Ряды. Дифференциальные уравнения



жүктеу 0.53 Mb.
бет1/7
Дата11.06.2016
өлшемі0.53 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7
Ряды. Дифференциальные уравнения.


  1. А=а123+…=



Определение: Числовой ряд – бесконечная упорядоченная сумма чисел.
Примеры рядов:
Гармонический ряд.
Дзета функция Риммана.
1-1+1-1+1-1+1-1+…
Аn123+…+аn – частичная сумма ряда.

{An}–последовательность частичных сумм.


Определение: Числовой ряд А сходится, если – сумма сходящегося числового рядя. Если, то ряд А расходится.

1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности)


В целом по рядам существует несколко типов задач:

1) Исследование сходимости ряда.

2) Нахождение суммы.
Критерий Коши сходимости ряда.

? ?>0 ? n0 , такое, что ?n>m?n0: |An-Am|

Тогда говорят, что последовательность An – фундаментальна.

An=a1+a2+…+an

Am=a1+a2+…+am, следовательно, An-Am=am+1+…+an

? ?>0 ? n0, такое что ?n>m?n0 => | am+1+…+an |
Пример:

Гармонический ряд.
Зафиксируем ?=0.5, m?n0, n=2m
| am+1+…+an |= =>ряд расходится.

Всего m слагаемых


необходимый признак сходимости числового ряда.

Доказательство: n=m+1 ??>0, ? n0 => ?n?n0 => |an|
    1. Следствие 1

    2. А= В=

Если ? n1:? n?n1 => an=bn, тогда A~B (либо оба сходящиеся либо оба расходящиеся)



Доказательство: n0?n1 | am+1+…+an |=| bm+1+…+bn |
    1. Следствие 2

    2. A= B=, Если bn = kan, n?1, k?0, тогда A~B.


Если сходится, то сходится.

Доказательство: По критерию Коши:

| am+1+…+an |≤|am+1|+|am+2|+…+|an|
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Признаки сравнения.
1) A= , B=

Для доказательства применим критерий Коши:

| am+1+…+an | = am+1+am+2+…+an≤bm+1+bm+2+…+bn2) предельный



Доказательство: из существования предел следуют неравенства:



тогда по признаку сравнения (1) ряд сходится.
Пример.

?(α)= , рассмотрим как ведёт себя этот ряд в зависимости от α. При α=1 ряд расходится (гармонический). Было доказано ранее.

Для α<1 => расходится по признаку сравнения 1.

Для α>1


тогда по теореме о среднем выполняются неравенства







, т.е. В – сходится, значит по признаку сравнения ?(α) при α>1 то же сходится.

Таким образом

?(α) =
Признак Даламбера.

Пусть , тогда

?<1 =>A сходится

?>1 =>A расходится

?=1 =>вопрос о сходимости остаётся открытым

  1   2   3   4   5   6   7


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет