С. П. Радзевич векторное представление зубчатых пар



жүктеу 147.98 Kb.
Дата17.06.2016
өлшемі147.98 Kb.

Векторное представление зубчатых пар. Часть 2

УДК 621.8’33

С.П. РАДЗЕВИЧ

ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ ПАР. Часть 2

Зубчатые пары внутреннего зацепления, так же как и зубчатые пары «реечного типа», допускают представление в векторной форме.



Векторные диаграммы зубчатых пар внутреннего зацепления

Векторная диаграмма для зубчатой пары внутреннего зацепления строится подобно тому, как выше построена векторная диаграмма для зубчатой пары внешнего зацепления (см. рис. 5 в первой части данной статьи). Поэтому в этом разделе ограничимся кратким рассмотрением процедуры построения векторной диаграммы для зубчатой пары внутреннего зацепления и отметим некоторые её отличия от аналогичной векторной диаграммы для зубчатой пары внешнего зацепления.

Рассмотрим зубчатую пару, набор параметров которой (, , и ) позволяет отнести её к зубчатым парам внутреннего зацепления.

Пример графического построения вектора скорости мгновенного вращения показан на рис. 1, a. В горизонтальной плоскости проекций π1 вектор скорости мгновенного вращения находится как векторная разность векторов вращений и .

На горизонтальную плоскость проекций π1 вектор мгновенного вращения проецируется без искажений. Как и в случае зубчатой пары внешнего зацепления, проекции векторов вращений и на π2 обозначены через и соответственно.

При внутреннем зацеплении зубчатых колёс точка находится вне пределов длины межосевого перпендикуляра . Наоборот, ось вращения шестерни пересекает межосевой перпендикуляр в некоторой точке, которая находится между точкой и точкой пересечения межосевого перпендикуляра осью вращения зубчатого колеса. Поэтому для зубчатой пары [вместо уравнения (2) в первой части статьи] справедливо равенство



.

(1)

Это уравнение представимо в форме . С учётом этого и исходя из необходимости выполнения условия чистого вращения, для расчёта расстояний и могут быть получены следующие формулы

,

(2)

.

(3)

Две другие составляющие и векторов вращений и приводят к чистому скольжению аксоидов колёс зубчатой пары. Эти составляющие без искажений проецируются на фронтальную плоскость проекций π3. Как и в случае зубчатой пары внешнего зацепления, векторы вращений скольжения и одинаковы по величине и противоположны по направлению ().

Как и в рассмотренном выше случае, вектор линейной скорости скольжения , создаваемого зубчатым колесом, равен



.

(4)

Аналогично вектор линейной скорости скольжения , создаваемого шестернёй, равен

.

(5)

Векторы линейных скоростей и относительного скольжения направлены в противоположные стороны. Поэтому вектор линейной скорости результирующего скольжения зубчатого колеса относительно шестерни , также как и направленный в противоположную сторону вектор линейной скорости результирующего скольжения шестерни относительно зубчатого колеса , равен разности

.

(6)

Для зубчатой пары внутреннего зацепления скорость результирующего скольжения равна

.

(7)

Как и в случае зубчатой пары внешнего зацепления, векторы вращений и образуют пару вращений, которая эквивалентна поступательному движению. Исходя из этого, можно получить еще одну зависимость для расчёта скорости [аналогичную зависимости (11) в первой части статьи].

На рис. 1, б показано расположение основных векторов относительно аксоидов Ag и Ap зубчатого колеса и шестерни зубчатой пары.



Векторные диаграммы зубчатых пар “реечного типа”

Естественно предположить, что наряду с существованием зубчатых пар внешнего и внутреннего зацепления должны существовать зубчатые пары некоторого промежуточного вида, подобно тому, как наряду с существованием цилиндрических зубчатых передач внешнего и внутреннего зацепления существуют также реечные передачи. Реечные передачи можно интерпретировать как некий предельный (критический) случай либо передачи внешнего, либо передачи внутреннего зацепления, когда число зубьев колеса устремляется к бесконечности. Иными словами, аналогично реечной передаче как предельного случая цилиндрической передачи, должна существовать передача более общего вида как предельный (критический) случай зубчатой передачи либо внешнего, либо внутреннего зацепления.







а

б

Рис. 1. Векторная диаграмма зубчатой пары внутреннего зацепления

Опуская детали анализа векторных диаграмм наружного и внутреннего (рис. 1) зацепления, обратим внимание на то, что для зубчатых пар внешнего зацепления угол между вектором вращения зубчатого колеса и вектором мгновенного относительного вращения тупой

.

(8)

Для зубчатых пар внутреннего зацепления угол между вектором вращения зубчатого колеса и вектором мгновенного относительного вращения острый (рис. 1)

.

(9)

Естественно задаться вопросом, что будет наблюдаться в случае, когда угол между вектором вращения зубчатого колеса и вектором мгновенного относительного вращения будет прямым углом ()?

На рис. 2 приведена векторная диаграмма зубчатой пары, векторы вращений и которой соотносятся так, что выполняется условие



.

(10)

В рассматриваемом случае аксоид зубчатого колеса вырождается в плоскость, вращающуюся вокруг перпендикулярной ей оси. Аксоид шестерни вырождается в конус вращения. Зубчатая пара, векторная диаграмма которой показана на рис. 2, может быть интерпретирована как случай качения конуса вращения по вращающейся плоскости. Зубчатая пара такого типа представляет собой зубчатую пару “реечного типа”.





а

б

Рис. 2. Векторная диаграмма зубчатой пары реечного типа

Зубчатой паре “реечного типа” соответствует критическое значение угла перекрещивания осей зубчатого колеса и шестерни . Иными словами, если выполняется условие (10), тогда .

В плоскости, проходящей через межосевой перпендикуляр, линейная скорость скольжения аксоидов создается только вращением скольжения . Несмотря на то, что вектор не равен нулю (), составляющая скольжения равна нулю (). Это следствие того, что в рассматриваемом случае выполняется соотношение . Поэтому . В конечном итоге результирующая скорость скольжения в рассматриваемом случае равна



.

(11)

Следует акцентировать внимание на том, что не каждый случай качения конуса по вращающейся плоскости соответствует зубчатой паре “реечного типа”. Принципиальным для этого является выполнение условия (10).

Векторная диаграмма зубчатой пары “реечного типа” представляет особый интерес при проектировании инструментов для обработки колёс и шестерён гипоидных и спироидных зубчатых передач.



Аналитический критерий вида зубчатой пары

Принципиальным отличием одной зубчатой пары от другой является величина угла, который составляют вектор вращения зубчатого колеса с вектором мгновенного относительного вращения . Это отличие аналитически описывается условиями (8)-(10). Как было отмечено выше, вектор мгновенного вращения равен векторной разности векторов вращений и зубчатого колеса и шестерни



.

(12)

Условия (8)-(10) и соотношение (12) позволяют в такой форме представить аналитический признак вида зубчатой пары


Вид зубчатой пары

Аналитические признак

внешнего зацепления



“реечного типа”



внутреннего зацепления


Приведённые выше выражения для аналитического признака вида зубчатой пары записаны на основании известных свойств скалярного произведения векторов.



Дополнительные элементы векторной диаграммы

Для полного аналитического описания зубчатой пары удобно ввести в рассмотрение векторы, идущие вдоль межосевого перпендикуляра, и векторы, идущие вдоль осей вращения зубчатого колеса и шестерни. С названными векторами связаны некоторые другие параметры зубчатой пары, которые могут быть выражены скалярными величинами.



Векторы, идущие вдоль межосевого перпендикуляра. Рассмотрим показанную на рис. 3 векторную диаграмму винтовой зубчатой пары. Векторы вращений и отстоят один от другого на некотором расстоянии . Декартова система координат связана с векторами вращений и , как показано на рис. 3. Начало системы координат совмещено с полюсом зацепления . Ось направлена вдоль межосевого перпендикуляра. Направление оси совмещено с направлением вектора мгновенного вращения . Ось дополняет оси и до левой ортогональной декартовой системы координат .

Введём в рассмотрение безразмерный единичный вектор , который проходит через начало системы координат и направлен вдоль оси . Вектор позволяет просто представить аналитически векторы и , направленные вдоль межосевого перпендикуляра. Вектор приложен в полюсе зацепления . Он равен . Соответственно, приложенный в точке вектор равен . Длина вектора всегда больше или равна длине вектора . Поэтому справедливо неравенство .



Угол перекрещивания осей вращения зубчатого колеса и шестерни. В общем случае векторы вращений и перекрещиваются под некоторым углом . Угол перекрещивания осей вращений и всегда находится в пределах . В зависимости от конструктивных параметров зубчатой пары полюс зацепления находится либо в пределах межосевого расстояния , либо за его пределами.



Рис. 3. Совокупность характеристических векторов, связанных с зубчатой парой

Расположение полюса зацепления в пределах межосевого расстояния указывает на то, что рассматриваемая зубчатая пара является зубчатой парой внешнего зацепления. В случае, когда полюс зацепления расположен вне пределов межосевого расстояния , имеет место внутреннее зацепление зубчатых колес. В некоторых случаях, как это показано на рис. 2, расстояние от полюса зацепления до оси вращения шестерни равно нулю (). Для взаимно ортогональных векторов и всегда выполняется равенство .

Векторы, идущие вдоль осей зубчатого колеса и шестерни. При работе зубчатой пары может иметь место скольжение аксоидов. В общем случае передачи вращения между двумя перекрещивающимися осями (т.е. в винтовой зубчатой паре) избежать скольжения невозможно.

В простейших случаях, когда зубчатый венец расположен таким образом, что межосевой перпендикуляр проходит через середину зубчатого венца (например, как это имеет место в обычной винтовой зубчатой передаче и др.), линейная скорость скольжения целиком и полностью определяется взаимным расположением векторов вращений и . В этом случае линейная скорость скольжения рассчитывается по формулам (10) в первой части статьи и (7) и (11).

Более общим является такое положение зубчатого венца, когда его середина смещена относительно межосевого перпендикуляра в осевом направлении зубчатого колеса на некоторую величину, например, как это имеет место в гипоидной передаче. В этом и др. подобных случаях при неизменных угловых скоростях скорость скольжения зависит также и от величины осевого смещения зубчатого колеса. Это следствие того, что осевое смещение зубчатого венца приводит к увеличению расстояния от оси мгновенного вращения точки на оси зубчатого колеса, соответствующей середине зубчатого венца. Поэтому при неизменной частоте вращений осевое смещение зубчатого венца приводит к увеличению скорости скольжения в зубчатой паре.

Влияние осевого смещения зубчатого венца относительно межосевого перпендикуляра учитывается следующим образом.

Предположим, что сечение через середину зубчатого венца плоскостью, перпендикулярной его оси, удалено от межосевого перпендикуляра в осевом направлении на расстояние , как это показано на рис. 4. Тогда нетрудно получить следующую формулу для расчёта величины радиуса начальной окружности зубчатого колеса.

.

(13)

Обратно, если радиус начальной окружности зубчатого колеса задан, то соответствующее ему осевое смещение зубчатого венца равно

.

(14)

Аналогичные формулы справедливы для расчёта величины радиуса начальной окружности шестерни и/или величины осевого смещения .




Рис. 4. К определению радиуса произвольного сечения аксоида плоскостью,

перпендикулярной оси зубчатого колеса

Положение зубчатого венца в осевом направлении зубчатого колеса удобно определять вектором и аналогичным вектором для шестерни.

Связанный с зубчатым колесом вектор направлен вдоль оси вращения зубчатого колеса (рис. 3). В общем случае он приложен в точке пересечения оси и межосевого перпендикуляра , т.е. он приложен в точке перекрещивания осей вращений и . Вектор выражается через два параметра и и может быть вычислен по формуле . Здесь обозначает расстояние вдоль оси , которое измеряется от точки перекрещивания осей до середины зубчатого венца шириной . Единичный вектор направлен вдоль оси зубчатого колеса . Он является безразмерной величиной и определяется из соотношения .

Вектор связан с шестернёй аналогично тому, как вектор связан с зубчатым колесом. Для вектора справедлива формула , где обозначено – расстояние вдоль оси , измеренное от точки перекрещивания осей и до середины венца шестерни шириной , – направленный вдоль оси шестерни безразмерный единичный вектор, определяемый из соотношения .

Аксоиды в форме однополостных гиперболоидов вращения представляют собой бесконечные поверхности. В зубчатых парах используются только некоторые участки бесконечных поверхностей.

Если рассматриваются два вращения вокруг перекрещивающихся осей, возможны следующие три положения рабочего участка в пределах соответствующих аксоидов. Фактическое положение рабочих участков однозначно определяется знаком и величиной параметров и . Эти параметры могут быть положительными (, ), равными нулю (, ) или отрицательными (, ).

Из рис. 5 в первой части статьи следует, что скольжение аксоидов имеет место только в случаях, когда векторы вращений и не располагаются в общей плоскости. Векторы вращений и для зубчатых пар как с параллельными, так и с пересекающимися осями располагаются в общей плоскости по определению. Поэтому в зубчатых передачах с параллельными и с пересекающимися осями скольжение аксоидов не наблюдается. Скольжение аксоидов не только возможно, но оно и неизбежно имеет место только для зубчатых пар с перекрещивающимися осями.

Скольжение аксоидов является вредным для зубчатых пар. Поэтому следует стремиться уменьшать его всеми доступными средствами. Вместе с тем, скольжение аксоидов полезно при работе зубообрабатывающих инструментов. В этом случае скольжение аксоидов полезно увеличивать всеми доступными средствами.

Полезные кинематические и геометрические соотношения

Применение векторных диаграмм позволяет вывести формулы, удобные для расчёта ряда кинематических и геометрических параметров зубчатой пары.

Для расчёта удалений и оси мгновенного вращения от осей вращения зубчатого колеса и шестерни можно поступить следующим образом.

Спроецируем векторы вращений , и на некоторую плоскость, перпендикулярную отрезку прямой (см. рис. 1, a). Здесь же показаны составляющие и вектора вращения зубчатого колеса и составляющие и вектора вращения шестерни . Составляющие и расположены в общей плоскости, содержащей отрезок прямой . Из условия чистого вращения в зубчатой паре справедливо соотношение



.

(15)

Очевидно, что для радиусов и справедливо равенство (см. рис. 1, б). В этом уравнении радиусы и следует рассматривать как алгебраические величины. Тогда равенство будет справедливым для зубчатых колёс как внешнего, так и внутреннего зацепления.

Радиус горловины аксоида шестерни можно выразить через радиус горловины аксоида колеса и межосевое расстояние , т.е. как . Это позволяет представить соотношение (15) в виде



.

(16)

Из уравнения (16) следует формула для расчёта величины радиуса горловины аксоида колеса.

.

(17)

После того, как радиус горловины аксоида колеса найден, радиус горловины аксоида шестерни может быть рассчитан по ранее приведённой зависимости :

.

(18)

Здесь уместно привести несколько вспомогательных формул, которые могут быть выведены на основе анализа рис. 1.

Абсолютная величина вектора мгновенного вращения может быть рассчитана по формуле



.

(19)

Угол , который вектор составляет с вектором мгновенного вращения , рассчитывается по формуле

.

(20)

Аналогично, для расчёта угла , который вектор составляет с вектором мгновенного вращения , может быть использована формула

.

(21)

Очевидно, что форма и параметры аксоидов зубчатой пары однозначно определяются векторами двух вращений и , и межосевым расстоянием .

Если в уравнение (21) подставить значение , то получим формулу



.

(22)

для расчёта критического значения угла перекрещивания осей вращения зубчатого колеса и шестерни .

Выводы

Рассмотрены зубчатые пары общего вида, оси вращений в которых перекрещиваются. Для изучения свойств зубчатых пар предложено использовать векторные диаграммы. Приведены примеры векторных диаграмм для зубчатых пар (a) внешнего зацепления, (b) внутреннего зацепления и (c) пространственных зубчатых пар реечного типа. Выведен ряд вспомогательных зависимостей, удобных для расчётов параметров зубчатых пар. Применение векторных диаграмм позволяет избежать необходимости применения аксоидов, построение которых в случае пространственного зацепления сопряжено с большими неудобствами.

Путем наращивания одна на другую векторных диаграмм зубчатых пар может быть составлена векторная диаграмма многоступенчатой зубчатой передачи, состоящей из двух и более зубчатых пар, или зубчатой передачи с разделенным потоком мощности. Такая результирующая векторная диаграмма является удобным инструментом для (a) анализа и оптимизации, или (b) для анализа и синтеза наивыгоднейших (в некотором смысле) схем реальных зубчатых передач.

Показано, что векторные диаграммы зубчатых пар могут быть разработаны и для случая некруглых зубчатых колес. Для зубчатых пар с некруглыми колёсами могут быть построены (a) либо, так называемые, мгновенные векторные диаграммы, (b) либо векторные диаграммы с переменными во времени параметрами , , и .


Поступила в редакцию 29.04.2008

После доработки 04.06.2008

Теория Механизмов и Машин. 2009. №1. Том 7.




©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет