Теория бифуркаций и катастроф неразрывно связана с современными представлениями о динамическом, или детерминированном, хаосе

Динамический (детерминированный) хаос

В последние десятилетия 20 века понятие хаоса изменилось. Сразу же следует заметить, что динамический, или детерминированный хаос нелинейных динамических систем – это не хаос, понимаемый как полная дезорганизация и случайность событий. Современное понимание хаоса ближе к исходному древнегреческому: «хаос» - беспредельная неупорядоченная масса, из которой возникло все существующее.

Динамический (детерминированный) хаос – сложное непредсказуемое поведение детерминированной нелинейной системы. Оказалось, что простые системы (иногда - вызывающе простые модельные системы), состоящие из малого числа компонентов и детерминированные правилами, не включающими элементов случайности, могут проявлять случайное поведение, достаточно сложное и непредсказуемое, причем случайность носит принципиальный, неустранимый характер. Такого рода случайность, непредсказуемость развития системы понимается как хаос.

Детерминированный хаос сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).

Прежде разделяли детерминированные системы, для которых был возможен прогноз на любой отрезок времени (подобно прогнозу затмений солнца) и стохастические системы, которые можно охарактеризовать лишь статистически.

Теперь же появился новый класс объектов, формально детерминированных, но с поведением, прогнозируемым лишь на ограниченный отрезок времени. Оба полюса – порядок и хаос – не существуют в чистом виде, если понимать упорядоченные системы как полностью регулярные, детерминированные, предсказуемые, а неупорядоченные системы как совершенно нерегулярные, случайные, непредсказуемые. Примером систем с высокой степенью порядка и стабильности служат кристаллы; на противоположном полюсе располагается такие хаотические системы как газы.

Можно напомнить, что основы однозначного детерминизма в квантовой механике были подорваны принципом неопределенности В. Гейзенберга, устанавливающим невозможность измерения с заданной точностью одновременно координаты и импульса элементарной частицы.

Теория динамического хаоса уничтожила разрыв между классической динамикой и статистической физикой: регулярное движение становится стохастическим вследствие всегда присутствующих небольших флуктуаций.

Эволюция системы математически описывается векторным полем в фазовом пространстве – абстрактном пространстве динамических переменных системы, векторном поле в координатах переменных.

Точка фазового пространства задает состояние системы, вектор в этой точке указывает направление изменения системы. Кривые последовательных состояний процесса, создаваемые изменением положения точки в фазовом пространстве, называются фазовыми траекториями, а их совокупность – фазовым портретом системы.

На рисунке показаны фазовые портреты (нижний ряд) для системы с затухающими колебаниями (траектория, стремящаяся к положению равновесия), с постоянными колебаниями (замкнутая кривая) и более сложный случай системы, колеблющейся в лишенном строгой периодичности режиме. Установившиеся режимы движения, иными словами, множество точек (в простейшем случае – одна точка) в фазовом пространстве системы, к которым стремятся ее траектории, получили название аттракторов - они как бы привлекают, притягивают траектории в фазовом пространстве. В первом случае аттрактором оказывается неподвижная точка, во втором – предельный цикл, в третьем же – так называемый странный, или хаотический аттрактор.

Таким образом, аттракторы – геометрические структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве после достаточно длительного периода времени. Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.

Впервые построение странного аттрактора как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц.

Это иллюстрация динамического хаоса в данной системе с ограниченной предсказуемостью и принципиальной невозможностью точного прогноза ввиду случайности выбора траектории движения каждой точки по одной из двух ветвей аттрактора. Расхождение соседних траекторий приводит к неопределенности положения точки через некоторое время, создавая «облако неопределенности». Поведение системы предсказуемо на малом отрезке времени и непредсказуемо на достаточно большом отрезке - система начинает вести себя как хаотическая, для которой возможно лишь статистическое описание.

Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающими случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций.

Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности – так называемый биллиард Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна, что ведет к непредсказуемости поведения системы.

Возможность предсказаний – одна из основных целей науки. До появления работы Э. Лоренца полагали, что сбор и обработка достаточно большого объема информации обеспечит точность долгосрочного прогнозирования погоды. Теперь представление об однозначной детерминированности сменилось пониманием принципиальной непредсказуемости поведения многих систем на достаточно большом отрезке времени, выяснились ограничения прогностических моделей, предсказуемая непредсказуемость динамики поведения сложных систем: предсказание границ, но не положения точки в их пределах.

Каскад следующих одна за другой бифуркаций существенно изменяет систему. Вероятность обратного хода событий крайне низка, эволюция системы становится необратимой. Необратимость, однонаправленность процессов эволюции и онтогенеза хорошо известна биологам. Необратимые процессы в открытых системах порождают высокие уровни организации, например, диссипативные структуры.

Возникает новая интерпретация второго закона термодинамики: энтропия – не просто безостановочное соскальзывание к однородному состоянию, лишенному организации; энтропия может порождать порядок.

Итак, нелинейные детерминированные системы, состоящие из немногих простых компонентов, могут вести себя неупорядоченно, хаотически.

Хаотические системы чувствительны к малым воздействиям, как начальным, так и во всех точках движения. В хаотическом мире трудно предсказать, какие вариации возникнут в данное время и в данном месте, ошибки и неопределенность нарастают экспоненциально с течением времени.

Э. Лоренц назвал это явление эффектом бабочки: бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достигнуть высшей точки в дождливый сезон в Индонезии. Полное предсказание становится в принципе невозможным.
Теория самоорганизации

Самоорганизация – установление упорядоченного состояния в сложных открытых системах, возникновение из начальной неупорядоченности организованных в пространстве и времени структур и процессов без упорядочивающих внешних воздействий. Самоорганизация — это формирование структуры посредством простых локальных взаимодействий компонентов системы.

Спонтанное структурирование в условиях притока энергии извне известно уже давно. Классическим примером может служить возникновение ячеек Бенара – появление сложной пространственной организации с согласованным, когерентным перемещением множества молекул и образованием конвективных ячеек в форме геометрически весьма правильных шестигранных структур в подогреваемой снизу достаточно вязкой жидкости, например, в слое силиконового масла.

Не менее классическим примером из области гидродинамики является переход ламинарного течения жидкости в турбулентное.

Достаточно сложный рисунок застывших, окаменевших волн и вихревых потоков можно видеть на распиле декоративных горных пород, например, скарна.

Реакция Белоусова-Жаботинского и многие процессы в биологии представляют собой автокаталитические реакции, в которых для синтеза некоторого вещества требуется присутствие этого же вещества; такая обратная связь графически изображается реакционной петлей обратной связи.

В фазовом пространстве реакция Белоусова-Жаботинского описывается странным аттрактором, весьма схожим с аттрактором Лоренца.

Колебания во времени обычны для биохимических реакций - концентраций веществ в ходе гликолитических реакций и множества других биохимических процессов в организме, характеризующихся обратной связью и нелинейностью. Системы со странными аттакторами могут моделировать самые разные явления – колебательные химические реакции, гидродинамические процессы, динамику численности популяций, процессы в экономике и различные социальные процессы..

Многочисленны примеры самоорганизации в космологии, физике, химии, биологии и техногенных системах

Итак, самоорганизация с возникновением сложного непредсказуемого поведения и пространственно-временного структурирования обнаружена на всех исследованных уровнях организации.

В биологии известно огромное число примеров самоорганизации различных биологических систем всех уровней, от молекулярного и клеточного до популяционного.

Сборка макромолекулярных комплексов, например, таких, как многосубъединичные ферменты, нуклеосомы, рибосомы, цитоскелетные структуры, рассмотренная ранее, уже традиционно представляется как самоорганизация биологических структур.

На уровне клеточных популяций детально исследована самоорганизация пространственных паттернов, радиальных и спиральных, в клеточных колониях.

Классическим, одним из первых, примером биологической самоорганизации стала агрегация амеб Dictyostelium. Как известно, агрегирующие клетки движутся в направлении возрастания концентрации аттрактанта, цАМФ; клеточный источник аттрактанта становится центром агрегации. Агрегация амеб происходит неравномерно, с формированием концентрических или спиральных волн клеток, т.е. пространственно-временной упорядоченности вокруг центров агрегации.

Еще один пример пространственной самоорганизации в популяциях насекомых, - агрегация личинок жука Dendroctonus micans, происходящая под влиянием аттрактанта – феромона, синтезируемого личинками. Личинки перемещаются в направлении возрастания концентрации феромона; чем больше личинок скапливается вместе, тем выше концентрация продуцируемого ими аттрактанта. Поэтому агрегация личинок представляет собой автокаталитическую реакцию с самоусилением. Подобный очень простой механизм «коллективного разума» функционирует также при построении термитника: сначала термиты приносят и беспорядочно раскладывают кусочки земли, содержащие аттрактант; случайное расположение нескольких таких комочков вблизи друг друга определяет центр привлечения большего числа термитов, после чего вступает в действие механизм обратной связи, самоусиления.

Популяции животных самоорганизуются, генерируя коллективные паттерны, и функционируют как интегрированное целое, обладающее новыми свойствами.

Синхронизированное коллективное поведение насекомых, птиц, рыб и млекопитающих – фактически, их социальное поведение – уже рассматривается как пример самоорганизации, или самосборки социума.

В высокой степени способность к формированию разнообразных пространственно-временных паттернов проявляется нервными клетками. Примечательно поразительное разнообразие и сложность организации мозга. Даже у близнецов найдены очень большие различия нейронной организации. Полиморфизм и вариабельность нейронной организации позволяет мозгу реагировать на разнообразие среды. Самоорганизация нейронов - синхронизация активности в группах нейронов и сигнала двух взаимосвязанных нейронов - обнаружена в клеточной культуре.

Итак, в ходе биологической самоорганизации нелинейные взаимодействия элементов могут вести к сложному и неожиданному поведению их системы с формированием упорядоченной в пространстве или времени структуры на базе хаотической динамики отдельных элементов системы.
Фрактальная геометрия

Переход к хаосу может быть представлен в виде диаграммы бифуркаций. Простой путь перехода к хаосу как каскад бифуркаций – последовательность Фейгенбаума, или сценарий удвоения периода. М. Фейгенбаум выявил закономерность, определяющую поведение разнообразных нелинейных систем с последовательными бифуркациями удвоения периода: до определенного порога значений параметров система имеет периодический режим с периодом T, который удваивается при переходе через порог (период становится равным 2 T), затем при переходе через следующий порог снова удваивается, становится равным 4 T, и т.д. Последовательность Фейгенбаума – один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при бесконечном удвоении периода. Последовательность Фейгенбаума имеет самоподобную, фрактальную структуру – увеличение какой-либо области выявляет подобие выделенного участка всей структуре

Итак, переходим к фрактальной геометрии – геометрии динамического хаоса. Нелинейная динамика и фрактальная геометрия тесно связаны, однако эти разделы науки развивались порознь, и их связь и тем более единство еще не полностью установлены.

Термин «фрактал» (от лат. fractare - ломать, дробить; fractus – расчлененный, разбитый; англ. fractal – дробный) ввел Бенуа Мандельброт, он же Б. Мандельбро (Benoit Mandelbrot), родившийся в Варшаве (в 1924 г.), работавший во Франции и США.

Согласно определению Б. Мандельброта, фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности. Проще говоря, фрактал – множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Б. Мандельброт дает и другое определение: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Строгого и исчерпывающего определения фракталов пока не существует.

Фрактальная структура образуется путем бесконечного повторения (итерации) какой-либо исходной формы во все уменьшающемся (или увеличивающемся) масштабе по определенному алгоритму, т.е. в соответствии с определенной математической процедурой. Этот несложный процесс с обратной связью дает поразительно многообразный морфогенез, нередко подобный созданию природных форм. Таким образом, фракталы характеризуются самоподобием, или масштабной инвариантностью, т.е. единообразием в широком диапазоне масштабов.

Традиционные геометрические объекты имеют целочисленную размерность: линия одномерна, плоская поверхность двумерна, поверхность сферы трехмерна. Фрактальные объекты характеризуются фрактальной, дробной размерностью. Такая размерность была введена Ф. Хаусдорфом. Если гладкая эвклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, то фрактальная линия выходит за его пределы, частично заполняя двумерное, ее размерность - дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Например, фрактальная линия берега имеет размерность между 1 и 2; фрактальная поверхность (горный рельеф) - размерность между 2 и 3.

Исследование фракталов было связано с практической задачей измерения береговой линии. Фрактальная размерность изрезанного фиордами побережья Норвегии характеризуется значением D около 1,5. Для менее изрезанной береговой линии Англии значение D оказалось равным приблизительно 1,3.

Упрощенно можно представить фрактальную размерность как отношение длины измеряемого контура к длине мерки. Фрактальная размерность является показателем, мерой заполнения пространства фрактальной структурой.

Предшественники современной фрактальной геометрии: К. Вейерштрасс, Ф. Хаусдорф, Г. Кантор, Дж. Пеано, Г. Жюлиа, Х. Кох, В. Серпинский в конце XIX - начале XX веков создали первые графические образы структур, названных впоследствии фрактальными. Эти классические примеры фракталов помогают уяснить их сущность.

Построение дискретного множества Г. Кантора проводится таким образом: из исходного отрезка выбрасывается интервал (одна треть), и эта операция повторяется бесконечно (рис). Фрактальная размерность (топологический инвариант) фрактальной множества Кантора

D = ln 2 / ln 3  0, 63



Рис. Множество Кантора

Весьма наглядны такие линейные геометрические фракталы, как линия Коха (рис., генерация которой определяется ломаной линией, заменяющей за один шаг все отрезки фигуры, и треугольник Серпинского (рис.), имеющий фрактальную размерность D = ln 3 / ln 2  1, 58.

Фрактальная размерность - топологический инвариант каждой фрактальной структуры, особый вид симметрии - как бы симметрия фрактала относительно масштаба.

Итак, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное, ее размерность - дробная, промежуточная между исходной размерностью линии и двумерного пространства, в котором идет морфогенез фрактала. Точно так же фрактальная плоскость частично выходит в трехмерное пространство; теоретически мыслим и выход трехмерной поверхности в результате ее фрактализации в пространство высшей размерности.



Рис. Построение треугольника Серпинского

Фрактальными (точнее, квазифрактальными) оказались, помимо береговой линии, многие другие природные структуры и процессы: реки с их притоками, молнии, раскаты грома, поверхность гор, облаков, распределение галактик, солнечная активность и т. д. Окружающие нас естественные ландшафты формируются как результат динамического хаоса природных процессов. Фрактальность природных объектов доказывается возможностью построения весьма правдоподобных компьютерных ландшафтов виртуального мира по простым фрактальным программам, в которых подобие реальности достигается рандомизацией, некоторой степенью нерегулярности путем введением случайных чисел. Так, при построении желаемой поверхности виртуальных ландшафтов, с невысокими сглаженными холмами или же гор с остроконечными скальными пиками, применяется метод случайного - в определенных пределах, определяющих степень гладкости ландшафта - смещения средней стороны треугольников, на которых разбивается плоскость.

Помимо виртуальных ландшафтов, применение компьютерных программ дает возможность создания сложнейших, завораживающе красивых или неописуемо фантастических образов, претерпевающих бесконечные метаморфозы. Однако фракталы могут быть и невзрачными, например, хлопьевидные, зернистые, волокнистые и т. п. структуры и агрегаты.

Самоподобие фрактальных структур как результат реитерации функции с обратной связью (самореферентная обратная связь) определяет связь ближнего (локального) и дальнего (глобального) порядков и дает возможность сжатого математического описания структур и процессов, еще недавно недоступных такому описанию и пониманию.

Множества Жюлиа (рис.) и Мандельброта – нелинейные, квадратичные фракталы, комплексные динамические системы, генерируемые бесконечным повторением (итерацией) алгебраических функций или систем функций, причем значение вычисленной функции при следующей операции подставляется как аргумент. Простые математические правила порождают самоподобное относительно нелинейных преобразований, весьма сложное формообразование – это означает, что в основе сложных структур и процессов могут лежать простые правила.

При генерации этих множеств используется простой алгоритм на основе полинома второй степени. Наиболее сложный и интересный фрактальный объект - множество Мандельброта.

Рис. Множество Мандельброта

c (zІ + 1)І

————

z (zІ - 1)І

Таким образом, простой алгоритм построения раскрывается при бесконечном повторении как генератор разнообразных причудливых форм, некоторые из которых напоминают биологические и эффектно выглядят даже в черно-белом статичном изображении, получаемом при последовательных «увеличениях» с помощью компьютера (рис.). Преобразования, происходящие при развертывании множества Мандельброта, можно представить в виде каскада бифуркаций, с последовательным удвоением числа решений и нарастанием неопределенности - невозможности точного прогнозирования положения отдельной точки. Поэтому множество Мандельброта – визуализация образа детерминированного хаоса.

Итак, сложные формы, нередко напоминающие биологические, могут быть созданы без генов, по простому рекурсивному (с обратной связью) алгоритму, выполняющему роль генетических правил.

Рис. Фрагменты множества Мандельброта