уравнение (1) необходимо переписать при условии sin(t + 0) = 1  , (2)
 . (3)
1.2.7. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м. Решение 1. Запишем уравнение затухающих колебаний  . (1)
2. Определим период незатухающих колебаний маятника  . (2)
3. Перепишем уравнение (1) с учётом заданных значений величин и найденного периода  . (3)
2.1.8. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом затухания = 0,045.Определить время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз. Решение 1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать, представив отклонение грузика в угловых величинах  , (1)
где частота затухающих колебаний. 2. Запишем уравнение (1) применительно к амплитудным значениям отклонения
3. Определим, используя уравнения (2) отношение амплитуд  . (3)
2.1.9. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с коэффициентом затухания = 0,3 с 1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными? Решение 1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний  , (1)
из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания соответствует max = 0, или  . (2)
2. Коэффициент затухания должен увеличиться в - раз  . (3)
2.1.10. Амплитуда затухающих колебаний за время 1 = 100 с уменьшилась в n1 = 20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за время 2 = 200 с? Решение 1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний  . (1)
2. В данном случае  . (2)
3. Запишем уравнение, аналогичное (2) для момента времени t = 2  , (3)
4. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно величины n2, получим  , (4)
откуда
 . (5)
2.1.11. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) = 100exp(0,01t)cos8t, мм. Определить амплитуду после того, как будут выполнены N = 100 полных колебаний. Решение 1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний составляет = 3 рад/с; коэффициент затухания = 0,01 с 1; начальная амплитуда колебаний 100 см. 2. Определим период колебаний и логарифмический декремент
3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так  . (2)
2.1.12. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в среде с потерями, за время = 10 мин потерял 50 % своей энергии. Определить логарифмический декремент маятника. Решение 1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды  (1)
2. По условию задачи  . (2)
3. Совместим условие (2) в системой уравнений (1)  (3)
 . (4)
4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно приближённо определить уравнением  . (5)
5. Логарифмический декремент колебаний определится как  . (6)
2.1.13. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементом = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в = 10 раз. Какое время прошло при этом с момента начала колебаний? Решение 1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную амплитуду  ; (1)
2. Подставим в уравнение (2) соотношение для периода колебаний  ; (2)
3. Для того чтобы связать величины и необходимо проанализировать уравнение энергии колебательного движения  ; (3)
 ; (4)
 . (5)
2.1.14.. Определите число полных колебаний N, в течение которых энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент колебаний = 0,01. Решение 1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.2  . (1)
2.1.15. Найти период затухающих колебаний математического маятника если период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а логарифмический декремент равен = 0,628 Решение 1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника  . (1)
2. Определим коэффициент затухания  . (2)
3. Найдём период затухающих колебаний  1,0054 с. (3)
2.1.16. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие колебания. За первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите коэффициент сопротивления среды. Решение 1. Определим коэффициент затухания из следующих соображений  , (1)
 . (2)
2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется тело  . (3)
2.1.17. Некое тело массой m = 1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело соединено с двумя одинаковыми недеформированными пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания. Решение 1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись уравнением (3) предыдущей задачи  . (1)
2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих колебаний системы с учётом того, то пружины соединены параллельно  . (2)
 . (3)
3. Логарифмический декремент колебаний  . (4)жүктеу/скачать 85.75 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
. (2)
. (2)
, (1)
. (2)
; (4)
. (2)
, 
. (1)