«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
жүктеу/скачать 1.3 Mb.
|
| 1. Эйлер әдісі
Айталық, функциясы облысында үзіліссіз және Липшитц шарттарын қанағаттандырсын, яғни (1.1) теңсіздігі орындалсын, онда жоғарыдан шектелген, яғни , және (1.2) (1.3) есебінің бір ғана шешуі бар. Енді осы шешуді табу үшін (7)- ші интегралға тік төртбұрыш әдісін қолдану арқылы (6) теңдіктен, торында мына теңдікті аламыз: (1.4) Осыдан кезде 0(һ) нөлге ұмтылыды деп шешсек, онда деп белгілеу арқылы , (1.5) теңдіктерін аламыз. теңдігін, әдетте, Эйлер әдісі деп атайды. Енді кезде осы әдіс бойынша табылған тізбегі (1.2)-(1.3) есебінің шешуіне жинақталатынын, яғни болатынын қарастырайық. Ол үшін функциясын нүктесінің кіші аймағында Тэйлор қатарына жіктейміз: Содан кейін осы теңдікті пайдаланып мәнін есептейміз: (1.6) Мұнда (1.2) теңдеуіне сәйкес болатыны есекерілген. Енді (1.6) өрнегінен (1.5) өрнегін шегерсек, онда Осыдан белгілеуін еңгізіп, әдіс қаталігінің абсолют мәнін бағаласақ: Соңғы теңсіздікке - Липшитц шартын пайдаланып: (1.7) теңсіздігін аламыз, мұндағы Енді (1.7) теңсіздігін k-ның k=0, 1, ... мәндері үшін ашып жазсақ: Эйлер әдісі үшін болғандықтан Ал кезде болатындықтан Демек, Эйлер әдісі кезінде (1.2) - (1.3) есебінің дәл шешуіне жинақталады және оның жинақталу реті 1-ге тең. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|