С. М. Розов Введение. Предмет Естествознания Естествознание

Структура идеального компьютерного фрактала сохраняется при любых масштабах ее рассмотрения. Чтобы получить такой фрактал, итерации должны продолжаться бесконечно долго, иначе полученное множество не будет фракталом, утрачивая на каком-то шаге свою фрактальную структуру. Природные, в частности, биологические структуры - стохастические, хаотические фракталы, или квазифракталы; повторяемость их структуры в разном масштабе неполна и неточна - это «обрубленные» фракталы. Некоторые исследователи, например, С.Д. Хайтун (1996), приходят к заключению, что фракталы не являются реально существующими объектами, а реальные системы могут быть только фракталоподобными.

Все природные квазифрактальные структуры) представляют собой след, результат, структурную запись порождающих их хаотических природных процессов. Фрактальная геометрия природы, неживой и живой – это геометрия хаоса. Структурные квазифракталы можно считать пространственными аналогами хаотических нелинейных процессов; в результате таких процессов возникают природные квазифрактальные структуры. Хаотические процессы тоже характеризуются повторением своей структуры при изменении масштаба, т.е. статистическим самоподобием, квазифрактальностью во времени.

П. Бак и К. Чен (1991) рассматривают фракталы как мгновенные «срезы» самоорганизующихся критических процессов, пространственные «отпечатки» самоорганизованной критичности, в структуре которых отсутствует строгое самоподобие.

Рис. Ураган и вид речного бассейна из космоса

Итак, даже относительно простые фракталы неживой и живой природы отличаются от идеальных компьютерных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры - это квазифракталы, хаотические, или случайные фракталы. Множество процессов в природе и обществе проявляют хаотическую фрактальную динамику - от космических и планетарных до физиологических и биохимических явлений; Б. Мандельброт, анализируя изменения индекса Доу-Джонса, обнаружил фрактальные флуктуации в разных масштабах времени. Шумы и музыка также имеют фрактальную природу. Создаваемая человеком музыка, как оказалось, имеет общие черты с динамикой природных процессов – имитируя таким образом изменения нашего мира во времени.

Особый тип хаотических фракталов составляют так называемые фрактальные кластеры - новый класс физических объектов, плотность которых уменьшается по мере роста, с увеличением размера кластера. Многие биологические объекты подобны физическим фрактальным кластерам. Несколько позже выяснилась универсальность этой модели и ее применимость к имитационному моделированию многих фрактальных форм неживой и живой природы и столь разных явлений как осаждение металла при электролизе, электрический разряд при пробое диэлектрика, формирование “вязких пальцев” при вытеснении воздухом вязкой жидкости, рост минеральных дендритов, бактериальных колоний (рис. 23).



Рис. Физические фрактальные кластеры: осаждение металла при электролизе; «вязкие пальцы»; электрический разряд

Модифицируя экспериментальные условия, можно получить рост анизотропных кластеров. Так, рост дендритных кластеров цинка при электролизе и дендритов другой природы от граничной поверхности ведет к образованию анизотропных фрактальных деревьев, весьма напоминающих формы живой природы.

Внешнее сходство фрактальных кластеров весьма разнообразной природы подкрепляется возможностью их моделирования. При этом компьютерные модели не только имитируют морфологию фрактальных кластеров и дают их математическое описание, но и объясняет образование таких кластеров. Отличительная черта этих моделей и подобных процессов роста фрактальных агрегатов – это концентрация ростовых процессов в периферических областях кластера, что происходит вследствие экранирования внутренних частей агрегата от вновь поступающих диффундирующих частиц.

Итак, фрактальная геометрия — это геометрия природы, и окружающий нас мир наполнен хаотическими фракталами, красота или невзрачность которых поддается сжатому математическому описанию и моделированию с использованием простого рекурсивного, с обратной самореферентной связью алгоритма, выполняющего роль генетических правил при построении компьютерных фракталов.

Самоподобие, связь локального и глобального порядков делают фракталы сходными с голограммами, каждая часть которых несет целостное изображение, и биологическими морфогенетическими полями.
Приложения теории катастроф и теории бифуркации
Вся тайна и очарование процессов, приводящих к качественному перерождению старой системы, сосредоточены как раз в той критической точке, когда это самое перерождение и происходит.

Если мы поставили своей целью разобраться, как это отдельным личностям удается генерировать решения, выводящие обычные объекты и ситуации на качественно иные уровни, то нам прежде всего необходимо разобраться с этим самым критическим моментом.

Выше уже говорилось о катастрофах, происходящих с упругими несущими конструкциями. Продемонстрировать это может простая школьная резинка - ластик, подойдет также пружинка от шариковой ручки.

Что произойдет, если слегка нада­вить отобранный предмет? Понятно, что резинка, пружинка сожмется и ответит сопротивлением - упругой силой. Если сдавить сильнее? Сожмет­ся еще больше, и упругая сила сопро­тивления тоже увеличится. А если еще сильнее? Вроде бы ничего нового не произойдет - чем больше деформация, тем больше сила упругости.

Однако, здесь и подстерегает нас сюрприз! Кто-то уже понял, наверное, что пружинка может вдруг выпрыгнуть из наших пальцев. Действительно! В некоторый момент резинка (пружинка) вдруг (совершенно внезапно!) начинают вести себя совсем не так, как мы могли бы ожидать. Резинка вдруг изгибается посередине, почти складывается пополам, выпучивается и остается в таком состоянии (рисунок).

Если мы попытаемся и дальше увеличивать давление, то обнаружим, что ощущаем гораздо меньшую силу сопротивления. Резинка САМА изменила свою форму так, чтобы при том же сжатии пальцев воспринять от нас меньше энергии, чем раньше!

Наш катаклизм обратим - мы можем разжать пальцы и резинка примет исходную форму. Однако, если бы мы взяли объект из менее эластичного материала, например, спичку, то катастрофа вполне оправдала бы свое название: спичка бы держала нагрузку до определенного момента, после чего она бы просто сломалась, поскольку материал ее не в силах выдерживать такие деформации, как резина. Понятно, что, если все это происходило бы, например, с колонной здания, то катастрофа случилась бы совсем не игрушечная, а самая настоящая.

Если нам попалась хорошая резинка, и мы оказываем давление строго по ее оси, то обнаружим, что прогиб происходит то в одну, то в другую сторону. Куда в каждый следующий раз прогнется резинка предсказать невозможно - это остается неожиданностью.

Дело в том, что резинка в критический момент находится в неустойчивом состоянии, как, например, мяч, который мы попытаемся удержать на своей голове. После критического сжатия любое случайное малое возмущение, внешнее или внутреннее, прекращает неустойчивое состояние - резинка скачком прогибается в какую-то сторону. В какую - зависит от этого возмущения.

Влияние малых возмущений на качественное изменение объекта - очень важный момент. Обыденный опыт подсказывает нам, что большие результаты требуют, как правило, больших усилий - чтобы сдвинуть с места огромный камень, надо обладать недюжинной силой. Оказывается, однако, что иногда совсем незначительные усилия могут приводить к весьма масштабным результатам. Так, перегруженная колонна может некоторое время сохранять прямое положение; скопившийся за зиму снег может продолжать держаться на склоне горы. Дуновение ветра или разговор стоящих невдалеке людей - хрупкое равновесие нарушается и... вот она - катастрофа: рушится инженерное сооружение; поселок в горах сметает лавина.

Когда ситуация на рынке становится слишком сложной, - случай может привести гигантскую корпорацию к банкротству!

Попытаемся графически представить себе изменение поведения резинки при выпучивании. Попробуем представить себе так называемую поверхность состояния объекта. Зависимость угла прогиба от сжимающей силы представлена на рис. До некоторого усилия никакого прогиба нет совсем и график следует из начала координат по горизонтальной оси. Начиная с некоторого критического момента, исходное неискривленное состояние резинки остается возможным, но становится неустойчивым - поэтому оно показано штриховой линией. Прогиб может произойти как в одну, так и в другую сторону (на графике - вверх или вниз), а величина его быстро увеличивается с увеличением силы сжатия.

Что будет происходить с резинкой теперь, когда выпучивание уже произошло, если мы станем прилагать усилие поперек , как бы стараясь вернуть ее в исходное положение?

После выпучивания резинка, оказывается, может иметь два различных состояния - прогиб либо в одну, либо в другую сторону. (Причем, если бы мы имели дело не с прямоугольной в сечении резинкой, а, например, с круглой пружинкой от шариковой ручки, то число возможных состояний после выпучивания увеличилось бы до бесконечности (!) - пружинка может выгнуться в любом направлении из 360 градусов окружности.)

Попробуем давить на резинку со стороны выпучивания. Сначала мы почувствуем нарастающее сопротивление. Однако, только до некоторого момента, когда опять происходит резкое и неожиданное событие: резинка вдруг "перещелкнется" - скачком прогнется в противоположную сторону. Если теперь убрать боковое давление, то резинка все равно останется в новом состоянии. Ее можно заставить перескочить обратно, но для этого потребуется прилагать поперечное давление в обратном направлении. Этот интересный эффект есть ни что иное как Память! Резинка теперь, оказывается, запоминает направление последнего воздействия и хранит эту информацию до того времени, пока новое воздействие не перекинет ее в иное положение. Поведение обычной резинки теперь ничем не отличается от поведения ячейки памяти компьютера.

Если мы попытаемся представить себе поведение нашего объекта в трехмерном пространстве зависимости прогиба от сжимающей и поперечной изгибающей сил, то обнаружим в нем некую поверхность, похожую на сборку ткани – (рис.).

Эта поверхность оказы­ва­ется поверхно­стью состо­я­ния нашего объекта, то есть все возможные состояния нашей резинки являются точками этой поверхности. Поверх­ность состояния - это что-то вроде карты, которая позволяет ориентироваться в поведении объекта. Как это можно делать? Чтобы узнать, в каком состоянии будет находиться наша резинка при определен­ных внешних воздействиях, надо найти точки пересечения этого кусочка смятой ткани с плоскостями, которые соответствуют поперечным и продольным внешним силам. Точка пересечения и покажет тот угол прогиба, который будет иметь место при данных воздействиях.

Если окажется, что поверхность пересекается в двух местах, это говорит о том, что при данных условиях у резинки может быть два различных состояния: например, прогиб либо в одну, либо в другую сторону.

Эта поверхность носит в Теории катастроф Тома название КАТАСТРОФЫ СБОРКИ - одной из семи элементарных математических катастроф. Легко можно заметить, что зависимость прогиба от сжимающего усилия представляет собой "продольный разрез" поверхности катастрофы сборки при G=0: точка состояния спокойно катится по поверхности от исходного нулевого положения, пока в некоторый момент не достигнет развилки. Теперь у нее есть выбор - покатиться на верхний лист поверхности или скатиться вниз. Чисто теоретически точка может покатиться и по среднему язычку сборки (показан штрихами), но как мы уже понимаем - это настолько неустойчивый маршрут, что он не является реальным.

В свою очередь эффект запоминания направления последнего поперечного воздействия - силы G - иллюстрирует "поперечный разрез" поверхности при F=const : точка устойчиво покоится либо вверху, либо внизу, пока достаточно сильное поперечное давление не подведет ее к той границе, где ей приходится прыгать или падать на другой лист поверхности.

Элементарные катастрофы более высоких порядков представляют собой гораздо сильнее "измятые" салфетки. Только существуют они в пространствах с числом измерений больше трех, и, следовательно, не могут быть легко представлены нами. Но и не самая сложная катастрофа - трехмерная сборка, оказывается, может служить универсальной моделью, объясняющей многое!

Катастрофные явления присущи едва ли не всякому объекту окружающего нас мира. Для описания таких процессов необходима достаточно простая модель, составленная из универсальных сущностей.

В качестве таких сущностей предложим следующее:

• 
  интересующий нас результат поведения Объекта назовем Выходом или Продуктом,
  
• 
  причину или необходимое для выхода условие назовем Входом или Ресурсом.
  
• 
  любой объект изучения может быть разделен как минимум на две части, потребляющие общий Ресурс, а общий Продукт складывается из продуктов его составляющих частей,
  
• 
  существует некоторая зависимость количества ресурса, поступающего на вход каждой части от величины ее выхода. То есть в объекте реализована некоторая Обратная связь.
  

Фактически для анализа жизненных ситуаций мы выбираем типичную модель кибернетики – объект, вход, выход, обратная связь.

Подразумеваем только, что

• 
  объект управления никогда не является монолитным.
  
• 
  обратная связь действует таким образом, чтобы выходы обоих составляющих элементов были равными.
  
• 
  эффективность каждого элемента (то есть отношение выхода ко входу) нелинейно зависит от поступающих ресурсов. Недостаток ресурса так же плох, как и избыток
  

Теперь мы готовы любое явление описать в общих терминах:

Оказывается, что катастрофа органически присуща любой из приведенных выше систем. Этот неожиданный момент обнаруживается сразу, как только мы соглашаемся с тем, что любой объект состоит из частей, потребляющих один и тот же ресурс (зависящих от одного условия), и что эффективность системы зависит от поступивших ресурсов или внешних условий нелинейно.

Оказывается, что поверхность ее состояния представляет собой уже знакомую нам катастрофу сборки.

В отличие от классической катастрофы сборки наша модель характеризуется двумя точками - по одной точке состояния на каждую составную часть (рис.). Эти точки также всегда принадлежат поверхности состояния, но располагаются на ней не произвольно.

Поперечная ось наше­го трехмерного простран­ства сос­тояния представля­ет собой теперь соотношение эффективно­стей обеих частей систе­мы. В центре поперечной оси соот­ношение равно единице (то есть оба элемента идентичны), справа область более эф­фективных (или произ­водительных) элементов, слева - менее. Если оба элемента совершенно оди­наковы, то их точки состояния сливаются (отношение эффективностей рав­но единице), и могут пере­мещаться вдоль по поверхности строго по ее середине. Если элементы неодинаковы (система неоднородна), то точки состояния должны находиться симметрично по разные стороны от середины поверхности - одна слева, другая - справа.

В случае неоднородной системы (рис.) при изменении ситуации каждый элемент ведет себя по-своему - один сразу "скатывается" вниз (теряя даже то малое, что принадлежало ему вначале), другой - поднимается вверх (еще более упрочивая свою позицию).

В случае однородной системы (рис.) первоначально поведение обеих частей совершенно идентично - обе рабочие точки сливаются и перемещаются вдоль поверхности строго по ее середине, разделяя ресурсы между собой строго поровну. Однако, в некоторый момент поведение равных элементов изменяется кардинально - один забирает все ресурсы, другой почему-то все теряет.

Теперь нам остается только посмотреть, как реализуется внезап­ное изменение состояния на заводе, атомном реакторе, влюбленной паре, и во многих других самых различных жизненных ситуациях.

Атомный реактор типа РБМК - "герой" Чернобыля. Достижение большой мощности, которую способен вырабатывать реактор данного типа, происходит за счет увеличения такого конструктивного параметра, как площадь активной зоны - той области, где происходит расщепление атомного топлива и выделение тепловой энергии. Подобная конструкция реакторов несет в себе врожденную склонность к катастрофе - эффект, который приходится сглаживать специальными мерами.

Большую площадь активной зоны можно условно разделить на несколько параллельно вклю­ченных реакторов (в нашей модели - два). Оказывается, что до определенной нагрузки реак­тор ведет себя "нормально" - работает вся площадь активной зоны, тепло выделяется равно­мерно. После достижения неко­торой критической границы происходит внезапное резкое разделение активной зоны на участки с различной интенсивностью тепловыделения (рис.). Сказывается тот момент, что двух строго идентичных по всем своим параметрам участков активной зоны не бывает. Вся мощь атомной реакции концентрируется в одном месте, в результате чего этот участок активной зоны разогревается до температур, значительно превышающих допустимые значения, вещество активной зоны в этом месте расплавляется - происходит так называемое "закозление" реактора, выделение энергии выходит из-под контроля.

Итак, в некоторый момент времени даже малое изменение нагрузки неожиданно вызывает резкое лавинообразное развитие нештатных процессов, приводящих к аварии.

В гораздо менее опасных масштабах подобные явления можно наблюдать у мощных транзисторов, где они носят название тепловой неустойчивости и вторичного пробоя.

Использованные в нашей модели сущности настолько универсальны, что мы легко можем применить ее в совершенно иной сфере.

Пусть в условиях ограниченного рынка существуют различные производители одной продукции. Каждый из производителей часть своих средств тратит на борьбу с конкурентом - переоборудует свое производство, повышает качество, разрабатывает новшества, тратится на рекламу. Подобные затраты мы будем рассматривать как входное воздействие в системе; производство продукции - как выход. Понятно, что при малых затратах эффективность работы любого из производителей будет невелика, поскольку он окажется в тени конкурента. Тот же эффект при очень большом входе - чрезмерные затраты на борьбу приведут к падению производства.

В том случае, если "весовые категории" соперников сильно различаются, все происходит так, как мы и ожидаем: сильнейший всегда будет в более выгодных условиях и при ухудшении условий, когда затраты растут, постепенно захватит весь рынок, слабейший - окажется вытеснен с рынка (рис.).

Ситуация полна неожидан­ностей, когда соперничают рав­ные по силам конкуренты. Оказывается, что до опреде­лен­ного момента все произво­дители, как бы они ни пытались обойти соперника, будут суще­ствовать на равных или при­мерно равных позициях. Даже если один попытается рывком выйти вперед, другой всегда сумеет восста­новить равновесие. Такое состояние оказывается ус­той­чи­вым до определен­ного момента. Этот момент - поистине роковой.

При росте затрат на борьбу (ужесточение ситуа­ции на рынке) внезапно ситуация меняется карди­нальным образом – пари­тетное сосу­ществование ока­зывается неус­тойчи­вым. По­добно тому, как колон­на под критической нагрузкой вдруг разру­шается от дуновения ветра, - сво­евременные весь­ма малые (может быть даже неосознанные) усилия того, кто первым почувствует момент (или, кому просто повезет), приведут к тому, что он сможет быстро вытеснить конкурента с рынка (рис.).

Горе предпринимателю, который не сумеет вовремя распознать назревшую опасность! Для него события примут форму внезапно сошедшей лавины - вдруг, из-за какой-то мелочи, в мгновение ока он окажется за бортом деловой жизни.

Другой, "везунчик", также неожиданно для себя "вытянет счастливый билет": работал так, как всегда, звезд с неба не хватал, и вдруг - неслыханная удача! Несколько изменил упаковку товара, или дал новую рекламу - и такой неожиданный колоссальный эффект.

От экономики, оказывается, полшага до психологических ситуаций.

Вы помните очереди за дефицитным товаром? Если хвост невелик, товара достаточно, то напряже­ние невелико и система нахо­дится на участке устойчивого равновесия. Это означает, что в очереди сохраняется порядок, благодаря которому каждому достается равная с остальными доля. Любые попытки отдель­ных несознательных граждан обойти порядок естественным образом пресе­каются – равно­ве­сие в системе устойчиво.
Что произойдет, если продавец объявит о том, что торговля подходит к концу? Напряжение в очереди резко возрастет, система окажется в состоянии неустойчивого равновесия - стоит только кому-нибудь одному попытать счастья в обход очереди, как это произведет эффект детонатора - порядок оказывается безвозвратно утерянным, система разделяется на две (в нашей модели) группы: одной, благодаря их физической силе, достанется все, другая окажется оттесненной (рис.).
Психика личности

Простой переход позволяет нам рассматривать психические процессы личности.

А если два объекта существуют только в воображении одного из них? Если человек имеет дело не столько с реальным соперником, сколько с образом соперника в своей голове (рис.)?

Перейдем от двух реальных объектов к нашим представле­ниям о них.

Тогда по поперечной оси мы отложим не реальное соотно­шение сил соперников, а пред­ставление одного из них о том, сильнее он или слабее. То есть чувство страха ("я слабее") или гонор ("я сильнее").

Продольная ось будет пред­ставлять собой не материальные затраты или ресурсы, а только психическое отражение возмож­ных затрат - некоторое психоло­гическое напряжение. По верти­кальной оси - не результат поступков: захваченная ниша на рынке или доставшаяся доля ресурсов, а только психологи­ческая реакция, направленная к достижению цели - нападение, активное поведение или пас­сивное поведение, оборона, отступление (рис.).